Área 3

A) Interpolação e Extrapolação

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1 - Explique a ideia do algoritmo de Neville (linhas gerais).

2 - Em aula fizemos um algoritmo que interpola um conjunto de pontos usando o algoritmo de Neville. Na ocasião, eu propus que os polinómios fossem mapeados em uma matriz quadrada A de dimensão NxN, onde os elementos da primeira coluna eram os pontos P11, P22, P33, etc e os demais elementos eram colocados nas demais colunas... Agora eu quero propor uma outra maneira de mapear e isto implica uma outra maneira de construir o algoritmo. O objetivo é que você ENTENDA os passos, construa o seu algoritmo com calma. Mapeie da seguinte maneira: os polinómios P11, P22, P33, etc (os quais são dados do problema) são colocados na diagonal principal da matriz A (A[1][1], A[2][2], etc). Em seguida, os polinómios P12, P23, P34, etc, são colocados na diagonal seguinte (A[1][2], A[2][3], etc) . Os polinómios P123, P234, etc na outra diagonal (A[1][3], A[2][4], etc) e assim sucessivamente. Este algoritmo terá uma fórmula de recorrência diferente daquele feito em aula e também a maneira de variar os índices será outra.

Use os seguintes N=4 pontos como dados de entrada:

0.000000 0.000000

1.500000 0.997495

3.000000 0.141120

4.500000 -0.977530

Uma vez que o algoritmo esteja funcionando para N=4, use os seguintes N=9 pontos:

0.000000 0.000000

0.750000 0.681639

1.500000 0.997495

2.250000 0.778073

3.000000 0.141120

3.750000 -0.571561

4.500000 -0.977530

5.250000 -0.858935

6.000000 -0.279415

O ideal é fazer um programa que leia estes dados de dentro de um arquivo de entrada e faça a interpolação para um valor de N qualquer que o usuário queira.

3 - Use o algoritmo construído em 2 para interpolar os seguintes N=11 pontos:

0.000000 -0.200000

0.600000 -0.227273

1.200000 -0.263158

1.800000 -0.312500

2.400000 -0.384615

3.000000 -0.500000

3.600000 -0.714286

4.200000 -1.250000

4.800000 -4.999993

5.400000 2.500002

6.000000 1.000000

Desenhe no gnuplot estes pontos e os valores interpolados pelo seu programa. Varie x entre 0 e 6 varrendo x a cada 0.2.

B) Zeros de Funções

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Legenda para esta seção: $F(x)=f(x)+x$

F'(x) é a derivada de F(x) com relação à x

Considere a função $f(x)=e^{-x/10}\sin(2x)$.

4 - Faça no gnuplot um gráfico desta função dentro do intervalo pedido [-5:5]. Desenhe junto a linha y=0 para que você possa visualizar graficamente quantas raízes há neste intervalo.

5 - Retome o programa (fornecido em aula e que está no Moodle) que calcula zeros de funções usando o método de Newton-Raphson e adapte-do para encontrar TODOS os zeros da função f(x) no intervalo [-5:5]. Imprima estas raízes num arquivo chamado raizes.dat. Fundamental se dar conta de alguns "detalhes" antes de executar esta tarefa:

• Como o método de Newton-Raphson encontra apenas uma raiz para cada valor "chute" de x ("x_init"), então você deverá relançar o método várias vezes até encontrar todas as raízes do intervalo. Isto exige que você faça um loop variando "x_init" e, para cada x_init, você aplica o método de iteração.
• Note que o método pode (e provavelmente vai) encontrar a mesma raiz mais de uma vez. Você não deve estocar raízes repetidas! e isto implica que você deve pensar em uma maneira de fazer isto (dicas no final da lista para os que quiserem)

6 - Faça exatamente o mesmo procedimento que fizeste no problema 5 com o método de iteração simples. Uma vez feito o algoritmo do problema 5, basta você alterar a parte que calcula a iteração para usar o método de iteração simples visto em aula. Usando este método, quantas raízes você consegue encontrar? Calcule F'(x) para cada raiz encontrada no problema 5 e interprete o resultado que você acaba de obter à luz do que foi discutido em aula sobre a estabilidade do método de iteração simples.

7- método de bissecção: discuta brevemente as desvantagens deste método.

Dicas para o problema 5 (no ponto onde você vai verificar se a nova raiz encontrada já foi calculada) a) você pode estocar as raízes em uma matriz (ex raizes[] ) e, a cada vez que o algoritmo encontra uma raiz, ele deve comparar com as demais raízes já estocadas na matriz raizes[]. b) quando você for comparar a nova raiz encontrada (digamos x) com os elementos da matriz raizes[] (digamos raizes[i]), perceba que você estará comparando números reais. Então cuidado com os operadores de igual (==) ou diferente (!=), pois um número será diferente do outro se e somente se todas os algarismos significativos o forem! portanto, ao invés de comparar se x!=raizes[i], faça fabs(x-raizes[i]) < PRECISAO, onde fmod(a) é o módulo de a. c) não hesite em "debugar" o seu programa ! Isto vai ajudá-la(o) a entender o que há de errado.

C) Ajuste de curvas usando o método dos mínimos quadrados

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8) Dados os pontos;

x: 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

y: 0.62 0.63 0.64 0.66 0.68 0.71 0.76 0.81 0.89 1.00

Ajuste uma função do tipo f(x) = a0+a1*x+a2*x2 usando o método dos mínimos quadrados. Depois faça um gráfico usando os pontos da tabela e compare com a curva teórica que você calculou.

9) A resistência à compressão do concreto ( chamada de sigma ), decresce com o aumento da razão água/cimento (w/c, cuja unidade é em galões de água por saco de cimento). A resistência à compressão de várias amostras é dada na tabela a seguir:

w/c: 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0

sigma: 7000 6125 5237 4665 4123 3810 3107 3070 2580 2287

Usando o método dos mínimos quadrados e utilizando uma função do tipo $g(x)=ae^{-bx}$ , onde $g(x)=sigma$ e $x=w/c$, ajuste o sigma aos dados da tabela. Note que é possível linearizar a g(x) fazendo uma substituição de variável: $f(x)=ln(g(x))=ln(a)-bx$. Isto recai exatamente na função linear $f(x)=a_{0}+a_{1}x$, onde $a_{0}=ln(a)$ e $a_{1}=-b$. É importante dar-se conta, no momento de ajustar a g(x), que você usou o $ln(g(x))$ para chegar a sua forma linearizada. Portanto, no momento de ajustar os pontos fornecidos, você deve também transformar o "sigma" pela mesma função: $ln(sigma)$.

Grafique junto os pontos fornecidos na tabela acima com a função exponencial g(x) (usando obviamente os valores de a e b encontrados com o seu programa).