Dinâmica Molecular - Método das Caixas

Neste estudo, foi investigado o desempenho e a precisão de simulações de dinâmica molecular utilizando o potencial de Lennard-Jones. Foram comparados dois métodos computacionais: o método tradicional, que calcula as interações e as forças entre todos os pares de partículas que estão presas em uma caixa bidimensional, e o método baseado em células, que otimiza os cálculos ao limitar o alcance das interações às células vizinhas. Ambos os métodos foram implementados em duas dimensões com condições periódicas de contorno (PBC).

Avaliamos o desempenho dos métodos analisando o tempo de execução em função do número de partículas. Os resultados mostram que o método baseado em células reduz significativamente o tempo de execução para sistemas grandes, demonstrando sua eficiência e reprodutibilidade. A conservação da energia, incluindo as energias cinética, potencial e total, foi validada para ambos os métodos ao longo do tempo, mostrando que o método mantém o significado físico da simulação.

INTRODUÇÃO

Inicialmente, o problema do tempo perdido em simulações normais de dinâmica molecular está relacionado ao crescimento do número de cálculos necessários conforme aumenta o número de partículas no sistema. Essa questão tem um impacto direto na eficiência e no tempo de execução de simulações, já que para cada par de partículas, é necessário calcular a distância relativa, aplicar o potencial desejado, e determinar a força resultante. Portanto, a parte temporal mais custosa na simulação está no calculo de forças, e na determinação da distância de cada partícula.

Para N partículas, temos $N={\frac {N(N-1)}{2}}$ pares de interação, e se tivermos um sistema com um número significativamente grande de partículas, o problema terá uma complexidade de $O(N^{2})$ . Essa dependência quadrática do número de partículas torna as simulações normais impraticáveis para sistemas com grande número de partículas $(N>10^{5})$ já que o tempo de execução cresce rapidamente. Além disso, são necessários recursos computacionais elevados para simulações maiores pois a demanda por processamento irá crescer cada vez mais, exigindo computadores mais potentes ou tempo de execução excessivo.

Portanto há a necessidade de diminuir a ordem para que o tempo seja menos custoso nas simulações. Para isso, existem diversos algorítmos e métodos que podem ser uteis, como o Método das Caixas, o Algorítmo de Edwald e PME, o Método de Multipolos Hierárquicos, e a Implementação Paralela. O objetivo deste trabalho é desenvolver o Método das Caixas, ou Método das Células, para a otimização das simulações.

EXPLICANDO O MÉTODO

O princípio básico do método das caixas é diminuir o número de cálculos de forças de interação entre as partículas, já que em uma simulação normal é computado a interação de cada uma delas com todas as outras. Porém, como as forças de interação são geralmente de curto alcance, basta calculá-las entre cada partícula e seus vizinhos mais próximos. Para isso, podemos dividir o espaço da caixa em caixinhas quadradas de lado L que deve ser pelo menos igual ao raio de corte, que é a distância máxima em que as partículas ainda podem interagir. Dessa maneira, cada caixa pode ser identificada com um número correspondente, e cada caixa está associada também a uma lista de números que correspondem as partículas cujos centros ainda se encontram na caixa. As forças de interações de cada partícula será calculada apenas com as partículas da mesma célula e das células vizinhas.

RESULTADOS ESPERADOS

Com base no método das caixas, são esperados resultados promissores em termos de eficiência computacional e conservação das propriedades físicas do sistema. A seguir, destacam-se os principais aspectos esperados:

Redução no tempo de execução

• Escabilidade melhorada:

O método das caixas deve reduzir a complexidade do cálculo de forças de <math>O(N^2)<math> para <math>O(N)<math>, já que a interação é restrita às partículas na mesma célula e nas células vizinhas. Isso implica que o tempo de execução aumentará linearmente com o número de partículas em vez de quadraticamente, permitindo simulações mais rápidas em sistemas grandes (N>10^5).

• Desempenho em sistemas grandes:

Espera-se que o tempo de execução para sistemas muito grandes seja significativamente menor em comparação com o método tradicional, especialmente para simulações de alta densidade, onde a otimização no número de cálculos tem impacto ainda maior.

Conservação da energia

• Validação física:

Mesmo com a restrição de cálculo de interações às células vizinhas, espera-se que a conservação da energia total (cinética + potencial) ao longo do tempo permaneça dentro de uma margem aceitável de erro numérico.

• Estabilidade temporal:

A precisão na integração temporal dos movimentos das partículas será avaliada, e espera-se que o método preserve a estabilidade da simulação em longas escalas de tempo, validando o comportamento físico realista do sistema.

Comparação com o método tradicional

• Precisão nos resultados:

Os resultados obtidos com o método das caixas devem ser comparáveis aos do método tradicional, especialmente para sistemas onde as interações de curto alcance dominam. Isso inclui propriedades como a distribuição radial, a energia potencial média e a pressão do sistema.

• Diferença negligenciável:

As diferenças na dinâmica das partículas devido à aproximação do método das caixas são esperadas ser desprezíveis, desde que o tamanho das células seja adequadamente escolhido (igual ou maior que o raio de corte).

Utilização de recursos computacionais

• Otimização da memória:

Além de diminuir o tempo de execução, o método das caixas deve reduzir o uso de memória, já que as listas de partículas são organizadas por células, permitindo acesso eficiente às informações relevantes.

• Possibilidade de paralelização:

A implementação do método das caixas deve ser naturalmente paralelizável, permitindo que sistemas modernos com múltiplos núcleos ou GPUs realizem simulações ainda mais rapidamente.