Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

Equação de Liouville-bratu-Gelfand

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

$\nabla ^{2}\psi +\lambda e\psi$

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

A solução de Liouville

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[(\frac{\partial u}{\partial x})^2 + \frac{\partial u}{\partial y})^2\right] <math> where f(z)=u+iv is an arbitrary analytic function with z=x+iy . In 1915, G.W. Walker found a solution by assuming a form for f(z) . If r2=x2+y2 , then Walker's solution is 8e−ψ=λ[(ra)n+(ar)n]2 where a is some finite radius. This solution decays at infinity for any n , but becomes infinite at the origin for n<1 , becomes finite at the origin for n=1 and becomes zero at the origin for n>1 . Walker also proposed two more solutions in his 1915 paper. Radially symmetric forms If the system to be studied is radially symmetric, then the equation in n dimension becomes ψ″+n−1rψ′+λeψ=0 where r is the distance from the origin. With the boundary conditions ψ′(0)=0,ψ(1)=0 and for λ≥0 , a real solution exists only for λ∈[0,λc] , where λc is the critical parameter called as Frank-Kamenetskii parameter. The critical parameter is λc=0.8785 for n=1 , λc=2 for n=2 and λc=3.32 for n=3 . For n=1, 2 , two solution exists and for 3≤n≤9 infinitely many solution exists with solutions oscillating about the point λ=2(n−2) . For n≥10 , the solution is unique and in these cases the critical parameter is given by λc=2(n−2) . Multiplicity of solution for n=3 was discovered by Israel Gelfand in 1963 and in later 1973 generalized for all n by Daniel D. Joseph and Thomas S. Lundgren. The solution for n=1 that is valid in the range λ∈[0,0.8785] is given by ψ=−2ln⁡[e−ψm/2cosh⁡(λ2e−ψm/2r)] where ψm=ψ(0) is related to λ as eψm/2=cosh⁡(λ2e−ψm/2). The solution for n=2 that is valid in the range λ∈[0,2] is given by ψ=ln⁡[64eψm(λeψmr2+8)2] where ψm=ψ(0) is related to λ as (λeψm+8)2−64eψm=0. </source><br /> == Método de Relaxação == Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty} ).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

${\frac {\partial \psi }{dt}}=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\right)$.

Onde $\alpha$ é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

Referências

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
2. Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.