Modelo de Potts - 2D

O Modelo

Modelo de Potts pode ser considerado uma generalização do Modelo de Ising. Enquanto no Ising, os spins podem assumir valores 1 ou -1, no Modelo de Potts, os spins podem assumir valores que dependem de uma variavél $Q$ da seguinte forma: ${\theta }_n=\frac{2\pi n}{Q}$. A quantidade ${\theta }_n$ nos fornece as possíveis orientações para os spins. Os valores que $n$ pode assumir são $n=1,2,3,...,Q$. Dessa forma, um Modelo de Potts bidimensional com $Q=10$ possui uma rede bidimensional de spins com 10 orientações diferentes. Nas figuras abaixo podemos ver três possíveis orientações dos spins.

Possibilidades de spin para $Q=2$.

Possibilidades de spin para $Q=3$.

Possibilidades de spin para $Q=4$.

O Hamiltoniano de interação, na ausência de campo magnético, pode ser escrito como

$H_p=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_i,s_j)$

onde $J$ é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação e $\delta (s_i,s_j)$ é a delta de Kronecker, definida como 1 se $s_i=s_j$ e 0 se $s_i\ne s_j$.

Uma característica importante desse modelo é que as orientações em si não são relevantes, uma vez que o Hamiltoniano é definido por uma Delta de Kronecker. A única informação relevante é se os spins são iguais ou diferentes. Conforme veremos adiante, para o caso de $Q=2$, recaímos no conhecido Modelo de Ising.

Se incluirmos o campo magnético, o Hamiltoniado de Potts fica $H_p=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_i,s_j)-\sum _i\frac{1}{\beta }{h}_i{s}_i$

onde $\beta =1/k_{B}T$ e $h_i$ é o campo magnético.

Relação com o Modelo de Ising

O Modelo de Ising é obtido quando tomamos $Q=2$ na expressão para ${\theta }_n$. Para que possamos reescrever o Hamiltoniano de Potts em uma forma semelhante ao Hamiltoniano de Ising, vamos somar uma constante aditiva, de modo que o Hamiltoniano fica

$H_I=H_p+\sum _{(i,j)}\frac{J}{2}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_i,s_j)+\sum _{(i,j)}\frac{J}{2}=-\frac{J}{2}\sum _{(i,j)}[2\delta (s_i,s_j)-1]$

Vemos que se os spins são iguais, obtemos $-J/2$ e se os spins são diferentes, obtemos $J/2$. No Modelo de Ising, nós tínhamos $-J$ e $J$, respectivamente. Uma consequência desse fator meio de diferença é que a temperatura crítica para o Modelo de Potts, para $Q=2$, é metade da temperatura crítica do Ising ($T_c\approx 1.1$) e os $\mathrm{\Delta }Es$ nos histogramas de energia também são metade.

Algoritmo de Metropolis

Vamos implementar o Modelo de Potts utilizando o algoritmo de Metropolis.

O algoritmo de Metropolis é um método de Cadeia de Markov Monte Carlo (MCMC) para obter amostras aleatórias a partir de uma distribuição de probabilidade da qual a amostragem direta é difícil. O procedimento para a implementação do algoritmo é apresentado abaixo.

1) Escolhemos um estado inicial $x_0$, que em nosso caso será um spin orientado em uma direção dada por $Q$.

2) Através de um sorteio aleatório, com $Prob=\frac{1}{N}$, escolhemos um candidato $x^{\prime }$.

3) Calculamos a prababilidade de aceitação desse candidato atráves de $A(x^{\prime },x_t)=min(1,\frac{P(x^{\prime })}{P(x_t)})$, onde $P(x^{\prime })=e^{-\beta E_{x^{\prime }}}$

4) E então aceitamos ou rejeitamo este novo candidato da seguinte forma:

a) Geramos um número aleatório uniforme $u\in [0,1]$;

b) Se $u\le A(x^{\prime },x_t)$, ou seja $u\le e^{-\beta (E_{x^{\prime }}-E_{x_t})}$, aceitamos o novo estado e definimos $x_{t+1}=x^{\prime }$;

c) E se $u>A(x^{\prime },x_t)$, ou seja $u\le e^{-\beta (E_{x^{\prime }}-E_{x_t})}$, rejeitamos o novo estado e continuamos com o estado antigo para frente $x_{t+1}=x_t$;

d) Ao final desse processo, voltamos para o passo 2).

Resultados das simulações

Definimos um Monte Carlo Step (MCS) como sendo o tempo em que a rede bidimensional quadrada com $L^2$ spins é percorrida pelo algoritmo. Ao final de $L^2$ flips de spin (seja com probabilidade $1$ ou com probabilidade $\exp (-\beta \mathrm{\Delta }E)$), contamos um MCS. Além disso, em todas as simulações, utilizamos $T=1$ em unidades de $k_B$.

Em todas as simulações, o estado inicial utilizado foi uma rede quadrada de tamanho $L$ com spins aleatórios. Isso justifica a diferença na energia inicial de cada simulação. Como os spins eram diferentes (ordenados de forma aleatória), a energia inicial também era diferente para cada simulação.

Energia (T=1)

Energia em cada MCS para Q indo de 2 até 10 e L = 64 utilizando o algoritmo de Metropolis.
Energia média por MCS para Q = 2, L = 64 e T = 1.	Energia média por MCS para Q = 2, L = 64 e T = 1.
Energia média por MCS para Q = 3, L = 64 e T = 1.	Energia média por MCS para Q = 3, L = 64 e T = 1.
Energia média por MCS para Q = 7, L = 64 e T = 1.	Energia média por MCS para Q = 7, L = 64 e T = 1.

Na primeira figura, vemos a série temporal da energia para $Q=2$ e $T=1$, enquanto na segunda figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -700.

Na terceira figura, vemos a série temporal da energia para $Q=3$ e $T=1$, enquanto na quarta figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -1850.

Na quinta figura, vemos a série temporal da energia para $Q=7$ e $T=1$, enquanto na sexta figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -2900.

Energia (T=2)

Energia em cada MCS para Q indo de 2 até 10 e L = 64 utilizando o algoritmo de Metropolis.
Energia média por MCS para Q = 2, L = 64 e T = 2.	Energia média por MCS para Q = 2, L = 64 e T = 2.
Energia média por MCS para Q = 3, L = 64 e T = 2.	Energia média por MCS para Q = 3, L = 64 e T = 2.
Energia média por MCS para Q = 7, L = 64 e T = 2.	Energia média por MCS para Q = 7, L = 64 e T = 2.

Na primeira figura, vemos a série temporal da energia para $Q=2$ e $T=2$, enquanto na segunda figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -5000.

Na terceira figura, vemos a série temporal da energia para $Q=3$ e $T=2$, enquanto na quarta figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -2850.

Na quinta figura, vemos a série temporal da energia para $Q=7$ e $T=2$, enquanto na sexta figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -3400.

É possível observar que para $T=2$ os valores de energia média ficaram mais dispersos que em relação à $T=1$. Além disso, há uma grande diferença entre os resultados de $T=2$ e $T=1$ para $Q=2$. Vemos que para uma temperatura mais baixa, a energia média converge para um valor mais bem definido.

Códigos utilizados

O código foi escrito em Fortran.

Metropolis - Potts 2D

Referências

D. P. Landau, K. Binder. A Guide Monte Carlo Simulations in Statistical Physics. Cambridge University. New York. 2000.

L. M. Barone, E. Marinari, G. Organtini, F. Ricci-Tersengui. Scientific Programming: C-Language, Algorithms and Models in Science. World Scientific. Singapore. 2013.