Termostato de Nosé-Hoover

Termostato de Nosé-Hoover

O termostato de Nosé-Hoover é um algoritmo utilizado para simulação de dinâmica molecular. Esse ensemble é relevante quando o sistema em estudo está em contato com um banho térmico, para manter a temperatura constante e obter uma amostragem de acordo com a distribuição canônica. A maneira que o algoritmo de Nosé-Hoover mantém a temperatura constante é a partir da adição de uma variável dinâmica fictícia (um "agente" externo), que atua sobre as velocidades das partículas no sistema, as acelerando ou desacelerando até que estas atinjam a temperatura desejada.

Este trabalho tem como objetivo simular um fluído de Lennard Jones a partir do termostato de Nosé-Hoover, a fim de estudar o efeito das variáveis presentes no modelo do termostato sobre as variáveis física do sistema.

Método

Termostato de Nosé

Para entender o termostado de Nóse-Hoover, primeiramente será mostrado o termostato de Nosé.

Este termostato atribui coordenadas generalizados adicionais $s$ e o seu momento conjugado $p_{s}$ ao banho térmico. O fator $s$ é definido como um fator de escala das velocidades, onde:

${\mathbf {v}}=s{\dot {\mathbf {r}}}=s{\mathbf {p}}/m$

E também são definidas as energia potenciais e cinética associadas a $s$ como:

${\mathcal {U}}_{s}=(N_{f}+1)k_{B}T\ln(s)$

e

${\mathcal {K}}_{s}={\frac {1}{2}}Q{\dot {s}}^{2}={\frac {p_{s}^{2}}{2Q}}$

onde $Q$ é entendido como a "inércia térmica", ele determina a escala do tempo da flutuação de temperatura.

O Lagrangiano do sistema extendida (consistente das partículas e do banho térmico) então é postulado como:

${\mathcal {L}}={\mathcal {K}}+{\mathcal {K}}_{s}-{\mathcal {U}}-{\mathcal {U}}_{s}=\sum _{i}{\frac {{\mathbf {p}}_{i}^{2}}{2m_{i}s^{2}}}+{\frac {p_{s}^{2}}{2Q}}-{\mathcal {U}}({\mathbf {r}})-(N_{f}+1)k_{B}Tln(s)$.

Como não é explicitamente dependente do tempo:

${\mathcal {H}}_{N}={\mathcal {K}}+{\mathcal {K}}_{s}+{\mathcal {U}}+{\mathcal {U}}_{s}=\sum _{i}{\frac {{\mathbf {p}}_{i}^{2}}{2m_{i}s^{2}}}+{\frac {p_{s}^{2}}{2Q}}+{\mathcal {U}}({\mathbf {r}})+(N_{f}+1)k_{B}Tln(s)$.

${\mathcal {H}}_{N}$ se conserva. .

Assim, as equações de movimento podem ser deduzidas:

${\mathbf {\dot {r}}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {H}}_{N}}{\partial {\mathbf {p}}_{i}}}={\frac {{\mathbf {p}}_{i}}{m_{i}s^{2}}}$

${\mathbf {\dot {p}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}_{N}}{\partial {\mathbf {r}}_{i}}}={\mathbf {f}}_{i}$

${\dot {s}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}_{N}}{\partial p_{s}}}=p_{s}/Q$

${\dot {p}}_{s}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}_{N}}{\partial s}}=\sum _{i}{\frac {{\mathbf {p}}_{i}^{2}}{m_{i}s^{3}}}-(N_{f}+1)k_{B}T/s$

Assim, para tempos longos, o termostato de Nosé pode ser tratado como um sistema de partículas junto a um banho térmico, ou seja, como um ensemble canônico. Entretanto, o valor de $Q$ precisa ser determinado por tentativa e erro. Outro problema do termostato de Nosé é o fato de que, por as velocidades serem escaladas com o $s$, o tempo também será escalado com $s$, o que não acontece em sistemas reais e extendidos.

Termostato de Nosé-Hoover

Para contornar esses problemas, Hoover utilizou uma parametrização diferente, sem o termo $s.$ . O parâmetro $s$ pode ser removido das equações reescrevendo-as utilizando ${\mathbf {r}}$, ${\mathbf {\dot {r}}}$ e ${\mathbf {\ddot {r}}}$. Assim, as equações de movimento do termostato de Nosé-Hoover são:

${\mathbf {\dot {r}}}={\dot {p}}_{i}/m_{i}$

${\mathbf {\dot {p}}}={\mathbf {f}}_{i}-\xi {\mathbf {p}}_{i}={\mathbf {f}}_{i}{\frac {p_{\eta }}{Q}}{\mathbf {p}}_{i}$

${\dot {\eta }}=p_{\eta }/Q$

${\dot {p}}_{\eta }=\sum _{i}{\frac {{\mathbf {p}}_{i}^{2}}{m_{i}}}-N_{f}k_{B}T$

onde $\eta$ agora são os termos relacionados à fricção do banho térmico.

Cadeias de Nosé-Hoover

O termostato de Nosé-Hoover gera distribuição canônica quando não há forças externas ao sistema. Enquanto existem sistemas com forças externas que podem apresentar este comportamento, existem casos com forças externas onde esse termostato não gera o comportamento esperado. Para contornar esse problema, Martyna et al. propuseram uma solução onde um termostato de Nosé-Hoover está acoplado a outro termostato de Nosé-Hover, formando uma cadeia. Este sistema ainda irá gerar uma distribuição canônica e não apresentará problemas com forças externas. As equações de movimento para um sistema com M termostatos são:

${\mathbf {\dot {r}}}_{i}={\frac {{\mathbf {p}}_{i}}{m_{i}}}$

${\mathbf {f}}_{i}-{\frac {p_{\xi 1}}{Q_{1}}}{\mathbf {p}}_{i}$

${\dot {\xi }}_{k}={\frac {p_{\xi ,k}}{q_{k}}}\quad k=1,...,M$

${\dot {p}}_{\xi ,1}=\left(\sum _{i}{\frac {p_{i}^{2}}{m_{i}}}-Lk_{B}T\right)-{\frac {p_{\xi ,2}}{Q_{2}}}p_{\xi ,1}$

${\dot {p}}_{\xi ,k}=\left[{\frac {p_{\xi _{k-1}}^{2}}{Q_{k-1}}}-k_{B}T\right]-{\frac {p_{\xi _{k+1}}}{Q_{k+1}}}$

. . .

${\dot {p}}_{\xi ,M}=\left[{\frac {p_{\xi _{M-1}}^{2}}{Q_{M-1}}}-k_{B}T\right]$

Que serão as equações utilizadas para a este trabalho, utilizando $M=2$.

Objetivos

Utilizando o termostato de Nosé-Hoover, serão feitos gráficos utilizando diferentes valores de $Q$, a fim de analisar qual é o efeito dessa variável sobre o sistema. Para melhor análise, primeiramente o sistema será estabilizado com a temperatura $T=1.0$, e então terá um pulo na temperatura para $T=1.5$, com isso será possível analisar qual é o efeito da inércia térmica do banho térmico do sistema.

Serão feitos gráficos da temperatura ao longo do tempo de simulação, onde será possível observar as flutuações que ocorrem no sistema, além de um gráfico para mostrar a depedência da velocidade das partículas de acordo com o $Q$ escolhido. Este trabalho é baseado no Case Study 11 do livro "Understanding Molecular Simulation" - Daan Frenkel e Berend Smit: "Lennard-Jones: Nosé-Hoover Termostat"

Resultados

Temperatura constante

Primeiramente, foi feita uma simulação, com $T=1.0$ constante ao longo de toda simulação utilizando três diferentes valores para a inércia do banho térmico, $Q=0.1$ (que será chamado de "$Q$ baixo"), $Q=1.0$ ("$Q$ intermediário") e $Q=10.0$ ("$Q$ alto"), conforme visto nas figuras 1, 2 e 3. É notável que existem intensas oscilações na temperatura no início da simulação para cada $Q$ utilizado, devido ao tempo que o sistema leva para atingir o equilíbrio. Além disso, as oscilações se mantém ao longo de toda simulação.

Figura 1: Evolução da temperatura durante a simulação com $Q=0.1$.

Figura 2: Evolução da temperatura durante a simulação com $Q=0.1$.

Figura 3: Evolução da temperatura durante a simulação com $Q=0.1$.

Na figura 4 vemos, diretamente, a diferença causada pelos diferentes valores de $Q$. Para um $Q$ baixo, existem oscilações pouco intensas mas de maior frequência, para um $Q$ alto o sistema tende para a temperatura desejada sem muitas oscilações. O comportamento do $Q$ intermediário se encontra entre os dois valores de $Q$ testados.

Figura 4: Evolução da temperatura durante a simulação.

Salto de temperatura

Abaixo são demonstradas situações onde houve um salto da temperatura de $T=1.0$ para $T=1.5$ a partir do passo $12000$ (esse valor foi escolhido para ter certeza que o sistema já se encontrava no equílibrio neste instante), utilizando os mesmos três diferentes valores da variável referente a inércia do banho térmico do exemplo acima.

Figura 5: Evolução da temperatura para um sistema com $Q=0.1$ com salto para $T=1.5$

Figura 6: Evolução da temperatura para um sistema com $Q=1.0$ com salto para $T=1.5$

Figura 7: Evolução da temperatura para um sistema com $Q=10.0$ com salto para $T=1.5$

O que nota-se neste resultado, e que fica mais claro na figura 8, é que para um valor de $Q$ baixo, ou seja, baixa inércia térmica, a temperatura do sistema possui muitas oscilações quando acontece o pulo, logo o sistema demora mais para se estabilizar, entretanto, quando estabilizado as oscilações são menores do que para valores de $Q$ maiores. Para um $Q$ alto, a temperatura não oscila depois do pulo, tendendo rapidamente para o valor desejado, entretanto, possuindo oscilações maiores do que para um $Q$ baixo. O resultado de $Q$ intermediário apresenta um comportamento entre os outros dois resultados, apresentando oscilações após o pulo, mas rapidamente tendendo para o valor desejado.

Figura 8: Evolução da temperatura para um sistema com salto para $T=1.5$

Conforme visto, o valor de $Q$ influência o equilíbrio do sistema, portanto, conforme dito anteriormente, este valor precisa ser determinado, para cada sistema, por tentativa e erro.

Entretanto, o valor de $Q$ não pode afetar as propriedades físicas da partícula, como a velocidade. Visto que a velocidade da partícula, ou seja, a temperatura média do sistema, é independente de $Q$, um gráfico da distribuição de Maxwell-Boltzmann para cada situação tem de ser idêntico à todos outros valores de $Q$. Isso é demonstrado nas figuras abaixo.

Figura 8: Velocidade das partículas e distribuição de Maxwell-Boltzmann utilizando $Q=0.1$.

Figura 8: Velocidade das partículas e distribuição de Maxwell-Boltzmann utilizando $Q=1.0$.

Figura 8: Velocidade das partículas e distribuição de Maxwell-Boltzmann.

Conclusões e Perspectivas Futuras

Com o trabalho apresentado, foi possível utilizar o termostato de Nosé-Hoover para fazer análise do sistema proposto. Entrentanto ainda é necessário expandir este trabalho além de melhorias que poderiam ser feitas, como o cálculo do deslocamento quadrado médio das partículas no banho térmico.

Programas Utilizados

Programa sem o salto de temperatura

/*********************************************/ 

// Simulação de DM de um fluido de Lennard-Jones com termostato Nosé-Hoover Compile usando "gcc -o NVT_NH NVT_NH.c -lm -lgsl" //

/********************************************/  
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <gsl/gsl_rng.h>
#include <gsl/gsl_randist.h>
/*********CONSTANTES GLOBAIS #1*****************/
#define rho 0.75 //Densidade 
#define V N*1./rho //Volume
#define N 256 //Numeros de particulas
#define T0 0.0
#define M 2 //Numero de correntes Nosé-Hoover
#define TEMPO_MAX 10000 //Tempo de simulação
/*********VARIAVEIS GLOBAIS******************/
double rx[N],ry[N],rz[N];
double vx[N],vy[N],vz[N];
double xi1[N],xi2[N],vxi1[N],vxi2[N];  
double fx[N],fy[N],fz[N];
double Q1[M],Q2[M];// "Massa" de resistencia do Termostato
double uk,pe; // Energia cinetica e potencial
double T;
double et, et0,r2;
/*********CONSTANTES GLOBAIS #2******************/
double l=3*N;// Variaveis reais - Frenkel --> L=3N 
double L = pow(V,1./3.);//Comprimento da aresta da caixa
double delt=0.0002, delt2, delt4, delt8;
double To = 1.0;//Temperatura de interesse
/********************FUNÇÕES*********************/
void init(void);
void force(void);
void chain(double T);
void aplica_PBC(void);
/********************************************/
gsl_rng * r;// Gerador global
/****INCIAR AS POSIÇÕES E VELOCIDADES********/
void init ( void) 
/*******************************************/
{
int i;
double cmvx=0.0,cmvy=0.0,cmvz=0.0;
double fac;
double dx,dy,dz;
int M1,n1;
unsigned long int Seed = 23410981;

gsl_rng_set(r,Seed);
uk=0; 
n1=ceil(pow(N,1./3.));
M1=pow(n1,3);

dx=pow(V/M1,(1./3.));
dy=pow(V/M1,(1./3.));
dz=pow(V/M1,(1./3.));
  
for (i=0;i<N;i++)
 {
rx[i] = (i%n1)*dx;
ry[i] = ((i/n1)%n1)*dy;
rz[i] = ((i/(n1*n1))%n1)*dz;
// Velocidade aleatoria de distribuição normal 

vx[i]=gsl_ran_gaussian(r,1.0);
vy[i]=gsl_ran_gaussian(r,1.0);
vz[i]=gsl_ran_gaussian(r,1.0);

cmvx+=vx[i];
cmvy+=vy[i];
cmvz+=vz[i];

vx[i]-=cmvx/N;
vy[i]-=cmvy/N;
vz[i]-=cmvz/N;
   
uk+=(vx[i]*vx[i]+vy[i]*vy[i]+vz[i]*vz[i])/2;// Energia cinética média
 }
/********************************************/
if (T0>0.0)
 {

T = (2/3)*(uk/N);// Temperatura do sistema
fac=sqrt(T0/T);
    
for (i=0;i<N;i++)
  {
  
vx[i]*=fac;
vy[i]*=fac;
vz[i]*=fac;
      
uk+= (vx[i]*vx[i]+vy[i]*vy[i]+vz[i]*vz[i])/2;
  }
 
 }    

return;  
}
/*********CALCULAR FORÇAS******************/
void force(void)
/*******************************************/ 
{
int i,j;
double dx, dy, dz,r2i, r6i;
double ff,rc,rc2;
double ecut;

pe = 0.0;
rc = L/2;
rc2 = rc*rc;
ecut = 4*(pow(rc2,-6)-pow(rc2,-3));

for (i=0;i<N;i++)
  {
  
fx[i]=0.0;
fy[i]=0.0;
fz[i]=0.0;
  }
   

for (i=0;i<(N-1);i++)
{
for (j=i+1;j<N;j++)
 {
 
dx  = (rx[i]-rx[j]);
dy  = (ry[i]-ry[j]);
dz  = (rz[i]-rz[j]);
	
dx=dx-rint(dx/L)*L;
dy=dy-rint(dy/L)*L;
dz=dz-rint(dz/L)*L;
	
r2 = dx*dx + dy*dy + dz*dz;
	
if (r2<rc2) 
{
	
r2i = 1.0/r2;	
r6i  = r2i*r2i*r2i;
ff = 48.0*r6i*r2i*(r6i-0.5);
	  
fx[i] += dx*ff;
fx[j] -= dx*ff;
	  
fy[i] += dy*ff;
fy[j] -= dy*ff;
	  
fz[i] += dz*ff;
fz[j] -= dz*ff;
	   
pe+= 4.0*r6i*(r6i - 1.0) - ecut;//Energia potencial
	   
}
   }
      }
      
 return;
}
/*******************************************/
void chain ( double T) 
/*******************************************/
{

double G1, G2, s;
int i;

Q1[0] = 10;//1.0//0.1
Q2[1] = 10;//1.0//0.1

delt2 = delt/2;
delt4 = delt/4;
delt8 = delt/8;

G2= (Q1[0]*vxi1[0]*vxi1[0]-T);
vxi2[1]= vxi2[1] + G2*delt4;
vxi1[0]=vxi1[0]*exp(-vxi2[1]*delt8);

G1=(2*uk-l*T)/Q1[0];
vxi1[0]=vxi1[0] + G1*delt4;
vxi1[0]=vxi1[0]*exp(-vxi2[1]*delt8); 
 
xi1[0]=xi2[0] + vxi1[0]*delt2;
xi2[1]=xi2[1] + vxi2[1]*delt2;

s=exp(-vxi1[0]*delt2);

for (i=0;i<N;i++)
 {
vx[i]=s*vx[i]; 
vy[i]=s*vy[i]; 
vz[i]=s*vz[i]; 

 }
uk = uk*s*s;

vxi1[0]=vxi1[0]*exp(-vxi2[1]*delt8);
G1=(2*uk-l*T)/Q1[0];
vxi1[0]=vxi1[0] + G1*delt4;

vxi1[0]=vxi1[0]*exp(-vxi2[1]*delt8);
G2=(Q1[0]*vxi1[0]*vxi1[0]-T)/Q2[1];
vxi2[1]=vxi2[1] + G2*delt4;



return;
}
void aplica_PBC(void)
 {

  int i;
  
for(i=0;i<N;i++)
 {
    if(rx[i]>L) 
    {
      rx[i] = rx[i] - 1.0*L;
    }
    else if (rx[i]<0) {
      rx[i] = rx[i] + 1.0*L;
    }
    if(ry[i]>L) 
    {
      ry[i] = ry[i] - 1.0*L;
    }
    else if (ry[i]<0) {
      ry[i] = ry[i] + 1.0*L;
    }
    if(rz[i]>L) 
    {
      rz[i] = rz[i] - 1.0*L;
    }
    else if (ry[i]<0) 
    {
      rz[i] = rz[i] + 1.0*L;
    }
    
  }
 
  return;
 
}
/*******************************************/
/*******************************************/
int main ( void ) 
/*******************************************/
{
int i;
double t;
const gsl_rng_type * A;

gsl_rng_env_setup();
A = gsl_rng_default;
r = gsl_rng_alloc (A);

init();
/*******************************************/
for (t=0;t<TEMPO_MAX;t++)
   {

chain(To);
/******************************************/
uk = 0.0;
    
for (i=0;i<N;i++)
   {
rx[i]+=vx[i]*delt2;
ry[i]+=vy[i]*delt2;
rz[i]+=vz[i]*delt2;
  
   }
aplica_PBC(); 
/************Calculo das Forças**************/
force();
      
/********************************************/
for (i=0;i<N;i++)
  {
  
vx[i]+=delt*fx[i];
vy[i]+=delt*fy[i];
vz[i]+=delt*fz[i];
      
rx[i]+=vx[i]*delt2;
ry[i]+=vy[i]*delt2;
rz[i]+=vz[i]*delt2;
      
uk+=(vx[i]*vx[i]+vy[i]*vy[i]+vz[i]*vz[i])/2;

  }

chain(To);

T = (2/3.)*(uk/N);
et = pe + uk;

/*Tempo,ENERGIA(Potencial,Cinetica,Total) e Temperatura*/    
printf("%lf\t%lf\t%lf\t%lf\t%lf\n", t,pe,uk,et,T);
/********************************************/
  }
  
return 0;  
}

Programa com o salto de temperatura

/*********************************************/ 

// Simulação de DM de um fluido de Lennard-Jones com termostato Nosé-Hoover Compile usando "gcc -o NVT_NH NVT_NH.c -lm -lgsl" //

/********************************************/  
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <gsl/gsl_rng.h>
#include <gsl/gsl_randist.h>
/*********CONSTANTES GLOBAIS #1*****************/
#define rho 0.75 //Densidade 
#define V N*1./rho //Volume
#define N 256 //Numeros de particulas
#define T0 0.0
#define M 2 //Numero de correntes Nosé-Hoover
#define TEMPO_MAX 30000 //Tempo de simulação
/*********VARIAVEIS GLOBAIS******************/
double rx[N],ry[N],rz[N];
double vx[N],vy[N],vz[N];
double xi1[N],xi2[N],vxi1[N],vxi2[N];  
double fx[N],fy[N],fz[N];
double Q1[M],Q2[M];// "Massa" de resistencia do Termostato
double uk,pe; // Energia cinetica e potencial
double T;
double pe, et, et0,r2;
/*********CONSTANTES GLOBAIS #2******************/
double l=3*N;// Variaveis reais - Frenkel --> L=3N 
double L = pow(V,1./3.);//Comprimento da aresta da caixa
double delt=0.0002, delt2, delt4, delt8;
double To = 1.0;//Primeira temperatura de interesse
double tempo_p=12000; // Tempo do pulo de temperatura
double Temp_p=1.5;//Segundo temperatura de interesse
/********************FUNÇÕES*********************/
void init(void);
void force(void);
void chain(double T);
void aplica_PBC(void);
/********************************************/
gsl_rng * r;// Gerador global
/****INCIAR AS POSIÇÕES E VELOCIDADES********/
void init ( void) 
/*******************************************/
{
int i;
double cmvx=0.0,cmvy=0.0,cmvz=0.0;
double fac;
double dx,dy,dz;
int M1,n1;
unsigned long int Seed = 23410981;

gsl_rng_set(r,Seed);
uk=0; 
n1=ceil(pow(N,1./3.));
M1=pow(n1,3);

dx=pow(V/M1,(1./3.));
dy=pow(V/M1,(1./3.));
dz=pow(V/M1,(1./3.));
  
for (i=0;i<N;i++)
 {
rx[i] = (i%n1)*dx;
ry[i] = ((i/n1)%n1)*dy;
rz[i] = ((i/(n1*n1))%n1)*dz;
// Velocidade aleatoria de distribuição normal 

vx[i]=gsl_ran_gaussian(r,1.0);
vy[i]=gsl_ran_gaussian(r,1.0);
vz[i]=gsl_ran_gaussian(r,1.0);

cmvx+=vx[i];
cmvy+=vy[i];
cmvz+=vz[i];

vx[i]-=cmvx/N;
vy[i]-=cmvy/N;
vz[i]-=cmvz/N;
   
uk+=(vx[i]*vx[i]+vy[i]*vy[i]+vz[i]*vz[i])/2;// Energia cinética média
 }
/********************************************/
if (T0>0.0)
 {

T = (2/3)*(uk/N);// Temperatura do sistema
fac=sqrt(T0/T);
    
for (i=0;i<N;i++)
  {
  
vx[i]*=fac;
vy[i]*=fac;
vz[i]*=fac;
      
uk+= (vx[i]*vx[i]+vy[i]*vy[i]+vz[i]*vz[i])/2;
  }
 
 }    

return;  
}
/*********CALCULAR FORÇAS******************/
void force(void)
/*******************************************/ 
{
int i,j;
double dx, dy, dz,r2i, r6i;
double ff,rc,rc2;
double ecut;

pe = 0.0;
rc = L/2;
rc2 = rc*rc;
ecut = 4*(pow(rc2,-6)-pow(rc2,-3));

for (i=0;i<N;i++)
  {
  
fx[i]=0.0;
fy[i]=0.0;
fz[i]=0.0;
  }
   

for (i=0;i<(N-1);i++)
{
for (j=i+1;j<N;j++)
 {
 
dx  = (rx[i]-rx[j]);
dy  = (ry[i]-ry[j]);
dz  = (rz[i]-rz[j]);
	
dx=dx-rint(dx/L)*L;
dy=dy-rint(dy/L)*L;
dz=dz-rint(dz/L)*L;
	
r2 = dx*dx + dy*dy + dz*dz;
	
if (r2<rc2) 
{
	
r2i = 1.0/r2;	
r6i  = r2i*r2i*r2i;
ff = 48.0*r6i*r2i*(r6i-0.5);
	  
fx[i] += dx*ff;
fx[j] -= dx*ff;
	  
fy[i] += dy*ff;
fy[j] -= dy*ff;
	  
fz[i] += dz*ff;
fz[j] -= dz*ff;
	   
pe+= 4.0*r6i*(r6i - 1.0) - ecut;//Energia potencial
	   
}
   }
      }
      
 return;
}
/*******************************************/
void chain ( double T) 
/*******************************************/
{

double G1, G2, s;
int i;

Q1[0] = 10;//0.1/1.0
Q2[1] = 10;//0.1//1.0

delt2 = delt/2;
delt4 = delt/4;
delt8 = delt/8;

G2= (Q1[0]*vxi1[0]*vxi1[0]-T);
vxi2[1]= vxi2[1] + G2*delt4;
vxi1[0]=vxi1[0]*exp(-vxi2[1]*delt8);

G1=(2*uk-l*T)/Q1[0];
vxi1[0]=vxi1[0] + G1*delt4;
vxi1[0]=vxi1[0]*exp(-vxi2[1]*delt8); 
 
xi1[0]=xi2[0] + vxi1[0]*delt2;
xi2[1]=xi2[1] + vxi2[1]*delt2;

s=exp(-vxi1[0]*delt2);

for (i=0;i<N;i++)
 {
vx[i]=s*vx[i]; 
vy[i]=s*vy[i]; 
vz[i]=s*vz[i]; 

 }
uk = uk*s*s;

vxi1[0]=vxi1[0]*exp(-vxi2[1]*delt8);
G1=(2*uk-l*T)/Q1[0];
vxi1[0]=vxi1[0] + G1*delt4;

vxi1[0]=vxi1[0]*exp(-vxi2[1]*delt8);
G2=(Q1[0]*vxi1[0]*vxi1[0]-T)/Q2[1];
vxi2[1]=vxi2[1] + G2*delt4;



return;
}

void aplica_PBC(void)
 {

  int i;
  
for(i=0;i<N;i++)
 {
    if(rx[i]>L) 
    {
      rx[i] = rx[i] - 1.0*L;
    }
    else if (rx[i]<0) {
      rx[i] = rx[i] + 1.0*L;
    }
    if(ry[i]>L) 
    {
      ry[i] = ry[i] - 1.0*L;
    }
    else if (ry[i]<0) {
      ry[i] = ry[i] + 1.0*L;
    }
    if(rz[i]>L) 
    {
      rz[i] = rz[i] - 1.0*L;
    }
    else if (ry[i]<0) 
    {
      rz[i] = rz[i] + 1.0*L;
    }
    
  }
 
  return;
 
}
/*******************************************/
int main ( void ) 
/*******************************************/
{
int i;
double t;
const gsl_rng_type * A;


gsl_rng_env_setup();
A = gsl_rng_default;
r = gsl_rng_alloc (A);

init();
/*******************************************/
for (t=0;t<TEMPO_MAX;t++)
   {
/*******************************************/
if (t==tempo_p)
    
To = Temp_p;


chain(To);
/******************************************/
uk = 0.0;
    
    
    
for (i=0;i<N;i++)
   {
rx[i]+=vx[i]*delt2;
ry[i]+=vy[i]*delt2;
rz[i]+=vz[i]*delt2;
  
   }
   
aplica_PBC();   
/************Calculo das Forças**************/
force();
      
/********************************************/
for (i=0;i<N;i++)
  {
  
vx[i]+=delt*fx[i];
vy[i]+=delt*fy[i];
vz[i]+=delt*fz[i];
      
rx[i]+=vx[i]*delt2;
ry[i]+=vy[i]*delt2;
rz[i]+=vz[i]*delt2;
      
uk+=(vx[i]*vx[i]+vy[i]*vy[i]+vz[i]*vz[i])/2;

  }

chain(To);

T = (2/3.)*(uk/N);
et = pe + uk;

/*Tempo,ENERGIA(Potencial,Cinetica,Total) e Temperatura*/    
printf("%lf\t%lf\t%lf\t%lf\t%lf\n", t,pe,uk,et,T);
/********************************************/
  }
  
return 0;  
}