Equação de Lotka-Volterra Competitiva Estocástica: mudanças entre as edições

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As Equações de Lotka-Volterra fornecem um modelo para a previsão de sistemas biológicos considerando diversas relações entre populações. Exploraremos no vigente trabalho a relação de competitividade. Dividiremos, para tanto, o trabalho em três partes principais, considerando duas e três populações, mostrando os gráficos de evolução temporal do número de indivíduos de cada espécie e os espaços de fase, e generalizando para N populações.
== Introdução ==


== Equação de Fokker-Planck ==
As Equações de Lotka-Volterra fornecem um modelo para a previsão de sistemas biológicos considerando diversas relações entre populações. Exploraremos no vigente trabalho a relação de competitividade, juntamente da adição de um termo estocástico multiplicativo. Dividiremos, para tanto, o trabalho em três partes principais, considerando duas e três populações, mostrando os gráficos de evolução temporal do número de indivíduos de cada espécie e os espaços de fase, e generalizando para N populações. Em todas as etapas serão mostrados os resultados considerando e desconsiderando o ruído para fins comparativos.


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== Equações para Duas Populações ==
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\frac{\partial P(x_1, t)}{dt} = -\frac{\partial}{\partial x_1}\left(r_1 x_1 \left(1 - \frac{x_1 + \alpha_{12}x_2}{K_2} \right) P(x_1, t) \right) + \frac{1}{2}\alpha ^2 \frac{\partial ^2 P(x_1, t)}{\partial x_1^2}
</math>
</center>


 
Como uma primeira análise, considerando somente duas populações distintas, vamos explorar o modelo logístico, partindo das Equações de Lotka-Volterra, de duas espécies disputando um território, que pode ser descrito pelo seguinte par de relações:
== Equações para Duas Populações ==
O modelo logístico utilizado para duas espécies disputando um território pode ser descrito pelo seguinte par de equações:
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<math>
<math>
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</math>
</math>
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com <math>x_1</math> e <math>x_2</math> sendo as duas populações consideradas, <math>r_1</math> e <math>r_2</math>, o crescimento inerente per-capita, <math>K_1</math> e <math>K_2</math>, a capacidade de carga e <math>\alpha_{12}</math> e <math>\alpha_{21}</math>, o efeito que a espécie um tem na espécie dois e vice-versa.
Nesse par, <math>x_1</math> e <math>x_2</math> representam as duas populações consideradas; <math>r_1</math> e <math>r_2</math> indicam o crescimento inerente per-capita, a capacidade de uma espécie em se reproduzir; <math>K_1</math> e <math>K_2</math> retratam a capacidade de carga, o número de indivíduos limite que o meio ambiente consegue suportar considerando o nicho ecológico ao que a espécie pertence; e <math>\alpha_{12}</math> e <math>\alpha_{21}</math>, o efeito que a espécie um tem na espécie dois e vice-versa.
 
=== Método da Integral de Itô ===
 
 




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<source lang="julia">
</source><br/>
 
using Plots
using Distributions
 
r = [1,0.72,1.53,1.27]
a = [1 1.09 1.52 0
        0 1 0.44 1.36
        2.33 0 1 0.47
        1.21 0.51 0.35 1]
b = [1, 1.2, 0.8, 1.6] .- 0.5
k = [40, 65, 56, 44]
 
function f(x)
    return r.*x.*(1 .-(a*x))
end
 
tmax = 20
dt = 0.0001
L = Int(tmax/dt)
tempo = collect(0:dt:tmax)
normal = Normal(0,sqrt(dt))
 
function stratmatriz(x1,x2,x3,x4)
    x = [x1,x2,x3,x4]
    xlist = Array{Float64}(undef,4, L+1)
    xlist[1,1], xlist[2,1], xlist[3,1], xlist[4,1] = x1,x2,x3,x4
    for t in 1:L
        random = [rand(normal),rand(normal),rand(normal),rand(normal)].*sqrt(dt)
        k1 = f(x)
        k2 = f(x .+ k1*dt/3)
        k3 = f(x .+ (-k1/3 + k2)*dt)
        k4 = f(x .+ (k1 - k2 + k3)*dt)
       
        dx = ((k1 + 3 .*k2 + 3 .*k3 + k4)./8 - 0.5 .*x)*dt + x.*b.*random
        x = x + dx
        xlist[1,t+1], xlist[2,t+1], xlist[3,t+1], xlist[4,t+1] = x[1],x[2],x[3],x[4]
    end
    return xlist
end
 
result = lvmatriz(0.25,0.25,0.25,0.25)
x1,x2,x3,x4 = collect(result[1,:]),collect(result[2,:]),collect(result[3,:]),collect(result[4,:])
plot(tempo,x1)
plot!(tempo,x2)
plot!(tempo,x3)
plot!(tempo,x4)
 
</source><br />
 
[[Arquivo:Strat_matriz.png]]

Edição das 17h16min de 26 de agosto de 2024

Introdução

As Equações de Lotka-Volterra fornecem um modelo para a previsão de sistemas biológicos considerando diversas relações entre populações. Exploraremos no vigente trabalho a relação de competitividade, juntamente da adição de um termo estocástico multiplicativo. Dividiremos, para tanto, o trabalho em três partes principais, considerando duas e três populações, mostrando os gráficos de evolução temporal do número de indivíduos de cada espécie e os espaços de fase, e generalizando para N populações. Em todas as etapas serão mostrados os resultados considerando e desconsiderando o ruído para fins comparativos.

Equações para Duas Populações

Como uma primeira análise, considerando somente duas populações distintas, vamos explorar o modelo logístico, partindo das Equações de Lotka-Volterra, de duas espécies disputando um território, que pode ser descrito pelo seguinte par de relações:

Nesse par, e representam as duas populações consideradas; e indicam o crescimento inerente per-capita, a capacidade de uma espécie em se reproduzir; e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K_2} retratam a capacidade de carga, o número de indivíduos limite que o meio ambiente consegue suportar considerando o nicho ecológico ao que a espécie pertence; e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_{12}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_{21}} , o efeito que a espécie um tem na espécie dois e vice-versa.

Método da Integral de Itô

Equações para Três Populações

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx_1}{dt} = r_1x_1\left(1 -\frac{x_1 + \alpha_{12}x_2 + \alpha_{13}x_3}{K_1} \right)}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx_2}{dt} = r_2x_2\left(1 - \frac{x_2 + \alpha_{21}x_1 + \alpha_{23}x_3}{K_2}\right)}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx_3}{dt} = r_3x_3\left(1 - \frac{x_3 + \alpha_{31}x_1 + \alpha_{32}x_2}{K_1}\right)}


Equações para N Populações

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx_i}{dt} = r_ix_i\left(1 - \frac{\sum_{j=1}^{N}\alpha_{ij}x_j}{K_i}\right) }


</source>

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