Trabalhos 2024/1: mudanças entre as edições

Edição das 13h25min de 16 de abril de 2024

A equação da onda

Método FTCS

Sobre estabilidade

Análise espectral

Uma possível forma para quantitativamente analisar o som gerado por uma corda vibrante é estudar as frequências que compõem o seu movimento, técnica essa chamada de análise espectral. Antes de prosseguirmos vamos recapitular alguns resultados da álgebra linear

Supremacia da álgebra linear

O seguinte conjunto $ℝ^{ℝ} = {f | f : ℝ \to ℝ}$ é o espaço de funções reais de uma variável. Esse conjunto é um espaço vetorial, logo podemos utilizar toda a artilharia da álgebra linear, em especial, estamos interessados no sub-espaço gerado pela base $B = {s e n (ω t) / \sqrt{2 π}, c o s (ω t) / \sqrt{2 π}}_{f \in ℝ^{+}}$ ^[1], pois elementos de $B$ , interpretados como sinais sonoros, representam um frequência pura de valor $f = ω / (2 π)$ . Dessa forma, um sinal arbitrário $s (t)$ pode ser escrito em termos das frequências puras que o formam

$s (t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{\infty} [a (ω) c o s (ω t) + b (ω) s e n (ω t] d ω$

E podemos extrair suas coordenadas ( $a (ω)$ e $b (ω)$ ), fazendo o produto escalar com os elementos da base

$\begin{aligned} a (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} s (t) \frac{1}{\sqrt{2 π}} c o s (ω t) d t \\ b (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} s (t) \frac{1}{\sqrt{2 π}} s e n (ω t) d t \end{aligned}$

Agora, considerando uma corda vibrante, o nosso sinal sonoro provém da vibração de um ponto específico da corda, digamos em $x = x_{o}$ , então a função que representa esse sinal é $y (x_{o}, t)$

Condição inicial para uma corda de violão

Notas

↑ A constante $1 / \sqrt{2 π}$ está presente por questão de normalização. Esse caso pode parecer um pouco estranho, dado que não é possível normalizar os cossenos e senos, pois sua integral em todo a reta não é definida, mas o que é desejável é a seguinte propriedade $\int_{ℝ} A_{ω} c o s (ω t) \cdot A_{ω^{'}} c o s (ω^{'} t) d t = δ (ω - ω^{'})$ que é safisteita quando $A_{ω} = A_{ω^{'}} = 1 / \sqrt{2 π}$

[norm_const-1] A constante $1 / \sqrt{2 π}$ está presente por questão de normalização. Esse caso pode parecer um pouco estranho, dado que não é possível normalizar os cossenos e senos, pois sua integral em todo a reta não é definida, mas o que é desejável é a seguinte propriedade $\int_{ℝ} A_{ω} c o s (ω t) \cdot A_{ω^{'}} c o s (ω^{'} t) d t = δ (ω - ω^{'})$ que é safisteita quando $A_{ω} = A_{ω^{'}} = 1 / \sqrt{2 π}$

[1]

@@ Linha 1: / Linha 1: @@
-=== [[ Equação da onda para cordas vibrantes ]] ===
+== A equação da onda ==
+== Método FTCS ==
+=== Sobre estabilidade ===
+== Análise espectral ==
+Uma possível forma para quantitativamente analisar o som gerado por uma corda vibrante é estudar as frequências que compõem o seu movimento, técnica essa chamada de análise espectral. Antes de prosseguirmos vamos recapitular alguns resultados da álgebra linear
+=== Supremacia da álgebra linear ===
+O seguinte conjunto <math> \mathbb{R}^{\mathbb{R}} = \{ f~|~f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \} </math> é o espaço de funções reais de uma variável. Esse conjunto é um espaço vetorial, logo podemos utilizar toda a artilharia da álgebra linear, em especial, estamos interessados no sub-espaço gerado pela base <math> B = \{sen(\omega t) / \sqrt{2\pi}, cos(\omega t) / \sqrt{2\pi} \}_{f \in \mathbb{R^+}} </math> <ref name="norm_const"/>, pois elementos de <math> B </math>, interpretados como sinais sonoros, representam um frequência pura de valor <math>f=\omega/(2\pi)</math>. Dessa forma, um sinal arbitrário <math>s(t)</math> pode ser escrito em termos das frequências puras que o formam
+<math>
+ s(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty}[a(\omega)cos(\omega t) + b(\omega)sen(\omega t]d\omega
+</math>
+E podemos extrair suas coordenadas (<math>a(\omega)</math> e <math>b(\omega)</math>), fazendo o produto escalar com os elementos da base
+<math>
+\begin{aligned}
+a(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}s(t)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}cos(\omega t)dt \\
+b(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}s(t)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}sen(\omega t)dt
+\end{aligned}
+</math>
+Agora, considerando uma corda vibrante, o nosso sinal sonoro provém da vibração de um ponto específico da corda, digamos em <math>x=x_o</math>, então a função que representa esse sinal é <math>y(x_o, t)</math>
+== Condição inicial para uma corda de violão ==
+== Notas ==
+<references>
+<ref name="norm_const">A constante <math> 1/\sqrt{2\pi} </math> está presente por questão de normalização. Esse caso pode parecer um pouco estranho, dado que não é possível normalizar os cossenos e senos, pois sua integral em todo a reta não é definida, mas o que é desejável é a seguinte propriedade
+<math>\int_{\mathbb{R}}A_{\omega}cos(\omega t) \cdot A_{\omega'}cos(\omega' t)dt = \delta(\omega-\omega') </math>
+que é safisteita quando <math> A_{\omega} = A_{\omega'} =  1/\sqrt{2\pi} </math>
+</ref>
+</references>

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A equação da onda

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Supremacia da álgebra linear

Condição inicial para uma corda de violão

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