Grupo3 - Ondas2

Grupo: Lucas Dória, Caetano Pires e Ânderson Rosa.

O objetivo deste trabalho é analisar três métodos diferentes de integração numérica para resolução de equações diferenciais parciais (EDP's). A equação aqui abordada é a equação da onda, a qual consiste em uma EDP hiperbólica de segunda ordem. Uma pequena noção dos métodos numéricos é dada, após a explicação do problema físico abordado. Os dados encontrados são comentados e comparados com os resultados esperados. Simulações também foram feitas para melhor visualização dos fenômenos. Por último, foi feita uma análise de erros e estabilidade para cada um dos métodos, assim como algumas conclusões foram inferidas.

Introdução

Equações diferenciais parciais hiperbólicas geralmente podem ser formuladas a partir de teoremas de conservação. Um exemplo é a equação do tipo:

${\frac {\partial {\vec {U}}}{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {F}}(U)={\vec {S}}(U),$

onde ${\vec {U}}$ é o vetor de densidades da quantidade conservada, i.e., ${\vec {U}}=(U_{1},...,U_{n}),$ ${\vec {F}}$ é o fluxo de densidade e ${\vec {S}}$ é um termo genérico representando fontes e/ou sumidouros.

Uma classe especial de equações hiperbólicas são as chamadas equações de adveção, na qual a derivada temporal da quantidade conservada ${\vec {U}}({\vec {x}},t)$ é proporcional à sua derivada espacial. Nesses casos, ${\vec {F}}(U)$ é diagonal e dada por:

${\vec {F}}(U)=v{\vec {I}}\cdot {\vec {U}},$

onde ${\vec {I}}$ é a matriz identidade.

Considerando apenas uma dimensão e com ${\vec {U}}\equiv u$, temos a equação de adveção:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+v{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,$

onde $v$ é a velocidade de propagação do pulso gerado. A equação admite uma solução analítica da forma $u=f(x-vt),$ representando um pulso se movendo na direção $x.$

A equação da onda em uma dimensão é uma EDP hiperbólica de segunda ordem dada por

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},$

onde $u=u(x,t)$ é o deslocamento vertical de uma posição $x$ no instante $t$ e admite duas soluções, representadas por pulsos, na forma $f_{1}(x+vt)$ e $f_{2}(x-vt).$

Assumindo que $v$ não depende da posição na equação da onda, nos restringimos a problemas lineares. Além disso, se escrevermos

$k=v{\frac {\partial u}{\partial x}},\qquad s={\frac {\partial u}{\partial t}},$

então a equação da onda pode ser escrita como um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem:

${\begin{cases}\displaystyle {\frac {\partial k}{\partial t}}=v{\frac {\partial s}{\partial x}}\\\\\displaystyle {\frac {\partial s}{\partial t}}=v{\frac {\partial k}{\partial x}}\\\\\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=s\end{cases}}$

Em notação vetorial, o sistema acima pode ser reescrito na forma conservativa como: ${\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {\partial F(U)}{\partial x}}=0,$

onde $U={\begin{pmatrix}k\\s\end{pmatrix}},\quad {\textrm {e}}\quad F(U)={\begin{pmatrix}0&-v\\-v&0\end{pmatrix}}$

Condição CFL

Uma condição necessária mas nem sempre suficiente para a convergência de equações diferenciais parciais resolvidas a partir de métodos de diferença, formulada por Courant, Friedrichs e Lewy em 1928 (aprender a referenciar), conhecida como condição CFL, é formulada a partir do termo de “domínio de dependência”.

Considerando, por exemplo, a equação da advecção (citar a equação da advecção) em uma aproximação a partir de métodos de diferença em sua forma explícita

${\frac {U_{i}^{n+1}-U_{i}^{n}}{\Delta t}}+v{\frac {U_{i}^{n}-U_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0,$

diz-se que o valor de $U_{i}^{n+1}$ depende dos valores anteriores de $U_{i}^{n}$ e $U_{i-1}^{n}$, e esses dois pontos dependem, novamente, de outros dois pontos em tempos anteriores. Todos esses pontos dependentes formam o domínio de dependência do valor $U_{i}^{n+1}$, representado abaixo (botar figura do domínio de dependência).

A condição CFL enuncia que a condição mínima para que haja estabilidade em métodos de diferenças o domínio de dependência da equação diferencia parcial, dado por sua equação característica, deve estar situado dentro do domínio de dependência do esquema numérico.

A partir dessa condição, define-se o número CFL como

$r\equiv v{\frac {\Delta t}{\Delta x}}$

onde $\Delta t$ é um passo na malha temporal e $\Delta x$ é um passo na malha espacial. Para casos unidimensionais, como o que será tratado aqui, a condição CFL é satisfeita se r

$\left|r\right|\leq 1$

Um uso da condição CFL é determinar o tamanho do passo temporal, sabendo-se $v$ e $\Delta x$:

$\Delta t=c_{cfl}{\frac {\Delta x}{\left|v\right|}}$

onde o fator $c_{cfl}<1$.

O número CFL pode ser entendido como um fluxo numérico advectivo adimensionalisado pelas malhas espacial e temporal do problema. De um ponto de vista matemático, ele garante que o domínio numérico de dependência é sempre maior que o domínio físico. De um ponto de vista físico, é garantido que a velocidade de propagação de qualquer perturbação, como uma onda, seja menor ou ao menos igual que a velocidade de propagação numérica, fazendo com que a distância propagada pela perturbação não seja maior do que a divisão da malha espacial:

$\left|v\right|\Delta t\leq \Delta x$

O Problema Físico

O Modelo de Corda Ideal

Para uma primeira abordagem da equação da onda, consideramos uma corda com suas extremidades fixas. Podemos dividir o comprimento $L$ dessa corda em $K$ intervalos de comprimentos iguais, dessa forma $\Delta x={\frac {L}{K}}$. Cada intervalo é discretizado, representado por $x_{i}$, $i=0,1,...,K$. Também podemos dividir o tempo em intervalos iguais $\Delta t$ e denotá-los como $t_{n}$, $n=0,1,...,t_{max}$. Abaixo temos uma esquematização das informações que precisamos para cada ponto da corda:

Tendo feita a discretização das variáveis, podemos aproximar a equação da onda por diferenciação finita, utilizando derivadas centradas da seguinte forma:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {U_{i}^{n+1}-2U_{i}^{n}+U_{i}^{n-1}}{\Delta t^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {U_{i+1}^{n}-2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}}}$

onde $U_{i}^{n}$ representa o valor discretizado de $u(x_{i},t_{n})$.

Assim, chegamos em uma equação discretizada:

${\frac {U_{i}^{n+1}-2U_{i}^{n}+U_{i}^{n-1}}{(\Delta t)^{2}}}=v^{2}{\frac {U_{i+1}^{n}-2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}$.

Sabendo que essa discretização da equação da onda pode ser verificada como sendo o método Leapfrog (ver seção do método de Leapfrog), podemos resolver a equação para $U_{i}^{n+1}$ para sabermos o deslocamento de uma partição da corda no momento de tempo seguinte, assim obtendo

$U_{i}^{n+1}=2(1-r^{2})U_{i}^{n}+r^{2}[U_{i+1}^{n}+U_{i-1}^{n}]-U_{i}^{n-1}$,

onde $r=v{\frac {\Delta t}{\Delta x}}.$

Um Quadro Mais Realístico - O Modelo de Corda Rígida

Para nos aproximarmos de um modelo mais real, podemos adicionar um termo à equação original da onda que corresponde ao efeito de fricção em uma corda. De acordo com [1], a equação da onda mais geral com efeito de fricção pode ser escrita como

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-\epsilon L^{2}{\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}}\right),$

onde $v$ é a velocidade transversal de propagação do pulso na corda, dada pela relação $v={\sqrt[{}]{\frac {T}{\rho }}}$ (sendo $T$ a tensão na corda e $\rho$ a densidade linear da mesma), $\epsilon$ é um parâmetro adimensional de fricção que representa a rigidez da corda e $L$ o comprimento da corda.

O parâmetro $\epsilon$ é dado por

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \epsilon = \kappa² \frac{E S}{T L^2}} ,

onde $\kappa$ é o raio de giro da corda, $E$ é o Módulo de Young e $S$ a área da secção da corda.

Discretizamos a equação da seguinte maneira:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {U_{i}^{n+1}-2U_{i}^{n}+U_{i}^{n-1}}{\Delta t^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {U_{i+1}^{n}-2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}}}$

${\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}}={\frac {U_{i+2}^{n}-4U_{i+1}^{n}+6U_{i}^{n}-4U_{i-1}^{n}+U_{i-2}^{n}}{\Delta x^{4}}}$

e resolvemos para $U_{i}^{n+1}$, obtendo:

$U_{i}^{n+1}=[2-2r^{2}-6\epsilon r^{2}K^{2}]U_{i}^{n}-U_{i}^{n-1}+r^{2}[1+4\epsilon K^{2}][U_{i+1}^{n}+U_{i-1}^{n}]-\epsilon r^{2}K^{2}[U_{i+2}^{n}+U_{i-2}^{n}].$

O fato de essa discretização depender do deslocamento da corda em posições $i-2$ e $i+2$ implica em precisarmos simular "pontos fantasmas" quando integramos os extremos das cordas. Para fazermos isso, podemos ou utilizar a aproximação $U_{-1}^{n}=-U_{+1}^{n}$ ou podemos considerar esses "pontos fantasmas" como pontos presos e, portanto, sempre iguais a zero.

Os Métodos Utilizados

Foi realizada uma abordagem ao problema da corda real a partir de três métodos diferentes de integração numérica.

O método mais básico é chamado de FTCS (Forward-Time-Centered-Space) e consiste em duas expansões de Taylor ao redor do ponto $x_{j}$:

$u(x_{i}+\Delta x,t^{n})=u(x_{i},t^{n})+{\frac {\partial u}{\partial x}}(x_{i},t^{n})\Delta x+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(x_{i},t^{n})\Delta x^{2}+{\mathcal {O}}(\Delta x^{3}),$

$u(x_{i}-\Delta x,t^{n})=u(x_{i},t^{n})-{\frac {\partial u}{\partial x}}(x_{i},t^{n})\Delta x+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(x_{i},t^{n})\Delta x^{2}+{\mathcal {O}}(\Delta x^{3}).$

Subtraindo as duas expressões, encontramos a expressão

$\left.{\frac {\partial u}{\partial x}}\right|_{i}^{n}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\Delta x}}+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})$,

A qual podemos substituir na equação da onda, juntamente com a discretização da derivada parcial temporal. Temos então que, para um sistema linear de equações hiperbólicas:

${\textbf {U}}_{i}^{n+1}={\textbf {U}}_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}[{\textbf {F}}_{i+1}^{n}-{\textbf {F}}_{i-1}^{n}]+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2},\Delta x^{2}\Delta t)$

Visto que essa última notação é mais genérica, ela será utilizada para a explicação dos métodos posteriores.

O Método de Lax-Friedrichs

O método de Lax-Friedrichs consiste em substituir o termo ${\textbf {U}}_{i}^{n}$ com sua respectiva média espacial, i.e., $U_{i}^{n}=(U_{i+1}^{n}+U_{i-1}^{n})/2$. Logo, temos a seguinte equação de recorrência:

${\textbf {U}}_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}({\textbf {U}}_{i+1}^{n}+{\textbf {U}}_{i-1}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}[{\textbf {F}}_{i+1}^{n}-{\textbf {F}}_{i-1}^{n}]+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})$

O Método de Leapfrog

Tanto o método FTCS quanto o método de Lax-Friedrichs são métodos de primeira ordem para a derivada temporal. Nessas circunstâncias, $v\Delta t$ deve ser significantemente menor do que $\Delta x$, muito abaixo do limite imposto pela condição de Courant.

Uma nova expressão para a derivada temporal, com precisão de segunda ordem é dada por

$\left.{\frac {\partial u}{\partial t}}\right|_{i}^{n}={\frac {U_{i}^{n+1}-U_{i}^{n-1}}{2\Delta t}}+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2}).$

Substituindo a nova expressão acima no método de FTCS discutido anteriormente, encontramos o método de Leapfrog:

${\textbf {U}}_{i}^{n+1}={\textbf {U}}_{i}^{n-1}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}[{\textbf {F}}_{i+1}^{n}-{\textbf {F}}_{i-1}^{n}]+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2}).$

Como o método de Leapfrog foi o mais aplicado na resolução do problema da onda, é interessante um aprofundamento maior do método. Podemos adaptar o método de Leapfrog para o sistema de equações definido para a equação da onda ao fazermos a discretização ao redor de um ponto qualquer $i$ no instante de tempo $n$:

$k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}\equiv v\left.{\frac {\partial U}{\partial x}}\right|_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}=v{\frac {U_{i+1}^{n}-U_{i}^{n}}{\Delta x}}+{\mathcal {O}}(\Delta x)\qquad (1)$

$s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}\equiv \left.{\frac {\partial U}{\partial t}}\right|_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {U_{i}^{n+1}-U_{i}^{n}}{\Delta t}}+{\mathcal {O}}(\Delta t)\qquad (2)$

Com essas discretizações, podemos utilizar as equações (1) e (2) para resolvermos para $k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+1}$ apenas em termos de $s$, $k$ e $r$. Fazendo as substituições dessas duas equações uma na outra, obtemos:

${\frac {\Delta x}{v}}k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+1}=s_{i+1}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t+{\frac {\Delta x}{v}}k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}+U_{i}^{n}-(s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t+U_{i}^{n})$

Dessa equação, chegamos a

$k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+1}=k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}+r(s_{i+1}^{n+{\frac {1}{2}}}-s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}})+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})\qquad (3)$

Utilizando o mesmo raciocínio, podemos também resolver para $s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}$ e obter

$s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}=s_{i}^{n-{\frac {1}{2}}}+r(k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}-k_{i-{\frac {1}{2}}}^{n})+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})\qquad (4)$

Com essas duas equações, podemos fazer uma integração utilizando o método de Euler para obter $U_{i}^{n+1}$, ou seja, o deslocamento de um determinado ponto $i$ da corda no próximo instante de tempo:

$U_{i}^{n+1}=U_{i}^{n}+{\frac {\Delta t}{2}}s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2}).$

Contudo, podemos fazer uma simples substituição das equações $(1)$ e $(2)$ nas equações $(3)$ e $(4)$ e, assim, obtemos que a representação de Leapfrog da equação da onda é dada pela discretização de segunda ordem da própria equação da onda, com ${\mathcal {O}}(\Delta t^{2},\Delta x^{2})$. Isso nos dá uma solução de "um passo", onde só precisamos efetuar o cálculo da equação discretizada pelo método da derivação finita, ou seja, para o caso da corda ideal, a equação

$U_{i}^{n+1}=2(1-r^{2})U_{i}^{n}+r^{2}[U_{i+1}^{n}+U_{i-1}^{n}]-U_{i}^{n-1}.$

O Método de Lax-Wendroff

O método de Lax-Wendroff é a extensão do método de Lax-Friedrichs de segunda ordem. Calculamos o vetor $U$ a partir de um passo médio de Lax-Friedrichs:

${\textbf {U}}_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}[{\textbf {U}}_{i+1}^{n}+{\textbf {U}}_{i}^{n}]-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}[{\textbf {F}}_{i+1}^{n}-{\textbf {F}}_{i}^{n}]+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})$,

${\textbf {U}}_{i-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}[{\textbf {U}}_{i}^{n}+{\textbf {U}}_{i-1}^{n}]-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}[{\textbf {F}}_{i}^{n}-{\textbf {F}}_{i-1}^{n}]+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})$,

E encontramos os fluxos ${\textbf {F}}_{i\pm {\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}$ a partir dos valores de ${\textbf {U}}_{i\pm {\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}.$

Logo, com um meio passo de Leapfrog, temos a expressão final do método:

${\textbf {U}}_{i}^{n+1}={\textbf {U}}_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left[{\textbf {F}}_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}-{\textbf {F}}_{i-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}\right]+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})$

Análise e Discussão dos Resultados

Escolhemos para simular quatro diferentes cordas: as cordas C2, C4 e C7 de um piano cujos dados foram obtidos no artigo sobre cordas Numerical simulations of piano strings (Chaigne) [3] e uma corda com dados pré-estabelecidos encontrados no livro Computational Physics escrito por N. J. Giordano [1]. Os dados das cordas C2, C4 e C7 estão na tabela abaixo.

	C2	C4	C7
Comprimento ($m$)	$1.90$	$0.62$	$0.09$
Massa($g$)	$35$	$3.93$	$0.467$
Tensão ($N$)	$750$	$670$	$750$
Divisões	$100$	$50$	$16$
Amostragem de sinal	$16\times 10^{3}$	$32\times 10^{3}$	$96\times 10^{3}$
Parâmetro de fricção	$7.5\times 10^{-6}$	$3.82\times 10^{-5}$	$8.67\times 10^{-4}$

Desses dados, temos que a densidade linear de massa das cordas é dada por

$\rho ={\frac {M}{l}},$

onde $M$ é a massa e $l$ o comprimento da corda,

$v={\sqrt {\frac {T}{\rho }}},$

onde $T$ é a tensão na corda,

$\Delta x={\frac {l}{K}},$

$\Delta t={\frac {1}{f_{e}}},$

e

$r=v{\frac {\Delta t}{\Delta x}}.$

Para a corda com dados pré-estabelecidos, utilizamos uma corda com 2 metros de comprimento, com velocidade de propagação da onda sendo 300$m/s$, $\Delta x$ de 0.01$m$, $\Delta t={\frac {\Delta x}{4v}}$ e parâmetro de fricção de $7.5\times 10^{-6}$. Supondo a corda inicialmente em repouso, temos que em $t=0$ a corda recebe em seu centro o equivalente à batida do martelo do piano. Supomos que esse estímulo possuía o formato aproximado de uma Gaussiana com amplitude de ${\frac {1}{4}}$ do comprimento de cada corda. Então, com o estado inicial sendo um pulso com o formato de um pacote gaussiano e os dados da tabela, simulamos a propagação de ondas em cada uma das cordas.

Utilizando o método de Leapfrog, foi realizada uma primeira simulação para uma onda ideal em uma corda:

Simulação de uma onda em uma corda ideal. A corda simulada possuía comprimento de 2 metros e a amplitude inicial do pulso gaussiano tinha amplitude de 0.5 metros. Foi utilizado uma velocidade de propagação de 300 m/s, $\Delta x=0.01$ e $\Delta t={\frac {\Delta x}{4v}}$.

Corda C2:

Simulação de uma corda C2 de um piano com os parâmetros da tabela acima.

Estado da corda C2 em diferentes instantes de tempo.

Corda C4:

Simulação de uma corda C4 de um piano com os parâmetros da tabela acima.

Estado da corda C4 em diferentes instantes de tempo.

Corda C7:

Simulação de uma corda C7 de um piano com os parâmetros da tabela acima.

Estado da corda C7 em diferentes instantes de tempo.

Corda com as definições do Giordano:

Simulação da corda exemplificada no livro Computational Physics [1]. Os parâmetros utilizados estão descritos no texto.

Estado da corda usada como exemplo pelo autor Giordano em diferentes instantes de tempo.

É possível observar que o tempo necessário para que, devido a fricção, os movimentos na corda diferenciem-se cada vez mais da solução para a corda ideal é menor para um tamanho de corda menor, ou seja, a fricção acaba sendo mais relevante mais rapidamente em cordas mais curtas.

Análise de Erro e Estabilidade dos Métodos

Estabilidade do método Leapfrog

Pela estabilidade de Von Neumann, podemos escrever que

$r\leq 1.$

Para $r=1$, a equação da discretização da onda pode ser reescrita como

$U_{i}^{n+1}=U_{i+1}^{n}+U_{i-1}^{n}-U_{i}^{n-1}.$

Essa escolha com

${\frac {\Delta x}{\Delta t}}=v$

nos dá a solução exata sem dispersão numérica, como pode ser verificado pela condição CFL. Contudo, $r=1$ é válido somente no caso de uma corda ideal. É conveniente escrever a condição acima em termos da amostragem de sinal $f_{e}={\frac {1}{\Delta t}}$ e a frequência fundamental da corda $f_{1}={\frac {v}{2L}}$, o que nos leva a

$Kf_{1}\leq {\frac {f_{e}}{2}}$

O teorema de Nyquist diz que a frequência superior no espectro deve ser menor do que ${\frac {f_{e}}{2}}$ para evitar serrilhamento e para garantir uma reconstrução única e contínua. Logo, no caso ideal quando as autofrequências da corda são igualmente espaçadas ($\Delta f=f_{1}$), a condição de Nyquist indica que o número máximo de frequências no espectro é $K$. Isso significa que essa condição pode ser usada para selecionar o número apropriado de pontos espaciais $K$ para a corda. Entretanto, como $K$ é um inteiro, apenas valores discretos da frequência natural podem ser obtidos sem erros de trucamento, ou seja, usando $r=1$. Como series discretas não costumam ser utilizadas, precisamos aceitar pequenos erros de truncamento para ajustar $f_{1}$, ou seja, utilizando $r<1$. No caso de uma onda com fricção, temos que $r={\frac {1}{4}}$ é um valor de boa estabilidade.

Referências Bibliográficas

[1] N. J. Giordano, "Computational Physics". Department of Physics, Purdue University. Upper Saddle River, New Jersey. Prentice-Hall, 1997.

[2] Luciano Rezzolla, "Numerical Methods for the Solution of Partial Differential Equations". Albert Einstein Institute, Max-Planck-Institute for Gravitational Physics, Potsdam, Germany.

[3] Antoine Chaign, Anders Askenfelt, "Numerical simulations of piano strings. I. A physical model for a struck string using finite difference methods". Signal Department, Paris, France. Department of Speech Communication and Music Acoustics; Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden.