Epidemias

Integrantes

Professores IF: Sebastián Gonçalves
Alunos: Marcelo Ferreira da Costa Gomes (Doutorado) e Alexsandro Marian Carvalho (Mestrado)
Coolaboradores Externos: Marcelo Kuperman (CAB-Bariloche)

Introdução

As epidemias não são oriundas do contexto contemporâneo. Dentro da história é possível contemplar inúmeros eventos epidêmicos responsáveis por ter dizimado grande parte da população, tal como da peste bubônico no século XIV.

As descobertas de vacinas e a implementação de planos de vacinação em massa juntamente com outros avanços tecnológicos permitiram o controle de uma parcela das doenças contagiosas. Contudo, o risco de propagação epidêmica sempre esteve latente devido a pluralidade de doenças.

Tal risco motivou a elaboração de modelos para descrever os fatores que são responsáveis na propagação de uma doença.

Façamos uma breve digressão histórica da epidemiologia matemática. No século XVIII, Daniel Bernoulli usou um método para avaliar os efeitos da técnica da variolação no controle da epidemia da varíola. Contudo o desenvolvimento de novos modelos ficaram um tanto que estagnados até o nascimento da bacteriologia no século seguinte fundamentada pelos trabalhos de Louis Pauster e Robert Koch. Já no inicio do século vinte, particularmente em 1906, W. H. Hamer postulou que o desenvolvimento de uma epidemia depende da taxa de contato entre os indivíduos suscetíveis e infecciosos. Este postulado, hoje conhecido como o princípio de ações das massas, tornou-se um dos conceitos mais relevantes em epidemiologia. O princípio de Hamer foi originalmente formulado através de um modelo de tempo discreto, mas, em 1908, Sir Ronald Rose o generalizou para o tempo contínuo, em seus trabalhos sobre a dinâmica da malária. Outro avanço significativo foi dado em 1927 por W.O. Kemack e A.G. McKendrick estederam a teoria com o princípio do limiar, estabelecendo que a introdução de indivíduos infecciosos em um comunidade não pode levar a um surto epidêmico a menos que a densidade de indivíduos suscetíveis esteja acima de um certo valor crítico. Este princípio, em conjunto com o princípio de ação das massas constitui a base da epidemiologia. Este modelo determinístico que iniciou com o trabalho de Hamer é conhecido atualmente por Modelo SIR uma vez que considera a população de indivíduos dividida em três estados: Suscetíveis(S), Infectados(I) e Removíveis(R).

Recentemente, percebeu-se que a transmissão de uma doença dá-se segundo uma rede de contatos que depende da estrutura de interação entre os indivíduos. Com efeito, o modelo SIR que toma as classes S, R e I homogeneamente distribuídas na população não leva em conta aspectos dependentes da topologia. Dentro deste contexto, as redes complexas são o suporte natural para o estudo da propagação da doença infecciosa.

O tipo de rede a considerar depende, é claro, da doença que se pretende modelar. Por exemplo, para doenças sexualmente transmissíveis, alguns estudos sugerem que se tome uma rede scale-free. Já a propagação das doenças infantis como o sarampo ou a rubéola, pelo contrário, pode ser bem modelada sobre uma rede de tipo small world.

O trabalho com redes complexas levou as dúvidas referente a dinâmica de epidemia a outro patamar, o problema da escala. A qual pode ser sintetizado pela seguinte questão: como representar as interações intrínsecas de uma população e seus elementos em um modelo e quais seriam as possíveis regras de transmissão a serem adotadas para que o espalhamento de uma epidemia ocorra efetivamente de acordo com o que se observa na natureza? Particularmente, visto que heterogeneidade espacial é um tópico de grande importância, realizar simulações em redes realista para então tomar um paralelo com os resultados em topologias conhecidas (seja small-world, scalle-free) podem sugerir o caminho para tal modelo.

O Efeito das Diversas Topologias na Dinâmica de Epidêmias

Introdução

O efeito da topologia das redes de contatos sociais na dinâmica de epidemias tem sido estudado recentemente de maneira geral em redes paradigmáticas como as livres de escala (scale free) ou de mundo pequeno (small world), mostrando efeitos que dão outra dimensão aos resultados típicos de campo médio, i.e, ausência de limiar de epidemia e limiar de epidemia dependente da topologia.

A topologia da rede romântica (Jefferson High School) não encaixa em nenhum dos paradigmas estudados. Cabe-se perguntar como seria a propagação teórica de uma doença sexualmente transmissível na mesma.

Cenários

Os cenários para a progação de epidêmias estão ligados aos estudo de redes naturais.

Dentro das redes naturais existem propriedades que sobressaem-se tais como: mundo pequeno, clusterização e distribuição de conetividades.

A característica de mundo pequeno é conhecida dos grafos aleatórios que apesar do grande tamanho que uma rede aleatória possa ter, o comprimento médio de caminho (L) entre dois nós quaisquer do grafo cresce muito lentamente (logaritmicamente) com o seu número de nós. Implicando que sempre há alguma trajetória curta unindo dois nós quaisquer sobre o grafo.

O coeficiente de clusterização (C) está relacionado a uma formação de módulo altamente conectados no interior de um grafo. Para redes naturais a formação destes módulos parece ser freqüente, enquanto que para redes aleatórias eles são raros.

Já a distribuição de conetividades para um bom número de redes naturais tende a ter uma cauda tipo lei de potência que caracteriza a ausência de uma escala típica no sistema, diferentemente da distribuição para grafos aleatórios que obedece uma distribuição de Poisson.

Veremos no que segue que tais propriedades são fundamentais para caracterizar as topologias que abordaremos: Rede Regular, Rede Aleatória, Rede de Pequeno Mundo e Rede de Escala Livre.

Redes Regulares

Redes regulares são consideradas aquelas em que todos os vértices têm o mesmo grau.

Redes Aleatórias

As suas principais propriedades foram estudadas e descritas nos anos 60 por Erdös e Rényi. Numa rede aleatória não existe nenhum critério que privilegie umas ligações em relação a outras, e portanto este fica caracterizado pelo número de nós N e pela probabilidade p de que uma ligação qualquer das N(N-1)/2 possíveis ligações entre nodos diferentes seja estabelecida.

Redes de Pequeno Mundo

Caracteriza-se por uma rede estruturada como um grafo que possui um baixo caminho médio (L) característico e um alto coeficiente de clusterização (C), isto é, a distância entre quaisquer dois nós da rede, em média, é pequena, enquanto a chance de existir uma aresta entre dois nós que possuem um vizinho em comum é, em média, alta.

Redes de Escala Livre

A propriedade fundamental desta rede deve-se ao fato que a distribuição para o grau dos nós segue uma lei de potência. Desta maneira, não faz sentido falar de escala ou número médio de arestas. As redes de escala livre têm muitos nós com poucas arestas e alguns nós com muitas arestas.

• S-power.jpg

  Distribuição do grau de uma hipotética rede de escala livre

• Scale-free.jpg

  Ilustração de uma rede de escala livre

Rede Real

Em 2004 foi publicado o primeiro levantamento completo de uma rede de contatos assim chamada pelos autores“ romântica” (Chains of affection: The structure of adolescent romantic and sexual networks, Bearman PS, Moody J, Stovel K, American Journal of Sociology 110: 4491 2004).

• 

  Exemplo de rede social real.

A rede em questão corresponde aos contatos entre adolescentes de uma escola mista de segundo grau de uma cidade de interior dos Estados Unidos. Todos os estudantes da escola (mais de 1000 alunos) foram entrevistados quanto aos seus parceiros na escola, sendo solicitado que identificassem o nome deles (foi garantido que os resultados seriam confidenciais e só usados para contrastar e validar as respostas), sendo que 90% responderam à pesquisa. Um link entre dos estudantes é criado quando ambos referem mutuamente o contato. Tanto os contatos românticos (namoros) como os sexuais foram relatados e identificados no tempo abrangendo um ano, sendo identificada uma rede de 535 indivíduos. O resultado mas importante foi o reconhecimento de uma componente gigante da rede envolvendo 288 estudantes, se bem que essa componente resulta quando são super impostos todos os contatos sem importar o tempo.

Para mais detalhes acesse http://researchnews.osu.edu/archive/chains.htm

Cenários Reproduzidos no PAJEK

A seguir por intermédio do PAJEK reproduzimos as topologias citadas anteriormente.

Ps.: As cores distintas dos vértices caracterizam o sexo de cada indivíduo, sendo que o azul corresponde ao sexo masculino enquanto que o rosa destina-se ao feminino.

Formato 1

Vértices dispostos sobre um anel.

• Anel Regular.PNG

  Rede Regular

• Anel Aleatorianova.PNG

  Rede Aleatoria

• Anel SW.PNG

  Rede de Pequeno Mundo

• Anel SF.PNG

  Rede de Escala Livre

• Anel Real.PNG

  Rede Real

Formato 2

Vértices dispostos de acordo com sua distância a seus vizinhos.

• Anel Regular.PNG

  Rede Regular

• Aleatorianova.PNG

  Rede Aleatoria

• SWW.PNG

  Rede de Pequeno Mundo

• SFF.PNG

  Rede de Escala Livre

• Real.PNG

  Rede Real

Distribuição do Grau

Apresentamos as distribuição do grau para os cenários já mencionados.

• DRegular.png

  Rede Regular

• DAleatorianova.png

  Rede Aleatória

• D SmallWorld.png

  Rede de pequeno mundo

• DSF.png

  Rede de Escala Livre

• Hist M.png

  Rede Real

Modelos para a Execução dos Cenários

Indicaremos dois modelos que são suficientes para gerar as topologias anteriormente citadas, com exceção da real obviamente.

Modelo de Watts e Strogatz

Watts e Strogatz propuseram em 1998 um modelo muito simples. Por um lado, redes aleatórias estão associadas a valores baixos de L e a valores baixos de C. Por outro, a maioria das redes regulares, em que todas as ligações são locais, correspondem a valores elevados tanto de L como de C.

A ideia de Watts e Strogatz foi a de construir um modelo que interpolasse entre estes dois casos extremos, à procura de um regime intermédio em que as características complementares dos dois tipos de grafos aparecessem combinadas.

Tomemos como ponto de partida uma destas redes regulares, N nós dispostos ao longo de um anel, com ligações locais entre cada nó e os quatro nós mais próximos, os dois que o antecedem e os dois que lhe sucedem sobre o anel. Com probabilidade p, substituamos cada uma das ligações locais por uma ligação aleatória. Quando p=0 temos a rede regular inicial, para p=1 obtemos uma rede aleatória, e os valores intermédios de p correspondem a redes em que a estrutura local é parcialmente substituída por ligações aleatórias.

• Sworld.gif

  Propriedades do modelo de Watts e Strogatz para diferentes valores de p

• CLi.png

  Coeficiente de Clusterização (C) e distância média (L)entre nós em função de p

Modelo de Barabási e Albert

Em 1999 Barabási e Albert sugeriram um mecanismo dinâmico simples e plausível para o aparecimento de redes scale-free com nodos altamente conectados. A ideia básica do modelo é a de que as redes não são construídas de uma só vez, mas sim ao longo do tempo, e que apesar do processo de construção ter ingredientes aleatórios, obedece também a certas regras. Mais precisamente, consideraram que à medida que a rede cresce e que novos nós são acrescentados, estes vão-se ligar preferencialmente aos nós com maior grau. Este cenário é plausível para muitas redes grandes.

• Mateus.jpg

  A preferência de um novo nó inserido a rede lincar-se ao nó com maior grau gera o efeito de escala livre

Modelagem em Epidemiologia

De uma maneira geral, os modelos podem ser subdivididos segundo vários eixos classificatórios e aqui estaremos tomando como referência de classificação principal a distinção entre modelos determinísticos e estocásticos. Basicamente os primeiros são aqueles que utilizam equações de diferença, diferencial ou integro-diferencial, para descrever a evolução temporal e/ou espacial do fenômeno epidêmico e evolucionário. Ou seja, dadas as condições iniciais as soluções são únicas. Os modelos estocásticos lidam com probabilidades de transição de estados e as conclusões são obtidas pela média sobre varias realizações. No caso das simulações que teremos que realizar sobre esses modelos estará pressuposto então a utilização de geradores de números aleatórios.

Modelo Determinístico

Dentro dessa abordagem determinística o modelo SIR é um dos mais comuns na literatura, já que com ele é possível introduzir os principais conceitos do processo epidêmico de maneira simples, servindo de base, como veremos, para a formulação de desenhos e procedimentos nos estudos mais gerais em modelagem de epidemias.

Segundo esse modelo toda a população pode ser dividida da seguinte forma: (S) a categoria dos susceptíveis, ou seja, dos indivíduos (ou agentes) que não estão infectados, mas podem ser infectados; (I) a categoria dos infectados, ou seja, daqueles indivíduos que são capazes de transmitir a doença aos susceptíveis; (R) a categoria dos recuperados (ou removidos/imunes), ou seja, daqueles que já foram infectados pela doença e morreram (ou se isolaram) ou ficaram permanentemente imunes à doença. Assim, em um instante de tempo t uma população é caracterizada pelos estados S(t), I(t) e R(t) onde N(t) = S(t) + I(t) + R(t) é o número total de indivíduos da população a cada instante (tomado como constante no que segue).

É importante chamar a atenção aqui que essa classificação não significa em uma divisão da população. Nessa classe de modelos não ha espaço e qualquer indivíduo pode estar em qualquer lugar a cada instante, somente os atributos são diferentes para cada indivíduo. Isto quer dizer que este tipo de modelo assume que os indivíduos de qualquer classe estão homogeneamente misturados (aleatóriamente misturados), de maneira que qualquer indivíduo de uma classe pode estar em contato com qualquer outro indivíduo de outra classe em qualquer instante.

Podemos entender os mecanismos do modelo através da transição entre esses estados que por sua vez define a dinâmica do modelo fazendo-se três hipóteses básicas:

(1) O número de agentes na classe de infectados aumenta a uma taxa que é proporcional ao número de agentes na classe infectante e o número de agentes na classe susceptível. Isso pode ser modelado por bS(t)I(t), onde b é uma constante chamada de taxa de infecção. Obviamente essa situação representa a taxa na qual os susceptíveis diminuem em seu compartimento. Esta hipótese é herdada do estudo de cinética química ao considerar que uma reação química se dá quando dois componentes se chocam de maneira efetiva, conhecida como lei de ação das massas.

(2) A taxa na qual os indivíduos infectados são transferidos para a classe dos removidos (ou recuperados) é proporcional ao número de infectados. Esse fato pode ser modelado por I(t)/t, onde 1/t também é uma constante, é a taxa de recuperação, modelada como o inverso do tempo em que um indivíduo infectado permanece nesse estado até se recuperar.

(3) Consideramos nesse modelo um período muito curto de incubação, (desprezível) o que faz com que os indivíduos susceptíveis passem diretamente para o estado infectado.

Esses mecanismos são descritos formalmente pelas seguintes equações diferenciais

${\frac {dS}{dt}}=-bSI$

${\frac {dI}{dt}}=bSI-{\frac {I}{t}}$

${\frac {dR}{dt}}={\frac {I}{t}}$

Modelo Estocástico

Dentre as limitações inerentes a formulação determinística, por sua própria natureza, este tipo de modelagem não leva em consideração efeitos de flutuações estocásticas de uma maneira geral. Esse tipo de complexidade tem sido incorporada por modelos epidemiológicos estocásticos que por sua vez são baseados no mesmo raciocínio compartimental, e assim construídos com variáveis probabilísticas e suas relações de incertezas entre susceptíveis,Infectados e Recuperados.

O modelo estocástico que aqui tomamos está fundamentado num modelo de Monte Carlo Dinâmico (MCD), num conjunto de tamanho N (indivíduos). Fundamentando o mesmo dentro da caracterização por classe do modelo SIR, cada indivíduo pode ter um tempo de sobre vida depois de infectado individual (tirado de uma distribuição) ou constante para todos (distribuição delta). Os contatos entre agentes são aleatórios sobre a rede romântica estática ou dinâmica. Se um deles está infectado, o outro se infecta com probabilidade b (taxa de infecção). O indivíduo infectado permanece assim por um tempo definido igual a t, morrendo depois. A dinâmica é repetida num número discreto de passos até o estado final onde não há mais indivíduos infectados. De interesse nesse procedimento são a dinâmica propriamente (evolução temporal do número de infectados) e o estado final. Este permite caracterizar a doença pela curva de infecção: percentual final de removidos (ou afetados) em função dos parâmetros do modelo (b, t e a estrutura da rede).

Observação: A curva de infecção para uma doença nessa topologia é <R(t->inf)> para diferentes valores de beta e tau, onde R(t->inf) é o número total de removidos quando a doença passou e <...> indica valor médio sobre muitas sementes (~100)

Dinamica de Epidemia para Topologias Distintas

A dinâmica da epidemia suportada por um rede está basicamente ligada a estrutura, topologia, de conexão dos vertices que constitui a mesma. Desta maneira, a topologia da rede possui um papel de destaque nos estudos do crescimento de infecções.

Gif's animadas da difusão da epidemia para cada topologia. As cores distintas referem-se as classes do SIR. Sendo branco -> S, vermelho -> I e cinza -> R

• Gif DifReal.gif

  Rede Real

• Gif DifSF.gif

  Rede de Escala Livre

• Gif DifRegular1.gif

  Rede Regular

• Gif DifAleatoria.gif

  Rede Aleatória

• Gif DifSW.gif

  Rede de pequeno mundo

Epidemias em Topologias de Pequeno Mundo e Escala Livre

Redes de Pequeno Mundo

Watts e Strogatz simularam o crescimento de uma doença infecciosa numa rede de pequeno mundo. Segundo eles, para t=0 um unico individuo é introduzido na aleatoriamente na população saudável. Depois de uma unidade de tempo, o individuo é removido. Antes deste intervalo o individuo pode infectar cada um dos vizinhos (suscetiveis) com uma dada probabilidade. A doença cresce ao longo das arestas infectando individuos da população, tendo no final do processo uma infectado um fração da população. Watts e Strogatz mostram três distintos regimes de comportamento. No primeiro (doenças com baixa infecciosidade) infecta pequena parcela da população levando assim a um pequeno número de mortes (removiveis) no processo final. Em segundo, para uma grande infecciosidade a população é completamente infectada sem levar em consideração a topologia, mas o tempo tomado para alcançar este estado varia como uma função do comprimento do caminho da rede (caminhos curtos implicam em rápido crescimento da doença). Para níveis intermediários de infecciosidade, existe alguma relação complicada entre a estrutura e a dinamica. Esta é a correlação entre infecciosidade critica e quanto é aleatorio os links da rede.

Em termo epidemiologicos, redes de pequeno mundo implicam que o nivel de infecciosidade requerido para a doença depedem da alta sensibilidade da conexão topologica da população. A alta clusterização nestas redes implica que a doença propaga-se localmente de maneira muito rápida enquanto que o curto caminho da rede permite que a doença atinja grandes distancias no grafo.

Redes de Escala Livre

A alta heterogenidade topologica das redes é refletida no pequeno tamanho do caminho médio entre qualquer dois nós (propriedade de pequeno mundo) e uma distribuição de lei de potencia (propriedades de escala livre), $k\sim k^{2-\alpha }$ onde o parametro $\alpha$ deve ser grande maior que zero para assegurar um finita conectividade média $<k>$. Redes regulares apresentam flutuação finita na conectividade $<k>\sim <k^{2}>$, redes de escala livre são de heterogenidade limitada, onde as flutuações na conectividade são divergentes $0<\alpha \leq 1$. Moreno, Pastor-Satorras e Vespignani encontram expressões analiticas para o limiar critico dos momentos das distribuições de conectividade e a abstinência de qualquer limiar para distribuição de conectividade $k\sim k^{2-\alpha }$ em tamanhos finitos de redes.

Liljeros, Edling, Amaral, Stanley e Aberg obteram que redes de escala livre são resistentes a falhas randomicas mas são altamente suscetíveis para a destruição dos vertices mais conectados. Assim, se tratarmos os individuos mais ativos, numa rede de contatos, previniremos melhor a epidemia. A possibilidade que a rede de contatos sexuais tenha a estrutura de escala livre indica que a estratégia na direção do sexo seguro pelas campanhas educacionais para a população em geral reduzirá significamente a propagação de doenças sexualmente transmissíveis.

Dezso e Barabasi estudaram o crescimento de um virus de tal forma que exista um cura, erradicando o virus de nó quando aplicada. Se a cura é aplicada sobre todos os nós, tratando simultaneamente todos os nós infectados, isto inevitalmente elimina o virus. Contudo, por economia ou outro aspectos o número de curas é frequentemente limitada. Eles mostraram que direcionadas politicas de tratamento não é somente mais eficiente mas também menos cara do que a imunização aleatoria.

Pastor-Satorras e Vespignani mostram que a politica de imunização uniforme são não satisfatórias, e em analogia com o crescimento de doença numa população heterogenea, somente direcionada da imunização alcançara e impedirá o crescimento da doença bem com sua prevalencia.

O crescimento de agentes de infecção em redes de escala livre, podem ser relevantes pela aplicação selecionada do processo de imunização. Em particular deverá ser indentificado os individuos com mais conexão.

Curva SIR

• SIR Real.png

  Fig-1 Rede Real

• SIR Sfree.png

  Fig-2 Rede de Escala Livre

• SIR Regular.png

  Fig-3 Rede Regular

• SIR Aleatorianova.png

  Fig-4 Rede Aleatória

• SIR SWorld.png

  Fig-5 Rede de pequeno mundo

Curva de Infecção

• Infec Real.png

  Fig-6 Rede Real

• Infec SF.png

  Fig-7 Rede de Escala Livre

• Infec Regular.png

  Fig-8 Rede Regular

• Infec Aleatorianova.png

  Fig-9 Rede Aleatória

• Infec SW.png

  Fig-10 Rede de Pequeno Mundo

• Infec Allnova.png

  Fig-11 Curvas de Infecção para as topologias distintas

Distribuição dos Removíveis Assintóticos

Como já discutido anteriormente o número de links (interações com individuos distintos) não é sempre o mesmo numa rede complexa, obviamente com exceção da regular. Desta maneira, tomando em particular um individuo infectado i numa rede arbitrária teremos uma dada dinâmica da epidemia distinta daquela comparada se tomarmos outro individuo j igualmente infectado na rede de contatos. Vejamos tal afirmação geometricamente nas seguintes gif (tomamos a componente gigante da rede real)

• Real GIF1.gif

  gif-1 As cores distintas dos vertices caracterizam os estados dos individuos: Suscetivel(vermelho), Infectado(Amarelo) e Removível(verde)

• Real GIF2.gif

  gif-2 As cores distintas dos vertices caracterizam os estados dos individuos: Suscetivel(vermelho), Infectado(Amarelo) e Removível(verde)

As gif's animadas foram implementadas sobre o mesmo cenário sobre as mesmas condições (b e t iguais em ambos os caso). É relevante ressaltar que no final dos processos (gif 1 e 2) o número de individuos removiveis diferenciam-se abruptamente, revelando a dependência da dinâmica conforme nossa escolha sobre os individuos infectados inicialmente.

Com efeito, desenvolvemos a seguir um conjunto de resultados que descreve o número de removiveis para 100 condições iniciais distintas (100 conjunto distintos de individuos infectados inicialmente), em outras palavras, 100 sementes distintas.

Tais resultados tornam-se importante para nossas futuras conjecturas referente a dinâmica de epidemia sobre a rede, tais como aquelas vinculadas a propagação da doença.

observação : No eixo horizontal (10^-4)-> (10^-3)

Infec=0.2

• His2Real.png

  Fig-12 Rede Real

• His2 SF.png

  Fig-13 Rede de Escala Livre

• His2 Regular.png

  Fig-14 Rede Regular

• His2 Aleatorianova.png

  Fig-15 Rede Aleatoria

• His2 SW.png

  Fig-16 Rede de Pequeno Mundo

Infec=0.5

• His5 Real.png

  Fig-17 Rede Real

• His5 SF.png

  Fig-18 Rede de Escala Livre

• His5 Regular.png

  Fig-19 Rede Regular

• His5 Aleatorianova.png

  Fig-20 Rede Aleatoria

• His5 SW.png

  Fig-21 Rede de Pequeno Mundo

Infec=0.7

• His7Real.png

  Fig-22 Rede Real

• His7 SF.png

  Fig-23 Rede de Escala Livre

• His7 Regular.png

  Fig-24 Rede Regular

• His7 Aleatorianova.png

  Fig-25 Rede Aleatoria

• His7 SW.png

  Fig-26 Rede de Pequeno Mundo

Infec=1

• His10Real.png

  Fig-27 Rede Real

• His10 SF.png

  Fig-28 Rede de Escala Livre

• His10 Regular.png

  Fig-29 Rede Regular

• His10 Aleatorianova.png

  Fig-30 Rede Aleatoria

• His10 SW.png

  Fig-31 Rede de Pequeno Mundo

Infec=1.2

• His12Real.png

  Fig-32 Rede Real

• His12 SF.png

  Fig-33 Rede de Escala Livre

• His12 Regular.png

  Fig-34 Rede Regular

• His12 Aleatorianova.png

  Fig-35 Rede Aleatoria

• His12 SW.png

  Fig-36 Rede de Pequeno Mundo

Infec=1.5

• His15Real.png

  Fig-37 Rede Real

• His15 SF.png

  Fig-38 Rede de Escala Livre

• His15 Regular.png

  Fig-39 Rede Regular

• His15 Aleatorianova.png

  Fig-40 Rede Aleatoria

• His15 SW.png

  Fig-41 Rede de Pequeno Mundo

Infec=1.7

• His17Real.png

  Fig-42 Rede Real

• His17 SF.png

  Fig-43 Rede de Escala Livre

• His17 Regular.png

  Fig-44 Rede Regular

• His17 Aleatorianova.png

  Fig-45 Rede Aleatoria

• His17 SW.png

  Fig-46 Rede de Pequeno Mundo

Infec=2

• His20Real.png

  Fig-47 Rede Real

• His20 SF.png

  Fig-48 Rede de Escala Livre

• His20 Regular.png

  Fig-49 Rede Regular

• His20 Aleatorianova.png

  Fig-50 Rede Aleatoria

• His20 SW.png

  Fig-51 Rede de Pequeno Mundo

Infec=2.2

• His22Real.png

  Fig-52 Rede Real

• His22 SF.png

  Fig-53 Rede de Escala Livre

• His22 Regular.png

  Fig-54 Rede Regular

• His22 Aleatorianova.png

  Fig-55 Rede Aleatoria

• His22 SW.png

  Fig-56 Rede de Pequeno Mundo

Infec=2.5

• His25Real.png

  Fig-57 Rede Real

• His25 SF.png

  Fig-58 Rede de Escala Livre

• His25 Regular.png

  Fig-59 Rede Regular

• His25 Aleatorianova.png

  Fig-60 Rede Aleatoria

• His25 SW.png

  Fig-61 Rede de Pequeno Mundo

Infec=2.7

• His27Real.png

  Fig-62 Rede Real

• His27 SF.png

  Fig-63 Rede de Escala Livre

• His27 Regular.png

  Fig-64 Rede Regular

• His27 Aleatorianova.png

  Fig-65 Rede Aleatoria

• His27 SW.png

  Fig-66 Rede de Pequeno Mundo

Infec=3

• His30Real.png

  Fig-67 Rede Real

• His30 SF.png

  Fig-68 Rede de Escala Livre

• His30 Regular.png

  Fig-69 Rede Regular

• His30 Aleatorianova.png

  Fig-70 Rede Aleatoria

• His30 SW.png

  Fig-71 Rede de Pequeno Mundo

Infec=3.2

• His32Real.png

  Fig-10 Rede Real

• His32 SF.png

  Fig-11 Rede de Escala Livre

Infec=3.5

• His35Real.png

  Fig-10 Rede Real

• His35 SF.png

  Fig-11 Rede de Escala Livre

Infec=3.7

• His37Real.png

  Fig-10 Rede Real

• His37 SF.png

  Fig-11 Rede de Escala Livre

Infec=4

• His40Real.png

  Fig-10 Rede Real

• His40 SF.png

  Fig-11 Rede de Escala Livre

Infec=4.2

• His42Real.png

  Fig-10 Rede Real

• His42 SF.png

  Fig-11 Rede de Escala Livre

Infec=4.7

• His47Real.png

  Fig-10 Rede Real

• His47 SF.png

  Fig-11 Rede de Escala Livre

Infec=5.0

• His50 Real.png

  Fig-10 Rede Real

Infec=5.2

• His52Real.png

  Fig-10 Rede Real

• His52 SF.png

  Fig-11 Rede de Escala Livre

Infec=6

• His60 Real.png

  Fig-14 Rede Real

• His60 SF.png

  Fig-15 Rede de Escala Livre

• His60 Regular.png

  Fig-16 Rede Regular

Infec=12

• His120 Real.png

  Fig-18 Rede Real

• His120 SF.png

  Fig-19 Rede de Escala Livre

• His120 Regular.png

  Fig-20 Rede Regular

SIR (contínuo)

• SIR.png

  Fig-26

Apoio Bibliográfico

Dedicamos está parcela para indicar o resumo de alguns artigos interessantes relacionados com este trabalho.

[1] The Structure and Functions of Complex Network - M.E.J. Newman

Resumo

Inspirado pelos estudos empiricos de sistemas de redes tais como a Internet, redes sociais e redes biologicas, pesquisadores tem desenvolvido nos recentes anos uma variedade de tecnicas e modelos que ajudam no entendimento ou na predição do comportamento destes sistemas. Aqui revisaremos o desenvolvimento neste campo, incluindo concepções de efeitos de pequeno mundo, distribuição de grau, clusterização, correlações de redes, modelo de grafos randomicos, modelos de crescimento de redes e ligação preferencial e dinamica do processo de contagio em redes.

[2] Spread of Epidemic Diseade on Network - M.E.J. Newman

Resumo

Os estudos das redes socias, em particular do crescimento de doenças em redes, tem atraído considerável atenção da comunidade de físicos. Neste artigo, mostraremos a grande classe de modelos epidemiológicos aceitáveis, os denominados suscetível/infectado/removível, modelo SIR, pode ser resolvido exatamente numa variedade ampla de redes. Em adição para os aceitáveis mas não realísticos casos de fixar um tempo de infecciosidade e uma probabilidade não correlacionada de transmissão entre todos os pares de individuos, resolvemos o caso em que o tempo e a probabilidade são não uniformes e correlacionadas. Também consideramos um simples caso de uma epidemia numa população estruturada, a transmissão de uma doença sexualmente transmissivel numa população dividida entre homens e mulheres.

[3] Small World Effect in an Epidemiological Model - M. Kuperman and G. Abramson

Resumo

Um modelo para o crescimento de uma infecção é analizada para diferentes estruturas de populações. As interações da população são descritas por redes de pequeno mundo, ajustando das redes ordenadas para grafos aleatórios. Para muitos sistemas ordenados, existem flutuações no estado endemico de baixas infecções. Para um valor finito da desordem da rede, obtemos uma transição para oscilações auto sustentadas no tamanho das subpopulações infectadas.

[4] Disease Spreading in Structured Scale-Free Networks - Y. Moreno and A. Vásquez

Resumo

Estudamos recentemente o crescimento de uma doença na estrutura das redes de escala livre. Por meio de simulações numericas analizaremos os modelos SIS e SIR. Nossos resultados mostram que quando a flutuação da conectividade de uma rede é ilimitada a existência de um limiar epidemico depende fortemente da densidade inicial de individuos infectados e o tipo de modelo epidemiologico considerado. Argumentos analíticos são usados para estimar o comportamento observado. Concluímos que a peculiar característica topologica destas redes e a abstinência de propriedades de pequeno mundo são determinantes na dinâmica do crescimento epidemico.

[5] Emergence of Scaling in Random Network - A.L. Barábasi and R. Albert

Resumo

Sistemas diversos como redes genéticas ou World Wibe Web são melhores descritas com suas topologias complexas. Uma propriedade comum de um grande número de redes é a conectividade dos vértices seguir uma distribuição de lei de potencia. Esta característica tem sido encontrada devido a dois mecanismos genericos: (i) redes expandem-se pela adição de novos vertices (ii) novos vertices adicionados tende-se a ligar-se com os nós de maior grau. Um modelo baseado nestes dois ingredientes reproduz distribuições de escala livre, o que indica que o desenvolvimento de grandes redes é governado pelo fenomeno de auto-organização que vai além de particulares sistemas individuais.

[6] Halting Viruses in Scale-free Network - Z. Dezso and A.L. Barabási

Resumo

A não existência de limiar epidêmico para o crescimento de virus em redes de escala livre indica que o método tradicional, alvo para o descrecimo da taxa de crescimento de um virus pode não ter sucesso na erradicação da epidemia. Demonstraremos que politicas que discriminam os nós, remediando os nós mais conectados, podem restaurar um finito limiar epidemico e erradicar potencialmente um virus. Mostraremos que um politica de direcionar para os "hubs", tem mais chance de alterar a taxa de crescimento do virus. Portanto, estas politicas serão mais efetivas, requendo pequena quantidade de "remedio" para erradicar o virus.

[7] Measuring Prefential Attachement in Evolving Network - H. Jeong, Z. Néda and A.L. Barabási

Resumo

Um ingrediente de muitos modelos proposto para capturar a evolução topologica de uma rede complexa que nós altamente conectados aumentam sua conectividade rapidamente em relação a pequena conectividade de um vértice conectado ao mesmo, este fenomeno é chamado de ligação preferencial. Medidas em quatro redes, denominadas de rede de citações cientifica, Internet, colaboração de ator e rede cientifica de co-autores indica que a taxa com que os nós adquirem links depende do grau do nó, oferecendo um direto suporte quantitativo para a presença da ligação preferencial. Nos obtemos que para os dois primeiros sistemas a taxa de ligação depende linearmente do grau do nó enquanto que as demais depende de uma lei de potencia sublinear.

[8] The Web of Human sexual Contacts - F. Liljeros, C.R. Edling, L.A. Amaral H.E. Stanley and Y. Aberg

Resumo

Muitas redes no mundo real são claramente definidas como redes sociais. Realmente, a precisão da determinação empirica das redes sociais é uma questão de preocupação porque individuos devem ter distinta percepção de como se constituem os links sociais. Um tipo não umbiguo de contato é o sexual. Analizaremos dados do comportamento sexual de um grupo aleatorio de individuos e mostraremos que a distribuição cumulativa do número de contatos sexuais durante 12 meses da pesquisa recai numa lei de potencia com expoente similar $\alpha =2.4$ para homens e mulheres. A escala livre natural da web de contatos sexuais humanos sugere que a estrategia de intervenção dirigida para a prevenção do crescimento das doenças sexualemente transmissíveis deve ser mais eficiente aproximada.

[9] Immunization of Network Complex - R. Pastor-Satorras and A. Vespignani

Resumo

Redes complexas tais como a rede de contato sexuais ou a Internet frequentemente exibem um alto grau de redundancia e heterogenidade em suas propriedade conectivas. Esta peculiar conectividade provem um ideal ambiente para o crescimento de agentes infecciosos. Mostraremos que a imunização uniforme e aleatoria de individuos não pode irradicar toda a infecção de toda a rede complexa. Redes com propriedades de escala livre não consegue imunização global para a maioria dos outbreak epidemicos mesmo na presença de não realísticas densidades de individuos imunizados aleatoriamente. A abstinência de alguns limiares criticos devido a não limitação da flutuação da conectividade de redes de escala livre. Estratégias de imunização podem ter sucesso quando tomadas de forma a considerar as propriedade não homogeneas da conectividade de redes de escala livre. Em particular, imunização direcionada, baseada na conectividade dos nos.

[10] Epidemic Dynamics in finite size Scale-free Networks - R. Pastor-Satorras and A. Vespignani

Resumo

Muitas redes reais apresentam um limitado comportamento de escala livre com um corte na conectividade devido a limitações físicas ou um tamanho finito da rede. Estudamos a dinamica de epidemia em redes de escala livre limitadas com um fraco e forte corte na conectividade. Os efeitos de tamanho finito introduzidos pelo corte induzem a um limiar epidemico que aproxima-se a zero de acordo com o crescimento da rede. O limiar epidemico induzido é muito pequeno mesmo para pequenos cortes, mostrando que a negligência das flutuações da conectividade numa rede de escala livre limitada leva para uma poderosa avaliação do limiar epidemico. Fornecemos a expressão para a prevalência da infecção e discutimos as correções para tamanho finito. O presente trabalho mostra que alta heterogenidade na natureza das redes de escala livre não permitem o uso de aproximações homogeneas mesmo que para um sistema que possui um número relativamente pequeno de nos.

[11] Epidemic Spreading in Scale-free Network - R. Pastor-Satorras and A. Vespignani

Resumo

A Internet tem uma conectividade complexa modelada por uma classe de redes de escala livre. Esta característica, que aparece ser muito eficiente nas redes de comunicação, favorece ao mesmo tempo ao crescimento de virus de computador. Analizamos dados reais para a infecção de virus de computador e obtemos a média do tempo de vida e a persistência da tendencia viral na Internet. Definimos um modelo dinamico para o crescimento da infecção em redes de escala livre, obtemos a abstinencia de um limiar epidemico e um comportamento critico da associatividade. Estes novos suportes epidemiologicos racionaliza os dados dos virus de computador e pode auxiliar no entendimento de outros fenomenos de crescimento nas redes de comunicação e social.

[12] Epidemic Dynamics an Endemic States in Complex Network - R. Pastor-Satorras and A. Vespignani

Resumo

Realizamos estudos analiticos de um grande número de simulações para modelos dinamicos de crescimento de epidemias em redes complexas. Em redes com conectividade exponencialmente limitada recuperamos o usual comportamento epidemico com um limiar definindo um ponto critico abaixo da prevalencia da infecção sendo nulo. No contrário, no intervalo de redes de escala livre que a abstinencia de um limiar epidemico está associado a um comportamento critico. Isto implica que redes de escala livre tende para o crescimento e a persistência da infecção seja qual for a taxa de crescimento do agente epidemico que possa possuir. Estes resultados podem ajudar no entendimento de virus de computador e outros fenomenos de crescimento em redes de comunicação e social.

[13] Chains of Affection: The Structure of Adolescent Romantic and Sexual Networks - P.S. Bearman, J. Moody and K. Stovel

Resumo

O entendimento da estrutura de contatos sexuais numa rede é crítico para modelar a dinamica da transmissão de doenças, se as doenças crescem via contato sexual. Este artigo descreve a estrutura de uma rede sexual de adolescentes dentro de uma população de 800 adolescentes residindo numa cidade no centro oeste dos Estados Unidos. Precisa figura e medidas da estrutura da rede são derivados por um relatório de relacionamento que ocorreu durante um periodo de dezoito meses entre 1993 e 1995. Comparamos a característica estrutural da rede observada a redes simuladas governadas por restrições similares na distribuição de nós, e mostramos que a estrutura observada difere radicalmente da expectativa. Especificamente, obtemos que as redes sexuais e romanticas são caracterizadas por uma longa cadeia de contato e poucos ciclos. Identificamos os micro-mecanismo que gera a rede com estrutura similar da rede observada. Implicações para a dinamica da transmissão da doença e politicas sociais são exploradas.

Simulações

Dinâmica ONE

Esta dinamica restringe-se a escolha aleatória de um unico vizinho na interação.

N (População) = 288

• Infec ONE 1 um.png

  NI = 1

• Infec ONE 5 um.png

  NI = 5

• Infec ONE 10 um.png

  NI = 10

N (População) = 1000

• Infec ONE 1mila.png

  NI = 1

• Infec ONE 5mila.png

  NI = 5

• Infec ONE 10mil.png

  NI = 10

Dinâmica ALL

Aqui a dinamica relaciona um dado individuo com todos seus vizinhos.

N (População) = 288

• Infec ALL 1 um.png

  NI = 1

• Infec ALL 5 um.png

  NI = 5

• Infec ALL 10 um.png

  NI = 10

N (População) = 1000

• Infec ALL 1amila.png

  NI = 1

• Infec ALL 5amil.png

  NI = 5

• Infec ALL 10amil.png

  NI = 10

Dinâmica RANDOM

O individuo interage-se com um número aleatório de seus vizinhos.

N (População) = 288

• Infec RANDOM 1 um.png

  NI = 1

• Infec RANDOM 5 um.png

  NI = 5

• Infec RANDOM 10 um.png

  NI = 10

N (População) = 1000

• Infec RANDOM 1amil.png

  NI = 1

• Infec RANDOM 5amil.png

  NI = 5

• Infec RANDOM 10amil.png

  NI = 10

HIV

Arquivo:HIV course.gif

Typical course of HIV infection. Adapted from Pantaleo et al., 1993a

COURSE OF HIV INFECTION: Primary HIV infection is associated with a burst of HIV viremia and often a concomitant abrupt decline of CD4+ T cells in the peripheral blood (Cooper et al., 1985; Daar et al., 1991; Tindall and Cooper, 1991; Clark et al., 1991; Pantaleo et al., 1993a, 1994). The decrease in circulating CD4+ T cells during primary infection is probably due both to HIV-mediated cell killing and to re-trafficking of cells to the lymphoid tissues and other organs (Fauci, 1993a).

During the period following primary infection, HIV disseminates widely in the body; an abrupt decrease in CD4+ T cells in the peripheral circulation is often seen. An immune response to HIV ensures, with a decrease in detectable viremia. A period of clinical latency follows, during which CD4+ T cells counts continue to decrease, until they fall to a critical level below which there is a substantial risk of opportunistic infections.

The median period of time between infection with HIV and the onset of clinically apparent disease is approximately 10 years in western countries, according to prospective studies of homosexual men in which dates of seroconversion are known (Lemp et al., 1990; Pantaleo et al., 1993a; Hessol et al., 1994) (Figure 4). Similar estimates of asymptomatic periods have been made for HIV-infected blood-transfusion recipients, injection drug users and adult hemophiliacs (reviewed in Alcabes et al., 1993a).

(From http://www.niaid.nih.gov/Publications/hivaids/9.htm)

Links Externos: http://en.wikipedia.org/wiki/Hiv

Vida Sexual dos Brasileiros

Arquivo:252g6.jpg

Figura 1: Orientação sexual em 2.426 participantes da pesquisa. Adaptado de Perfil Sexual da População Brasileira, C.H.N. Abdo et al.

Segundo pesquisa realizada com 2.835 indivíduos (47% homens e 53% mulheres) entre 18 e 70 anos, de todas as classes sociais, patrocinada pelos laboratórios Pfizer e coordenada pela psiquiatra Carmita Abdo, do Projeto Sexualidade do Hospital das Clínicas, de São Paulo, a média nacional de relações sexuais é de aproximadamente três por semana. Entre os homens, 91.4% se declararam heterossexuais, 3.9% homossexuais e 4.7% bissexuais. Nas mulheres estes percentuais foram de 96.9%, 1.9% e 1.2%, respectivamente (figura 1).

De acordo com esta pesquisa, a maioria das mulheres e homens heterossexuais tiveram apenas um parceiro sexual nos últimos 12 meses (80,1% e 60,5%, repsectivamente), como mostram as tabelas 1 e 2.

Embora o medo de contrair alguma DST (doença sexualmente transmissível) seja a principal entre as 3 maiores preocupações sexuais da maioria das mulheres (para 54.1% delas), medo este que representa a segunda maior preocupação entre os homens, foram eles que apresentaram a maior frequencia de uso de preservativos (tabelas 3 e 4, e figura 2). Para os homens, o medo de satisfazer a(o) parceira(o) é maior do que o de contrair DSTs (62.6% e 58.3%, respectivamente).

A pesquisa também mostra que a prática de sexo oral e anal está se tornando mais comum no vida dos brasileiros (sem levar em conta orientação sexual). Entre os homens, 65.5% relataram a prática de sexo oral e 30.1% de sexo anal. Entre as mulheres, temos 52.2% no primeiro grupo e 14.4% no segundo.

• 253t1.jpg

  Adaptado de Perfil Sexual da População Brasileira, C.H.N. Abdo et al.

• 253t2.jpg

  Adaptado de Perfil Sexual da População Brasileira, C.H.N. Abdo et al.

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  Adaptado de Perfil Sexual da População Brasileira, C.H.N. Abdo et al.

• 254g9.jpg

  Figura 2: Freqüência do uso de preservativos em 2.652 participantes da pesquisa. Adaptado de Perfil Sexual da População Brasileira, C.H.N. Abdo et al.

Perfil sexual da população brasileira: resultados do Estudo do Comportamento Sexual (ECOS) do Brasileiro (o cadastro no CiberSaude para acessar a base de dados é gratuita)

Revista: REVISTA BRASILEIRA DE MEDICINA

Edição: Abr 02 V 59 N 4

Autor(es): C.H.N. Abdo , W.M. Oliveira Jr. , E.D. Moreira , J.A.S. Fittipaldi

Estudo do Comportamento Sexual no Brasil - ECOS

Revista: REVISTA BRASILEIRA DE MEDICINA

Edição: Nov 00 V 57 N 11

Autor(es): Carmita H. N. Abdo , Edson D. Moreira Jr. , João A. S. Fittipaldi

Projeto Sexualidade: http://www.portaldasexualidade.com.br

Modelagem

Arquivo:Modelo sir.jpg

Gráfico 1: modelagem, baseada no modelo sir, da propagação de uma doença sexualmente transmissível. O tempo médio de permanência com a infecção é de 10 anos, resultados para distribuição delta (linha cheia) e exponencial (linha tracejada).

Apartir de alguns dados divulgados por Abdo et al. (1), construímos uma simulação numérica baseada no modelo SIR para propagação de uma doença sexualmente transmissível com probabilidade de infecção igual à do HIV (2). Para a frequência semanal de relações sexuais, tomamos a média entre mulheres (2.8) e homens (3.1). A simulação foi feita da seguinte maneira: a cada passo de interação, um indivíduo do sexo masculino sorteia aleatoriamente uma parceira do sexo feminino com quem irá praticar o ato sexual, que pode ser constituído de sexo vaginal (probabilidade p=1), oral (p=0.522) e anal (p=0.144). baseado no perfil sexual feminino (1). Para cada uma destas praticas sexuais existe uma probabilidade de transmissão baseada naquela do HIV (2).

Tomamos uma população de 10000 indivíduos (sem nascimento ou morte) heterossexuais, com densidade masculina e feminina de acordo com o Censo 2000 (IBGE) para a população brasileira com idade superior a 10 anos. Assumimos todos os indivíduos solteiros e sem qualquer rede de contatos pré-definida, de tal forma que qualquer sujeito masculino pode ter relação sexual com qualquer indivíduo feminino com igual probabilidade. O resultado é mostrado no gráfico 1.

Referências:

(1) Perfil sexual da população brasileira: resultados do Estudo do Comportamento Sexual (ECOS) do Brasileiro, C.H.N. Abdo , W.M. Oliveira Jr. , E.D. Moreira , J.A.S. Fittipaldi, REVISTA BRASILEIRA DE MEDICINA, V 59 N 4 (2002)

(2) http://en.wikipedia.org/wiki/Hiv#Transmission

Rakai, Uganda

Segundo pesquisa realizada pelo Projeto Rakai, a probabilidade média de transmissão do HIV-1 por contato sexual (independente do tipo de relação) da mulher para homem foi de 0.0013 e do homem para mulher 0.0009. No caso do portador do HIV-1 estar com alguma ulcera genital, a probabilidade aumentou para 0.0041 e 0.0011, respectivamente. Fonte:

Probability of HIV-1 transmission per coital act in monogamous, heterosexual, HIV-1-discordant couples in Rakai, Uganda Ronald H Gray, Maria J Wawer, Ron Brookmeyer, Nelson K Sewankambo, David Serwadda, Fred Wabwire-Mangen, Tom Lutalo, Xianbin Li, Thomas vanCott, Thomas C Quinn, and the Rakai Project Team*

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