Equação de Schrödinger Unidimensional

Conhecer o estado de uma partícula, na Mecânica Clássica, é saber, em um determinado momento, sua velocidade e sua posição. A partir destes valores, é possível determinar os seus futuros estados utilizando as relações fornecidas pelas Leis de Newton. Na Mecânica Quântica, porém, o estado físico não é mais caracterizado por uma quantidade discreta de valores numéricos, e sim, por uma função. A chamada Função de Onda, $\mathrm{\Psi }$, nos informa a evolução temporal do estado quântico de uma partícula, seguindo a Equação de Schrödinger. Em uma dimensão, a Equação de Schrödinger é dada por:

$-\frac{\hslash }{2m}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2}+V(x)\mathrm{\Psi }=i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}$

O Método De Crank-Nicolson

A fim de resolvê-la numericamente para diferentes tipos de potenciais, usou-se o Método de Crank-Nicolson de resolução de EDPs. Este método baseia-se em combinar os métodos explícito e implícito (com igual contribuição) para aumentar sua estabilidade.

O método explícito FTCS (Forward Time Central Space) consiste em tomar derivadas temporais "para frente" e manter a derivada espacial centrada.

$\frac{\partial \mathrm{\Psi }(x,t)}{\partial t}=\frac{\mathrm{\Psi }(x,t+\mathrm{\Delta }t)-\mathrm{\Psi }(x,t)}{\mathrm{\Delta }t}$

$\frac{\partial \mathrm{\Psi }(x,t)}{\partial x}=\frac{\mathrm{\Psi }(x+\mathrm{\Delta }x,t)-\mathrm{\Psi }(x,t)}{\mathrm{\Delta }x}$; $\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }(x,t)}{{\partial }^{2}x}=\frac{(\mathrm{\Psi }(x+\mathrm{\Delta }x,t)-\mathrm{\Psi }(x+\mathrm{\Delta }x-\mathrm{\Delta }x,t))-(\mathrm{\Psi }(x,t)-\mathrm{\Psi }(x-\mathrm{\Delta }x,t))}{\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{\Psi }(x+\mathrm{\Delta }x,t)+\mathrm{\Psi }(x-\mathrm{\Delta }x,t)-2\mathrm{\Psi }(x,t)}{\mathrm{\Delta }{x}^2}$

Tomando $\hslash =m=1$ (unidades atômicas), ao inserirmos as expressões acima na Equação de Schrödinger, temos que:

$\frac{i}{2}\frac{\mathrm{\Psi }(x+\mathrm{\Delta }x,t)+\mathrm{\Psi }(x-\mathrm{\Delta }x,t)-2\mathrm{\Psi }(x,t)}{\mathrm{\Delta }{x}^2}-iV(x)\mathrm{\Psi }(x,t)=\frac{\mathrm{\Psi }(x,t+\mathrm{\Delta }t)-\mathrm{\Psi }(x,t)}{\mathrm{\Delta }t}$

Simplificando a notação para $\mathrm{\Psi }(x,t)={\mathrm{\Psi }}_j^n$, onde $j$ representa a posição e $n$ o tempo, e reorganizando os termos, ficamos com:

${\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}={\mathrm{\Psi }}_j^n+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2\mathrm{\Delta }{x}^2}({\mathrm{\Psi }}_{j+1}^n+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^n-2{\mathrm{\Psi }}_j^n)-i\mathrm{\Delta }t{V}_j{\mathrm{\Psi }}_j^n$

O método implícito é semelhante, porém a derivada temporal é "para trás".

$\frac{\partial \mathrm{\Psi }(x,t)}{\partial t}=\frac{\mathrm{\Psi }(x,t)-\mathrm{\Psi }(x,t-\mathrm{\Delta }t)}{\mathrm{\Delta }t}$

O que nos leva a ter:

${\mathrm{\Psi }}_j^n={\mathrm{\Psi }}_j^{n-1}+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2\mathrm{\Delta }{x}^2}({\mathrm{\Psi }}_{j+1}^n+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^n-2{\mathrm{\Psi }}_j^n)-i\mathrm{\Delta }t{V}_j{\mathrm{\Psi }}_j^n$

que, com uma substituição de variável (que é muda), nos dá, enfim:

${\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}={\mathrm{\Psi }}_j^n+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2\mathrm{\Delta }{x}^2}({\mathrm{\Psi }}_{j+1}^{n+1}+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^{n+1}-2{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1})-i\mathrm{\Delta }t{V}_j{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}$

Como dito, o Método de Crank-Nicolson é uma combinação dos métodos implícito e explícito, cada um tendo o mesmo peso de 1/2. Ao somarmos as duas equações (cada uma multiplicada por 0.5), ficaremos com a seguinte expressão:

${\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}={\mathrm{\Psi }}_j^n+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4\mathrm{\Delta }{x}^2}({\mathrm{\Psi }}_{j+1}^n+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^n-2{\mathrm{\Psi }}_j^n+{\mathrm{\Psi }}_{j+1}^{n+1}+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^{n+1}-2{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1})-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}{V}_j({\mathrm{\Psi }}_j^n+{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1})$

que, ao reorganizarmos para isolar os ${\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}$, resulta em:

$(1+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2\mathrm{\Delta }{x}^2}+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}{V}_j){\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4\mathrm{\Delta }{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j+1}^{n+1}-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4\mathrm{\Delta }{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^{n+1}=(1-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2\mathrm{\Delta }{x}^2}-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}{V}_j){\mathrm{\Psi }}_j^n+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4\mathrm{\Delta }{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j+1}^n+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4\mathrm{\Delta }{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^n$

Para resolver a equação em simultaneamente para ambos os tempos e em todos os pontos, escrevemos a equação em forma matricial:

$\left(\begin{array}{ccccccc}1+2b+\frac{i\mathrm{\Delta }t{V}_j}{2}& -b& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ -b& 1+2b+\frac{i\mathrm{\Delta }t{V}_j}{2}& -b& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& -b& 1+2b+\frac{i\mathrm{\Delta }t{V}_j}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_1^{n+1}\\ {\mathrm{\Psi }}_2^{n+1}\\ ⋮\\ {\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccccc}1-2b-\frac{i\mathrm{\Delta }t{V}_j}{2}& +b& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ +b& 1-2b-\frac{i\mathrm{\Delta }t{V}_j}{2}& +b& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& +b& 1-2b-\frac{i\mathrm{\Delta }t{V}_j}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_1^n\\ {\mathrm{\Psi }}_2^n\\ ⋮\\ {\mathrm{\Psi }}_j^n\end{array}\right);$

com $b=\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4\mathrm{\Delta }{x}^2}$.

Podemos notar que a diferença entre as matrizes que multiplicam ${\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}$ e ${\mathrm{\Psi }}_j^n$ é somente o sinal das componente imaginárias. Assim, a equação final pode ser escrita como:

$A{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}=A^{*}{\mathrm{\Psi }}_j^n$, onde A é a matriz $\left(\begin{array}{ccccccc}1+2b+\frac{i\mathrm{\Delta }t{V}_j}{2}& -b& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ -b& 1+2b+\frac{i\mathrm{\Delta }t{V}_j}{2}& -b& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& -b& 1+2b+\frac{i\mathrm{\Delta }t{V}_j}{2}\end{array}\right)$

Exemplos de Potenciais

Oscilador Harmônico

O oscilador harmônico quântico consiste de uma partícula em uma zona onde o potencial possui comportamento harmônico, ou seja, depende de $x^2$. Em nosso exemplo, inserimos um pacote de formato gaussiano no interior de um potencial harmônico e observamos sua evolução temporal.

Abaixo encontra-se o código usado em Júlia.

using Plots

dt = 0.1
dx = 0.25
L = 50
x = collect(0:dx:L)
size(x)	

function V_Oh(x)
    return 0.005(x-L/2)^2
end

b = dt*im/(4*dx^2)
A = [if i==j; 1 - 2b  - V_Oh(i)*dt*im/2 elseif i==dx+j || i==j-dx; b else 0 end for i=0:dx:L, j=0:dx:L]
B = @. conj(A)
IB = inv(B)

len = length(x)
ψ = [(sqrt(1/(2*pi))*exp(-(val - L/3)^2/(2))*exp(-im*75*(val-L/3))) for val in x]  
for (i,num) in enumerate(ψ)
    if abs(num)<1e-10; 
        ψ[i]=0 
    end
end

ves = @. V_Oh(x)

t=0
@gif for t in 0:dt:65
    ψ[2:end-1] = IB[2:end-1,2:end-1]*A[2:end-1,2:end-1]*ψ[2:end-1]

    plot(x,abs2.(ψ),c="red")
    #plot!([x for x=0:dx:L],imag(ψ),c="blue")
    plot!([x for x=0:dx:L],ves,c="blue")
    plot!(ylim=[0,0.5],title="t=$t")
end every 3

Barreira (Tunelamento)

Na mecânica quântica partículas podem existir, mesmo que com baixa probabilidade, em regiões que classicamente seriam proibidas. Este é o caso da barreira, onde uma partícula atravessa uma região onde sua energia total é negativa. Chamamos este fenômeno de tunelamento. A seguir, há um exemplo onde inserimos um pacote de formato gaussiano se deslocando em direção a uma barreira de potencial, de forma que parte da onda é refletida de volta e outra tunela pela barreira.

Abaixo encontra-se o código usado em Júlia.

using Plots

dt = 0.1
dx = 0.25
L = 50
x = collect(0:dx:L)
size(x)	

function V_b(x)
    if x==L/2
        return 1
    else
        return 0
    end
end

b = dt*im/(4*dx^2)
A_b = [if i==j; 1 - 2b  - V_b(i)*dt*im/2 elseif i==dx+j || i==j-dx; b else 0 end for i=0:dx:L, j=0:dx:L]
B_b = @. conj(A_b)
IB_b = inv(B_b)

len = length(x)
ψ = [(sqrt(1/(8*pi))*exp(-(val - L/3)^2/(8))*exp(-im*75*(val-L/3))) for val in x]  
for (i,num) in enumerate(ψ)
    if abs(num)<1e-10; 
        ψ[i]=0 
    end
end

ves_b = @. V_b(x)

t=0
@gif for t in 0:dt:35
    ψ[2:end-1] = IB_b[2:end-1,2:end-1]*A_b[2:end-1,2:end-1]*ψ[2:end-1]
for (i,num) in enumerate(ψ)
    if abs(num)<1e-10; 
        ψ[i]=0 
    end
end
    plot(x,abs2.(ψ),c="red",label="|ψ|^2")
    #plot!([x for x=0:dx:L],imag(ψ),c="blue")
    plot!([x for x=0:dx:L],ves_b,c="blue",label="V(x)")
    plot!(ylim=[0,0.2],title="t=$t")
end

Poço Finito

O contrário da barreira é o chamado de poço de potencial. Ao invés da partícula atravessá-lo por completo, uma parte do pacote de onda é refletido, uma parte é transmitido e outra ainda fica preso no meio do poço. Veja o exemplo.

Abaixo encontra-se o código usado em Júlia.

using Plots

dt = 0.1
dx = 0.25
L = 50
x = collect(0:dx:L)
size(x)	

function V_p(x)
    if x<L/3
        return 0.1
    elseif x>2L/3
        return 0.1
    else
        return 0
    end
end

b = dt*im/(4*dx^2)
A_p = [if i==j; 1 - 2b  - V_p(i)*dt*im/2 elseif i==dx+j || i==j-dx; b else 0 end for i=0:dx:L, j=0:dx:L]
B_p = @. conj(A_p)
IB_p = inv(B_p)

len = length(x)
ψ = [(sqrt(1/(8*pi))*exp(-(val - L/4)^2/(8))*exp(-im*75*(val-L/4))) for val in x]  
for (i,num) in enumerate(ψ)
    if abs(num)<1e-10; 
        ψ[i]=0 
    end
end

ves_p = @. V_p(x)

t=0
@gif for t in 0:dt:50
    ψ[2:end-1] = IB_p[2:end-1,2:end-1]*A_p[2:end-1,2:end-1]*ψ[2:end-1]
for (i,num) in enumerate(ψ)
    if abs(num)<1e-10; 
        ψ[i]=0 
    end
end
    plot(x,abs2.(ψ),c="red",label="|ψ|^2")
    #plot!([x for x=0:dx:L],imag(ψ),c="blue")
    plot!([x for x=0:dx:L],ves_p,c="blue",label="V(x)")
    plot!(ylim=[0,0.15],title="t=$t")
end