Método de Leapfrog

Partindo da ideia que uma inclinação entre dois em uma curva é uma aproximação muito melhor da derivada no ponto médio em alguma das extremidades., e tendo as seguintes equações do movimento:

$${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=v\\{\frac {dv}{dt}}&=a\end{aligned}}$$

Sendo a derivada numérica:

$${\begin{aligned}v\left(t\right)&\approx {\frac {x\left(+\Delta t\right)-x\left(t-\Delta t\right)}{2\Delta t}}\\&\approx {\frac {x\left(t+\Delta t/2\right)-x\left(t-\Delta t/2\right)}{\Delta t}}\end{aligned}}$$

Então para a equação da velocidade temos que:

$$v\left(t+\Delta t/2\right)\approx {\frac {x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t\right)}{\Delta t}}$$

Ou ainda:

$$x\left(t+\Delta t\right)=x\left(t\right)+v\left(t+\Delta t/2\right)\Delta t$$

E aplicando a mesma ideia para a aceleração:

$$a\left(t\right)\approx {\frac {v\left(t+\Delta t/2\right)-v\left(t-\Delta t/2\right)}{\Delta t}}$$

Logo:

$$v\left(t+\Delta t/2\right)=a\left(t\right)\Delta t+v\left(t-\Delta t/2\right)$$

Temos então:

$${\begin{aligned}v\left(t+\Delta t/2\right)&=v\left(t-\Delta t/2\right)+a\left(t\right)\Delta t\\x\left(t+\Delta t\right)&=x\left(t\right)+v\left(t+\Delta t/2\right)\Delta t\end{aligned}}$$

Exemplo

Aplicando o algoritmo para o sistema massa-mola visto no método de Euler-Cromer:

$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x$$

Podemos ressaltar ainda que $a=-\omega ^{2}x$ e ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$.

import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos

#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m
#Parâmetros
dt  = 0.1 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)
#Valores iniciais
x=[1]; v0=0; tx=[0]; tv=[dt/2]

#Usamo Euler-Cromer para calcular a velocidade em t=dt/2
x_temp=x[0]+(dt/2)*v0              #Posição    em t=dt/2
v=[v0-(dt/2)*x_temp*w2]            #Velocidade em t=dt/2

#Método Leapfrog
for it  in range(Np):
  x.append(x[it]+dt*v[it])  
  tx.append(dt+it*dt)
  v.append(v[it]-w2*x[it+1]*dt)
  tv.append(dt/2+(1+it)*dt)

#plt.plot(tx,x)
#plt.plot(tv,v)

#Para calcular a energia vamos pegar a média da velocidade
#para termos velocidade e posição no mesmo instante

vm=[v0]
E=[k*(x[0]**2)/2+m*(v[0]**2)/2] 
for it in range(len(x)-1):
  vm.append((v[it+1]+v[it])/2)
  E.append(k*x[it+1]**2/2+m*v[it+1]**2/2)

#plt.plot(tx,E)
plt.plot(x,v)