Lançamento Oblíquo Estocástico: mudanças entre as edições

De Física Computacional
Ir para navegação Ir para pesquisar
Linha 90: Linha 90:
onde <math>\xi(t)dt = dW(t)</math> é o incremento de Wiener, um processo estocástico com distribuição gaussiana de largura <math>\sqrt{t}dt</math>.  
onde <math>\xi(t)dt = dW(t)</math> é o incremento de Wiener, um processo estocástico com distribuição gaussiana de largura <math>\sqrt{t}dt</math>.  


Entretanto, quando o termo <math>B(X,t)</math> depende do processo estocástico, o ruído é dito multiplicativo e devemos utilizar um cálculo estocástco especial, por exemplo  o cálculo de Itô e de Stratonovich. No cálculo de Stratonovich, as regras de integração, diferenciação, mudança de variáveis, etc se mantém as mesmas do cálculo usual, e a equação é escrita como:
Entretanto, quando o termo <math>B(X,t)</math> depende do processo estocástico, o ruído é dito multiplicativo e devemos utilizar um cálculo estocástco especial, por exemplo  o cálculo de Itô e de Stratonovich.  
 
 
No cálculo de Stratonovich, as regras de integração, diferenciação, mudança de variáveis, etc se mantém as mesmas do cálculo usual, e a equação é escrita como:


<math>
<math>
Linha 102: Linha 105:
</math>
</math>


Agora, é necessário explicitar <math>\Delta X(t)</math> na equação acima, porém, a dependência de <math>B(X(t))</math> não é linear em relação à altura, o que torna inviável esse procedimento. Com isso, a atenção volta-se para o cálculo de Itô, dado por:
Ao subsituir os valores de <math>A(X(t))</math> e de <math>B(X(t))</math> na equação acima, chega-se em:
 
<math>
\Delta x(t) = v_x(t) \Delta t
</math>
 
<math>
\Delta v_x(t) = -\frac{\alpha}{m} v_x(t) \Delta t + \beta e^{-c y(t)} e^{-0,5 c \Delta y(t)}
</math>
 
<math>
\Delta y(t) = v_y(t) \Delta t
</math>
 
<math>
\Delta v_y(t) = -g \Delta t -\frac{\alpha}{m} v_x(t) \Delta t + \beta e^{-c y(t)} e^{-0,5 c \Delta y(t)}
</math>
 
Agora, é necessário explicitar <math>\Delta X(t)</math> na equação acima, porém a dependência de <math>B(X(t))</math> não é linear em relação à altura, o que torna inviável esse procedimento.  
 
 
Com isso, a atenção volta-se para o cálculo de Itô, dado por:


<math>
<math>
dX(t) = \left[A(X(t)) + \frac{1}{2} \frac{\partial B}{\partial X}B(X(t))\right] dt + B(X(t)) \bullet dW(t)
dX(t) = \left[A(X(t)) + \frac{1}{2} \frac{\partial B}{\partial X}B(X(t))\right] dt + B(X(t)) \bullet dW(t)
</math>
</math>

Edição das 13h21min de 17 de agosto de 2024

O lançamento oblíquo é um clásico problema da mecanica, onde um projétil e lançado com velocidade inicial em uma direção que faz um angulo com a horizontal. Nesse casso iremos considerar o movimento com arrasto em que a força de resistencia do ar é oposta ao movimento e proporcional a velocidade

O objetivo é descrever o movimento do projétil em duas dimensões, levando em consideração tanto a força da gravidade quanto a resistência do ar então adicionar um termo de ruido no sistema e analizar seu comportamento.

Equações de Movimento

Começamos decompondo as velocidades nas direções x e y

Para as equações de movimento usamos a segunda lei de Newton nas componentes horizontais e verticais

onde:

  • é a massa do projétil
  • é a aceleração da gravidade
  • é o coeficiente de arrasto

Introduzindo e podemos reescrever as equações como diferenciais de primeira ordem.

Essas E.D. possuem solução analitica bastando integrar nos limites adequados. A integração numérica por Euler é dirta a partir das relações a cima e nos da uma trajetoria para comparação quando adicionar o termo de ruido:

Utilizando as seguintes condições iniciais e podemos atualizar a posição

Para modelar o ruído produzido pela densidade do ar, consideramos dois regimes. No primeiro, assumimos que a densidade é constante ao longo da trajetória, ou seja, e, portanto, trataremos o problema como uma EDE com ruído aditivo, onde . Na segunda situação, consideramos que a densidade varia com a altitude do projétil, seguindo a relação e, nesse caso, abordaremos como uma EDE com ruído multiplicativo, onde .

Equação diferencial estocástica

A equação diferencial estocástica a ser resolvida é:

Caso o termo for uma constante, exemplo em que a densidade do ar não muda significativamente, o ruído é dito aditivo. Então, a integração da equação é direta, resultando em:

onde é o incremento de Wiener, um processo estocástico com distribuição gaussiana de largura .

Entretanto, quando o termo depende do processo estocástico, o ruído é dito multiplicativo e devemos utilizar um cálculo estocástco especial, por exemplo o cálculo de Itô e de Stratonovich.


No cálculo de Stratonovich, as regras de integração, diferenciação, mudança de variáveis, etc se mantém as mesmas do cálculo usual, e a equação é escrita como:

com o detalhe que o argumento de é, na realidade, cálculado na média de X entre os limites do intervalo de integração. Ou seja, ao escrever a equação em diferenças finitas, obtém-se:

Ao subsituir os valores de e de na equação acima, chega-se em:

Agora, é necessário explicitar na equação acima, porém a dependência de não é linear em relação à altura, o que torna inviável esse procedimento.


Com isso, a atenção volta-se para o cálculo de Itô, dado por: