Introdução a Sistemas Dinâmicos

Lista I

1. Resolva os problemas 3.1 a 3.9 do livro texto (II edição).
2. Resolva os problemas 4.16-4.21 do livro texto (II edição).
3. Encontre a solução para  :${\frac {dx}{dt}}=t(x-1)\;\;;x(0)=x_{0}$
4. Mostre que $H=x^{4}+2cos(t)+t^{2}$ é solução para a equação ${\frac {dx}{dt}}={\frac {2(sen(t)-t)}{4x^{3}}}$.
5. Uma bola de massa m cai sem atrito no campo gravitacional a partir do repouso em linha reta de uma altura h.

   Ao atingir o solo ela inverte instantaneamente sua velocidade, sem qualquer perda.

   1. Partindo da segunda Lei de Newton, escreva um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que descreva a primeira queda.
   2. Faça um gráfico do espaço de fases desse sistema incluindo agora a reflexão no solo e a volta a posição inicial.
6. O modelo de Hindmarsh-rose descreve o potencial de membrana ($x$) de um neurônio excitado por uma corrente I. ${\frac {dx}{dt}}=y+ax^{2}-bx^{3}-z+I,\;\;{\frac {dy}{dt}}=1-bx^{2}-y,\;\;{\frac {dz}{dt}}=r[s(x-x_{R})-z].$ Classifique esse sistema quando a conservação ou não do volume no espaço de fases.
7. Encontre as soluções de equilíbrio para a equação, ${\frac {dx}{dt}}=-(x^{2}-4)$. Mostre que se aplica o teorema da unicidade e aplique-o para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio.
8. Discuta a estabilidade dos pontos fixos do pêndulo.
9. No caso do pêndulo com dissipação, explique o cruzamento de linhas na origem do espaço de fases.
10. Resolva os problemas 4.17,4.18, 4.19, 4.21, 4.25, 4.27 da segunda edição do livro texto da disciplina.
11. Encontre a matriz de Jordan para o sistema:${\frac {dx}{dt}}=x-y,\;\;{\frac {dy}{dt}}=-z,\;\;{\frac {dz}{dt}}=y.\;\;$ Escreva a solução para $x(0)=0;y(0)=1;z(0)=2.$

Lista II

1. Resolva os problemas

4.33 -> 4.37 
(No problema 4.37 corrija $-A{\vec {q}}=-\beta {\vec {p}}+\alpha {\vec {q}}$ para $A{\vec {q}}=-\beta {\vec {p}}+\alpha {\vec {q}}$)
6.1 -> 6.10, 6.12 -> 6.18, 6.20, 6.23, 6.33, 6.36, 6.39, 6.42
7.6, 7.8
8.1, -> 8.6, 8.8, 8.11 -> 8.13, 8.19 -> 8.22, 
10.1 -> 10.3 

do livro texto do curso (II edição).

2. Estude a resolução dos exemplos 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.