Grupo - Modelo de Szabó

Integrante do grupo: Edson Mateus Signor (282004)

Introdução

Vemos corriqueiramente exemplos de movimentos coletivos na natureza como: cardume de peixes, bando de pássaros, células, etc. SZABÓ et al (2006) criam um modelo com a finalidade de reproduzir tais comportamentos para queratócitos (células teciduais de cicatrização de feridas nas escamas de peixes). O diferencial deste modelo perante os outros é o fato de usar partículas autopropulsadas com uma interação intercelular de curto alcance muito simples. O objetivo é a partir deste modelo visualizar uma transição de fase cinética no movimento dos queratócitos, para isso definimos o chamado parâmetro de ordem, o qual mede quão ordenado está o sistema, e variamos o valor de ruído presente na representação da locomoção natural das células.

Experimento

Em SZABÓ et al (2006) realizou-se um experimento com uma grande quantidade de células de tecido (queratócitos) a fim de visualizar a migração coletiva. À medida que as células migratórias aumentam, notou-se uma transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado.

Gráfico 1: Migração coletiva de queratócitos para diferentes densidades.

Observa-se no vídeo do grupo que para densidades pequenas as células apresentam um movimento aparentemente aleatório, já para uma densidade intermediária há a formação de pequenos clusters, porém não seguem um sentido de movimento em comum. Entretanto para uma alta densidade o movimento torna-se coletivo todos os queratócitos seguindo na mesma direção. Além disso, realizaram medidas experimentais do parâmetro de ordem médio do sistema para vários diferentes valores de densidades de células, a partir disso chegaram ao seguinte resultado:

Gráfico 2: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.

Assim há mais uma evidência para a transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. Diante disso o modelo a partir de forças atrativas-repulsivas de curto alcance é suficiente para organizar um montante de células em um movimento coerente.

O Modelo

O modelo de Szabó foi construído a fim de interpretar os resultados experimentais e seu comportamento. O modelo para as queratócitos individualmente é baseado em células autopropulsadas, onde suas velocidades são constantes numa direção bem definida. Para o ruído da locomoção das células considera-se um ruído branco na direção da autopropulsão. Além disso, considera-se para a interação intercelular forças de curto alcance, onde o movimento coletivo dos queratócitos emerge partir delas. Considerando o sistema bi-dimensional descrevemos o movimento das N células com um movimento amortecido, logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )}
  

Cada célula com mobilidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu } segue na direção da autopropulsão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{n}_{i}(t) } caso não sofra a ação das forças intercelulares.

Cálculo da autopropulsão

A direção de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{n}_{i}(t) } é dado pelo ângulo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta _{i}^{n}(t) } , mostrado na figura abaixo.

Gráfico 3: Esquematização das células de queratócitos para o modelo de Szabó.

Assim, como a velocidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{v}_{i}(t) } das células tentam ajustar sua direção (dado pelo ângulo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi _{i}^{n}(t) } ) com a de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{n}_{i}(t) } . Então atribuímos a ela uma força restauradora, caracterizada pela equação diferencial:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{(\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t))}{\tau} + \xi}
  

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} é o tempo de relaxação e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi} é o ruído branco gaussiano da autopropulsão. Usando a fórmula do produto vetorial entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{v}_{i}(t) } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{n}_{i}(t) }  :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin\left({\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t)}\right) = \textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}}
  

Chegamos, assim, na seguinte expressão para o ângulo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta _{i}^{n}(t) } :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{1}{\tau} arcsin\left[\left(\textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}\right)\cdot\textbf{e}_{z}\right] + \xi}
  

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{e}_{z} } é o vetor unitário perpendicular ao plano de movimento dos queratócitos. Deste modo, para atualizarmos o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_{i}(t)} basta utilizarmos a seguinte expressão:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{n}_{i}(t) = \cos{\theta_{i}^{n}(t)} \hat{\textbf{x}} + \sin{\theta_{i}^{n}(t)}\hat{\textbf{y}}}
  

Cálculo das forças intercelulares

As forças entre os queratócitos são funções que dependem apenas das distâncias Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_{ij}} entre os centros de massa de cada um. Os dois principais critérios para a elaboração das forças foram: (i) As células devem ter um volume bem definido e apenas interagirem com os vizinhos mais próximos e (ii) para um certo valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_{ij}} as células não devem mais interagirem. Assim considerou-se os queratócitos com um volume de raio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_0/2} , onde sofrem uma força repulsiva até uma distância Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{eq}} , uma força atrativa entre as distâncias Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{eq}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_0} e zero para maiores que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_0} . Então temos a seguinte forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle  \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} ) = \textbf{e}_{ij}\begin{cases}   F_{rep}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{eq}},\quad         d_{ij} < R_{eq} \\   F_{adh}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{0} - Re_{eq}}, \; \; R_{eq} \le d_{ij} \le R_{0}\\   0, \quad \quad \quad \quad \quad \; d_{ij} > R_{0}\\   \end{cases}   }
  

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{e}_{ij} = \frac{\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j}}{|\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} |}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_{ij} = |\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} | } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{rep}} é o máximo valor da força repulsiva para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_{ij} = 0} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{adh}} é o máximo valor da força atrativa para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_{ij} = R_{0}} (Como pode ser visto na figura 4).

Gráfico 4: Gráfico das forças intercelulares.

Com isso a dinâmica dos queratócitos está completa.

Resultados

Finalizado a dinâmica das células utilizou-se um programa em Python para simular os queratócitos para três diferentes valores de ruído. Porque além de apresentar uma transição de fase cinética variando a densidade (Como mostrado no experimento), também há uma transição variando a intensidade do ruído, ou seja, a potência natural da autopropulsão. Com isso, dado o programa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \it{Simulacao \; dos \; queratocitos\;}} obteve-se as seguintes simulações:

Gráfico 5: Simulação dos queratocitos para um ruído baixo.

Gráfico 6: Simulação dos queratocitos para um ruído intermediário

Gráfico 7: Simulação dos queratocitos para um ruído alto

Parâmetro de Ordem

Para visualizar a transição de fase cinética definiu-se um parâmetro de ordem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} onde é definido da seguinte maneira:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )}
  

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle  \overline{V} =  \langle V\rangle_{t_k}}
  

Neste parâmetro queremos basicamente medir o quão desordenado está o sistema. Então a ideia é somar vetorialmente as velocidades de cada célula - dividida pelos seus respectivos módulos, pois só nos interessa a direção - e normalizamos pela quantidade de células. Além disso, ainda se faz uma média temporal a fim de melhorar ainda mais a medida. Tal tipo de parâmetro foi definido porque, por exemplo, se o sistema está em um estado dito desordenado esperamos os queratócitos vagando em direção aparentemente aleatórias, logo se somarmos as velocidades a resultante será um vetor nulo, e o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{V}} tenderá a zero. Já quando o sistema estiver um estado dito ordenado, as células estarão em um movimento coletivo, ou seja, o módulo da velocidade resultante será diferente de zero, por conseguinte, o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{V}} tenderá a 1.

Resultado do Parâmetro de ordem

Antes de calcular o parâmetro Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{V}} fazendo a média temporal, temos que observar o gráfico da evolução temporal de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{V}} (fazendo uso do programa em Python Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \it{Evolucao \;temporal\; do \;parâmetro \;de \;ordem\;}} ):

Gráfico 8: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.

Nota-se que há um transiente, com isso então para realizar o cálculo da média apenas utiliza-se os valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{V}} para a cima de 50 interações a fim de desprezar o transiente e obter uma melhor média. Feito isto, com um outro programa em Python Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \it{Transicao \; de \;fase \;}} temos o resultado obtido a partir das simulações:

Gráfico 9: Gráfico do parâmetro de ordem médio em função do ruído.

Assim, nota-se que se obteve um gráfico característico de uma transição de fase confirmando o que havíamos esperado. Fazendo uso de mais partículas pode-se chegar em um gráfico como o feito em SZABÓ et al (2006) .

Gráfico 10: Gráfico do parâmetro de ordem médio em função do ruído obtido por Szabó .

Códigos

Modelo de Szabó - Simulação dos queratócitos

Modelo de Szabó - Evolução temporal do parâmetro de ordem

Modelo de Szabó - Transição de fase