Trabalhos 2024/1

Análise espectral

Uma possível forma para quantitativamente analisar o som gerado por uma corda vibrante é estudar as frequências que compõem o seu movimento, técnica essa chamada de análise espectral. Antes de prosseguirmos vamos recapitular alguns resultados da álgebra linear

Supremacia da álgebra linear

O seguinte conjunto $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }=\{f~|~f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}$ é o espaço de funções reais de uma variável. Esse conjunto é um espaço vetorial, logo podemos utilizar toda a artilharia da álgebra linear, em especial, estamos interessados no sub-espaço gerado pela base $B=\{sen(\omega t)/{\sqrt {2\pi }},cos(\omega t)/{\sqrt {2\pi }}\}_{f\in \mathbb {R^{+}} }$ , pois elementos de $B$, interpretados como sinais sonoros, representam um frequência pura de valor $f=\omega /(2\pi )$. Dessa forma, um sinal arbitrário $s(t)$ pode ser escrito em termos das frequências puras que o formam

$s(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }[a(\omega )cos(\omega t)+b(\omega )sen(\omega t]d\omega$

E podemos extrair suas coordenadas ($a(\omega )$ e $b(\omega )$), fazendo o produto escalar com os elementos da base

${\begin{aligned}a(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }s(t){\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}cos(\omega t)dt\\b(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }s(t){\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}sen(\omega t)dt\end{aligned}}$

Agora, considerando uma corda vibrante, o nosso sinal sonoro provém da vibração de um ponto específico da corda, digamos em $x=x_{o}$, então a função que representa esse sinal é $y(x_{o},t)$