Derivada Numérica

A derivada de uma função $f(x)$ é definida como um processo de limite, o qual é matematicamente descrito por:

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

(Eq. 1)

Numericamente é impossível tomarmos o limite $\mathrm{\Delta }x\to 0$; temos necessariamente que trabalhar com um valor de $\mathrm{\Delta }x$ finito. Portanto, a todo cálculo numérico de uma derivada será associado um erro numérico. Abaixo veremos dois métodos numéricos para calcular derivadas e estimaremos os erros associados a tais métodos.

Derivada à direita

Este método se baseia na definição formal de derivada. Para um dado valor de incremento $\mathrm{\Delta }x$, definimos a derivada numérica (a direita) como:

$\frac{\mathrm{\Delta }{f}^{+}}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

(Eq. 2)

A expressão a direita é chamada de quociente diferencial de Newton. Existem duas fontes de erro nessa expressão, o erro de arredondamento e o erro de truncamento. O primeiro é um erro associado à precisão numérica dos computadores, que é finita (o número de casas dos números). Comparando a expressão (2) com a (1), notamos que, quanto menor o valor de $\mathrm{\Delta }x$, o valor estimado numericamente é mais próximo ao valor real. No entanto, numericamente não podemos tomar $\mathrm{\Delta }x$ tão pequeno quanto se queira, porque há um limite de precisão numérica. Assim, na região do $\mathrm{\Delta }x$ pequeno há o tipo de erro chamado de erro de arredondamento.

Por exemplo, se o nosso computador hipotético processar uma operação matemática com 4 casas decimais, temos que, para a função $f(x)=x^2$, $f(0,1)=0,01$ e $f(0,1001)=0,01002001$. Note que, usando a precisão de nosso computador, $f(x)=f(x+\mathrm{\Delta }x)$ no caso em que $x=0,01$ e $\mathrm{\Delta }x=0,001$. Com isso, o resultado da derivada numérica seria $f{}^{\prime }(0,1)=0$, o que sabemos não ser verdade, já que podemos calcular essa derivada analiticamente. Isso coloca um limite inferior para o incremento $\mathrm{\Delta }x$, e assim para a precisão da estimativa numérica da derivada.

O segundo tipo de erro podemos dizer que é "intrínseco" ao método numérico. Para estimá-lo, faremos uso da expansão em série de Taylor da função :$f^{\prime }(x)$

$f(x+\mathrm{\Delta }x)=f(x)+f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x+\frac{1}{2}{f}^{″}(x)(\mathrm{\Delta }x{)}^2+\frac{1}{6}{f}^{‴}(x)(\mathrm{\Delta }x{)}^3+...$

(Eq. 3)

manipulando os termos acima, temos:

$\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }+\frac{1}{2}{f}^{″}\mathrm{\Delta }x+...,$

e assim

$f^{\prime }=\underset{QuocientedeNewton}{\underbrace{\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}}}-\frac{1}{2}{f}^{″}\mathrm{\Delta }x+....$

Comparando a expressão acima com o método de de derivada à direita , Eq. 2, notamos que a diferença existe a partir do termo $\mathrm{\Delta }x$. Podemos dizer que o erro ao usar a quociente de Newton para calcular a derivada é proporcional à $\mathrm{\Delta }x$. Assim, vemos que o erro cresce linearmente com $\mathrm{\Delta }x$ e portanto devemos usar valores pequenos do incremento.

Resumindo, por um lado temos o erro de truncamento e pelo outro o de arredondamento, onde o valor ótimo será uma solução de compromisso entre os dois tipos de erro. Vemos então que deve haver um intervalo de valores dentro do qual o $\mathrm{\Delta }x$ deve variar para que a derivada numérica seja a mais próxima do valor real possível. Nas figuras 5 e 6 mostramos um exemplo.

Derivada à esquerda

A derivada numérica pode também ser calculada com um incremento a esquerda do $x$ (e também centrado no $x$ como veremos depois). Em cálculo as três devem coincidir para existir a derivada em $x$. Existem funções que podem ser contínuas em um ponto, porém ter derivada diferente a esquerda e direita, por tanto nesses casos a derivada no ponto não está definida. O exemplo mais simples é $|x|$, continua e com derivada em todo $x\ne 0$. Nesse ponto as derivadas a esquerda e direita são diferentes.

Derivada Centrada

Outro cálculo numérico da derivada pode ser feito baseado na declividade de dois pontos próximos, um antes e outro depois do ponto onde queremos avaliar a derivada.

A declividade da linha definida por esses dois pontos é:

$f^{\prime }(x)\approx \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x-\mathrm{\Delta }x)}{2\mathrm{\Delta }x}$

(Eq. 4)

que é chamada de derivada centrada.

Podemos mostrar que o erro intrínseco a este método é menor do que o erro associado ao método anterior. Para estimar o erro de truncamento, expandimos $f(x)$ em torno de $\mathrm{\Delta }x$ ( feito na Eq(3)) e em torno de $-\mathrm{\Delta }x$:

$f(x-\mathrm{\Delta }x)=f(x)+f^{\prime }(x)(-\mathrm{\Delta }x)+\frac{1}{2}{f}^{″}(x)(-\mathrm{\Delta }x{)}^2-\frac{1}{6}{f}^{‴}(x)(\mathrm{\Delta }x{)}^3+...$

Somando $f(x+\mathrm{\Delta }x)$ dada pela Eq.(3) e os termos de $f(x-\mathrm{\Delta }x)$ da expressao acima, notamos que os termos lineares em $-\mathrm{\Delta }x$ se cancelam. Isolando $f^{\prime }(x)$, temos:

$f^{\prime }(x)=\underbrace{\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x-\mathrm{\Delta }x)}{2\mathrm{\Delta }x}}-\frac{2}{6}{f}^{‴}(x)(\mathrm{\Delta }x{)}^2+...$

Comparando a expressão acima com a definição do método de derivada centrada, Eq. 4, notamos que o erro de truncamento é da ordem de $(\mathrm{\Delta }x{)}^2$. Para $|\mathrm{\Delta }x|<1$, vemos que o erro de truncamento associado ao método de derivada centrada é menor do que o erro para a derivada à direita.

Medida numérica do Erro associado a cada método

Para ter uma estimativa do erro associado a utilização da derivada numérica, podemos comparar valores utilizando uma função que tem sua derivada conhecida analiticamente. Assim, o erro é dado por

$erro=\frac{|f{\text{'}}_{an}(x)-f{\text{'}}_{num}(x)|}{|f{\text{'}}_{an}(x)|},$

onde $f{\text{'}}_{an}(x)$ e $f{\text{'}}_{num}(x)$ são as derivada analítica e numérica de $f(x)$, respectivamente.

Note que, multiplicando o erro por 100, temos a porcentagem de erro que acompanha a derivada numérica.

Programa

Implementar a derivada numérica em FORTRAN é apenas uma linha de código:

...

Df = (f(x+h) - f(x))/h

...

Onde f(x) deve ser definida num bloco FUNCTION F(x) ... END FUNCTION F.

O resto depende de onde e para que queremos calcular a derivada.

Exemplo

Como demonstração, usaremos a função $f(x)$ dada por

$f(x)=\frac{\sin (x^2)e^{x/3}}{\sqrt{x^2+4}}.$

Os gráficos abaixo ilustram os métodos de derivada à direita (figuras 1 e 2) e derivada centrada (figuras 3 e 4), ambos com $x=0,6$ e $\mathrm{\Delta }x=0,4$.

Primeiramente, a figura 1 mostra a derivada à direita, onde a curva em vermelho representa $f(x)$ e a curva em azul representa a derivada de $f(x)$.

Figura 1 - Derivada à direita

A figura 2 mostra um zoom no ponto $x$ com a curva da derivada calculada pelo método descrito acima. Em azul a derivada calculada numericamente, só que agora com um deslocamento em $y$ para passar pelo ponto $(f(x),x)$.

Figura 2 - Derivada à direita (zoom)

O exemplo do método de derivada centrada está representado na figura 3. Em vermelho a curva $f(x)$ e em azul a sua derivada.

Figura 3 - Derivada centrada

A figura 4 mostra um zoom com a curva da derivada centrada em $x$.

Figura 4 - Derivada centrada (zoom)

Além da ilustração dos métodos de derivação numérica, as figuras 5 e 6 mostram o gráfico do valor retornado pelo método da derivação à direita em função do incremento $\mathrm{\Delta }x$ utilizado.

Figura 5 - Erros de truncamento e precisão

Figura 6 - Erros de truncamento e precisão (zoom)

Na figura 5, a derivada numérica em x=3 em função do $\mathrm{\Delta }x$ utilizado. O valor exato da derivada é $f^{\prime }(3)=-4.08963$. Diminuindo o valor do incremento, vemos que em volta de $\mathrm{\Delta }x=0.01$ a derivada começa a convergir, piorando a partir de $\mathrm{\Delta }x=10^{-6}$. Para valores muito pequenos temos o erro de arredondamento e para valores muito alto temos o erro de truncamento.

Na figura 6 vemos ampliada a região de convergência, onde o valor de $\mathrm{\Delta }x=8x10^{-5}$ parece ser o ótimo.

NOTA: os programa FORTRAN usado para o calculo da derivada esta em Real (ou Real*4, ou seja ponto flutuante em representação de 32 bits). Como seria em dupla precisão (Real*8)?

Links Externos

• Numerical Differentiation Quant Equation Archive, sitmo
• http://mathworld.wolfram.com/NumericalDifferentiation.html
• http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/NumericalDiffMod.html