Equação de Lotka-Volterra Competitiva Estocástica

As Equações de Lotka-Volterra fornecem um modelo para a previsão de sistemas biológicos considerando diversas relações entre populações. Exploraremos no vigente trabalho a relação de competitividade. Dividiremos, para tanto, o trabalho em três partes principais, considerando duas e três populações, mostrando os gráficos de evolução temporal do número de indivíduos de cada espécie e os espaços de fase, e generalizando para N populações.

Equação de Fokker-Planck

$\frac{\partial P(x_1,t)}{dt}=-\frac{\partial }{\partial x_1}(r_1{x}_1(1-\frac{x_1+{\alpha }_{12}{x}_2}{K_2})P(x_1,t))+\frac{1}{2}{\alpha }^2\frac{{\partial }^{2}P(x_1,t)}{\partial x_1^2}$

Equações para Duas Populações

O modelo logístico utilizado para duas espécies disputando um território pode ser descrito pelo seguinte par de equações:

$\frac{d{x}_1}{dt}=r_1{x}_1(1-\frac{x_1{\alpha }_{12}{x}_2}{K_1})$

$\frac{d{x}_2}{dt}=r_2{x}_2(1-\frac{x_2{\alpha }_{21}{x}_1}{K_2})$

com $x_1$ e $x_2$ sendo as duas populações consideradas, $r_1$ e $r_2$, o crescimento inerente per-capita, $K_1$ e $K_2$, a capacidade de carga e ${\alpha }_{12}$ e ${\alpha }_{21}$, o efeito que a espécie um tem na espécie dois e vice-versa.

Equações para Três Populações

$\frac{d{x}_1}{dt}=r_1{x}_1(1-\frac{x_1{\alpha }_{12}{x}_2+{\alpha }_{13}{x}_3}{K_1})$

$\frac{d{x}_2}{dt}=r_2{x}_2(1-\frac{x_2{\alpha }_{21}{x}_1+{\alpha }_{23}{x}_3}{K_2})$

$\frac{d{x}_3}{dt}=r_3{x}_3(1-\frac{x_3{\alpha }_{31}{x}_1+{\alpha }_{32}{x}_2}{K_1})$

Equações para N Populações

$\frac{d{x}_i}{dt}=r_i{x}_i(1-\frac{\sum _{j=1}^N{\alpha }_{ij}{x}_j}{K_i})$