Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

Equação de Liouville-bratu-Gelfand

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

${\mathrm{\nabla }}^2\psi +\lambda e^{\psi }=0$

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

A solução de Liouville

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

$\lambda e^{\psi }(u^2+v^2+1{)}^2=2[{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2]$

onde $f(z)=u+iv$ é uma função analítica arbitrária com $z=x+iy$. Em 1915, G.W. Walker encontrou uma solução assumindo uma forma para $f(z)$. Se $r^2=x^2+y^2$, então a solução de Walker é

$8e^{-\psi }=\lambda {[{\left(\frac{r}{a}\right)}^n+{\left(\frac{a}{r}\right)}^n]}^2$

onde $a$ é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer $n$, mas vai ao infinito na origem $n<1$ , finito na origem para $n=1$ e vai a zero na origem para $n>1$. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

Formas radialmente simétricas

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em $n$ dimensões torna-se

${\psi }^{″}+\frac{n-1}{r}{\psi }^{\prime }+\lambda e^{\psi }=0$

onde $r$ é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

${\psi }^{\prime }(0)=0,\psi (1)=0$

e para $\lambda \ge 0$, uma solução real existe apenas para $\lambda \in [0,{\lambda }_c]$, onde ${\lambda }_c$ é o parâmetro crítico chamado de parâmetro de Frank-Kamenetskii. O parâmetro crítico é ${\lambda }_c=0.8785$ para $n=1$, ${\lambda }_c=2$ para $n=2$ e ${\lambda }_c=3.32$ para $n=3$. Para $n=1,2$, existem duas soluções e para $3\le n\le 9$ existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto $\lambda =2(n-2)$. Para $n\ge 10$, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por ${\lambda }_c=2(n-2)$. A multiplicidade de soluções para $n=3$ foi descoberta por Israel Gelfand em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os $n$ por Daniel D. Joseph e Thomas S. Lundgren.

A solução para $n=1$ que é válida no intervalo $\lambda \in [0,0.8785]$ é dada por

$\psi =-2\ln [e^{-{\psi }_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda }}{\sqrt{2}}{e}^{-{\psi }_m/2}r\right)]$

onde ${\psi }_m=\psi (0)$ está relacionada a $\lambda$ como

$e^{{\psi }_m/2}=\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda }}{\sqrt{2}}{e}^{-{\psi }_m/2}\right).$

A solução para $n=2$ que é válida no intervalo $\lambda \in [0,2]$ é dada por

$\psi =\ln \left[\frac{64e^{{\psi }_m}}{(\lambda e^{{\psi }_m}{r}^2+8{)}^2}\right]$

onde ${\psi }_m=\psi (0)$ está relacionada a $\lambda$ como

$(\lambda e^{{\psi }_m}+8{)}^2-64e^{{\psi }_m}=0.$

Método Crank-Nicolson

Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

$\frac{{\psi }_{j,i}^{n+1}-{\psi }_{j,i}^n}{\mathrm{\Delta }t}=\theta .implicito+(1-\theta ).explicito$

onde $\theta =\frac{1}{2}$.

Método Explícito FTCS

Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:

${\psi }_{j,i}^{n+1}={\psi }_{j,i}^n+\mathrm{\Delta }t(\frac{{\psi }_{i-1,j}^n-2{\psi }_{i,j}^n+{\psi }_{i+1,j}^n}{{(\mathrm{\Delta }x)}^2}+\frac{{\psi }_{i,j-1}^n-2{\psi }_{i,j}^n+{\psi }_{i,j+1}^n}{{(\mathrm{\Delta }y)}^2}+\lambda e^{{\psi }_{i,j}^n})$

considerando $\mathrm{\Delta }x=\mathrm{\Delta }y$ resulta em:

${\psi }_{j,i}^{n+1}={\psi }_{j,i}^n+\frac{\mathrm{\Delta }t}{{(\mathrm{\Delta }x)}^2}({\psi }_{i-1,j}^n+{\psi }_{i+1,j}^n+{\psi }_{i,j-1}^n+{\psi }_{i,j+1}^n-4{\psi }_{i,j}^n)+\mathrm{\Delta }t\lambda e^{{\psi }_{i,j}^n}$

Método Implícito FTCS

Para o método implícito a equação é discretizada da mesma forma, porém a derivada é "para trás", resultando em:

${\psi }_{j,i}^{n+1}={\psi }_{j,i}^n+\frac{\mathrm{\Delta }t}{{(\mathrm{\Delta }x)}^2}({\psi }_{i-1,j}^{n+1}+{\psi }_{i+1,j}^{n+1}+{\psi }_{i,j-1}^{n+1}+{\psi }_{i,j+1}^{n+1}-4{\psi }_{i,j}^{n+1})+\mathrm{\Delta }t\lambda e^{{\psi }_{i,j}^{n+1}}$

Substituindo ambos os métodos na equação do método de Crank-Nicolson obtemos:

${\psi }_{j,i}^{n+1}={\psi }_{j,i}^n+\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{\Delta }t}{{(\mathrm{\Delta }x)}^2}({\psi }_{i-1,j}^{n+1}+{\psi }_{i+1,j}^{n+1}+{\psi }_{i,j-1}^{n+1}+{\psi }_{i,j+1}^{n+1}-4{\psi }_{i,j}^{n+1})+\mathrm{\Delta }t\lambda e^{{\psi }_{i,j}^{n+1}}+\frac{\mathrm{\Delta }t}{{(\mathrm{\Delta }x)}^2}({\psi }_{i-1,j}^n+{\psi }_{i+1,j}^n+{\psi }_{i,j-1}^n+{\psi }_{i,j+1}^n-4{\psi }_{i,j}^n)+\mathrm{\Delta }t\lambda e^{{\psi }_{i,j}^n})$

Método de Relaxação

Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente ($t\to \mathrm{\infty }$).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

$\frac{\partial \psi }{dt}=\alpha (\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2})$.

Onde $\alpha$ é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

Referências

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
2. Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.