Percolação 2D

Simulação de Monte Carlo da Percolação de Sítios em uma Rede Bidimensional

Introdução

O objetivo deste trabalho é estudar, por meio de simulações de Monte Carlo, o problema da percolação de sítios em uma rede quadrada bidimensional. Esse modelo também é conhecido como site percolation e consiste em ocupar aleatoriamente os sítios de uma rede com uma certa probabilidade $p$.

A percolação é um modelo estatístico simples, mas bastante útil para investigar como a conectividade de um sistema desordenado muda quando um parâmetro de controle é variado. Esse tipo de problema aparece em diferentes contextos físicos e aplicados, como o escoamento de fluidos em meios porosos, a condução elétrica em materiais desordenados, a propagação de incêndios, a conectividade em redes e a transmissão de doenças em populações estruturadas.

Em todos esses casos, a pergunta central é parecida: existe ou não um caminho conectado que atravessa o sistema?

Neste trabalho, considera-se uma rede quadrada de tamanho $L\times L$. Cada sítio da rede pode estar ocupado ou vazio. A ocupação de cada sítio ocorre aleatoriamente, com probabilidade $p$. Para cada valor de $p$, várias redes independentes são geradas. Em seguida, verifica-se se existe algum aglomerado de sítios ocupados conectando duas bordas opostas da rede. Quando isso acontece, dizemos que a rede percola.

É importante destacar que o valor crítico da percolação não é universal. Ele depende da dimensão do sistema, do tipo de rede e do tipo de conectividade considerada. Por exemplo, percolação de sítios e percolação de ligações têm limiares críticos diferentes. Para a percolação de sítios em uma rede quadrada bidimensional, considerando apenas vizinhos de cima, baixo, esquerda e direita, o valor crítico esperado no limite de uma rede infinita é aproximadamente

$p_c\approx 0.5927.$

A proposta deste trabalho é reproduzir numericamente esse comportamento, estudar os efeitos de tamanho finito, calcular barras de erro, analisar o tempo de computação, identificar o parâmetro de ordem e apresentar os diferentes regimes do sistema.

Definição do problema

O sistema estudado é uma rede quadrada bidimensional com $L^2$ sítios. Cada sítio pode assumir um de dois estados:

$n_i=\{\begin{array}{ll}1,& \text{sítio ocupado},\\ 0,& \text{sítio vazio}.\end{array}$

A ocupação de cada sítio é determinada pela probabilidade $p$. Para cada posição da rede, sorteia-se um número aleatório $r$, uniformemente distribuído no intervalo $[0,1]$. Se $r<p$, o sítio é ocupado. Caso contrário, o sítio permanece vazio.

Assim, quanto maior o valor de $p$, maior é a fração média de sítios ocupados na rede. Por exemplo, para $p=0.30$, aproximadamente 30% dos sítios estarão ocupados. Para $p=0.80$, aproximadamente 80% dos sítios estarão ocupados.

Dois sítios ocupados são considerados conectados quando são vizinhos diretos. Neste trabalho, utiliza-se a vizinhança de quatro primeiros vizinhos, isto é, cada sítio pode se conectar apenas com os sítios imediatamente acima, abaixo, à esquerda e à direita. As diagonais não são consideradas conexões.

A vizinhança adotada pode ser representada esquematicamente por

$\begin{array}{ccc}& \uparrow & \\ \leftarrow & n_i& \to \\ & \downarrow & \end{array}$

Um aglomerado é definido como um conjunto de sítios ocupados conectados entre si. O sistema é dito percolante quando existe pelo menos um aglomerado que conecta duas bordas opostas da rede. Neste trabalho, considera-se que há percolação quando um aglomerado conecta a borda superior à inferior ou a borda esquerda à direita.

Método de Monte Carlo

O método de Monte Carlo é utilizado porque o sistema é gerado a partir de processos aleatórios. Uma única rede não representa necessariamente o comportamento médio do sistema. Por isso, para cada valor de $p$ e para cada tamanho de rede $L$, são geradas várias realizações independentes.

O procedimento geral da simulação é:

• Escolher o tamanho da rede $L$;
• Escolher a probabilidade de ocupação $p$;
• Gerar uma matriz aleatória $L\times L$;
• Marcar cada sítio como ocupado com probabilidade $p$;
• Identificar os aglomerados de sítios ocupados;
• Verificar se algum aglomerado conecta duas bordas opostas;
• Calcular as grandezas de interesse;
• Repetir o processo muitas vezes para obter médias estatísticas e barras de erro.

Os parâmetros numéricos usados nas simulações foram:

• $L=20,40,80,120$, para estudar efeitos de tamanho finito;
• $p$ variando aproximadamente entre $0.35$ e $0.80$, de modo a incluir o regime não percolante, a região crítica e o regime percolante;
• $100$ realizações independentes para cada par $(L,p)$;
• conectividade de quatro primeiros vizinhos;
• valor de referência $p_c\approx 0.5927$ para comparação com a literatura.

A parte mais importante da simulação não é apenas preencher a rede aleatoriamente, pois isso é computacionalmente simples. O passo mais delicado é identificar corretamente os aglomerados conectados. Para isso, foi utilizado um algoritmo de rotulagem de componentes conectados.

Nesse algoritmo, a rede é percorrida procurando sítios ocupados. Quando um sítio ocupado ainda não rotulado é encontrado, todos os sítios ocupados conectados a ele, direta ou indiretamente, recebem o mesmo rótulo. Assim, cada aglomerado recebe uma identificação própria.

Depois da rotulagem, verifica-se se algum rótulo aparece simultaneamente em bordas opostas da rede. Se o mesmo rótulo aparece na borda superior e na borda inferior, a rede percola verticalmente. Se o mesmo rótulo aparece na borda esquerda e na borda direita, a rede percola horizontalmente. Caso qualquer uma dessas situações ocorra, a realização é classificada como percolante. Esse procedimento permite transformar cada realização aleatória em dados quantitativos, como a probabilidade de percolação, o tamanho do maior aglomerado e o tamanho médio dos aglomerados não percolantes.

Regimes físicos da percolação

O modelo de percolação apresenta dois regimes principais, separados por uma região crítica.

No regime subcrítico, isto é, para $p<p_c$, há poucos sítios ocupados. Os aglomerados formados são pequenos e desconectados. Não existe um caminho contínuo atravessando o sistema.

Na região crítica, isto é, para $p\approx p_c$, os aglomerados tornam-se maiores, mais ramificados e mais irregulares. Pequenas variações em $p$ podem alterar de forma significativa a probabilidade de percolação. Essa região é caracterizada por fortes flutuações e pela formação de aglomerados em muitas escalas de tamanho.

No regime supercrítico, isto é, para $p>p_c$, aparece um aglomerado dominante que atravessa a rede. Nesse caso, há conectividade de longo alcance.

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  Figura 1: Exemplos visuais da percolação de sítios em uma rede quadrada bidimensional. Os sítios vazios aparecem em branco, os sítios ocupados aparecem em cinza e o maior aglomerado aparece destacado em preto. Para valores baixos de p, os aglomerados são pequenos e desconectados. Perto de p_c, aparecem estruturas maiores e ramificadas. Para valores altos de p, surge um aglomerado dominante atravessando o sistema.

A Figura 1 ilustra os três regimes. Para $p=0.40$, a rede está abaixo do limiar crítico e não apresenta conectividade de longo alcance. Para $p\approx 0.5927$, o sistema está próximo da região crítica, onde aparecem aglomerados grandes e irregulares. Para $p=0.75$, há um aglomerado dominante atravessando a rede, caracterizando o regime percolante.

Probabilidade de percolação

A primeira grandeza analisada foi a probabilidade de percolação, indicada por $R_L(p)$. Para um tamanho de rede $L$ e uma probabilidade de ocupação $p$, essa grandeza é definida por

$R_L(p)=\frac{N_{\text{perc}}}{N_{\text{total}}},$

onde $N_{\text{perc}}$ é o número de realizações em que a rede percolou e $N_{\text{total}}$ é o número total de realizações simuladas.

Quando $R_L(p)\approx 0$, quase nenhuma rede percola. Quando $R_L(p)\approx 1$, quase todas as redes percolam. Perto do limiar crítico $p_c$, a probabilidade de percolação cresce rapidamente.

Em uma rede finita, não existe uma transição de fase perfeitamente definida no sentido termodinâmico. O que aparece é uma transição suavizada, pois diferentes realizações aleatórias podem ou não percolar para o mesmo valor de $p$. À medida que $L$ aumenta, essa região de transição fica mais estreita e a curva de $R_L(p)$ torna-se mais inclinada.

No limite de rede infinita, a descrição correta não é que todas as grandezas se tornam descontínuas. O parâmetro de ordem da percolação cresce continuamente acima de $p_c$, enquanto grandezas associadas às flutuações, como o tamanho médio dos aglomerados finitos e o comprimento de correlação, divergem no ponto crítico. Portanto, a simulação em redes finitas permite observar uma versão arredondada dessa transição crítica.

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  Figura 2: Probabilidade de percolação R_L(p) em função da probabilidade de ocupação p para diferentes tamanhos de rede. A linha vertical tracejada indica o valor crítico esperado p_c aproximadamente igual a 0.5927.

A Figura 2 mostra a probabilidade de percolação para diferentes tamanhos de rede. Para valores pequenos de $p$, a probabilidade de percolação é próxima de zero. Para valores grandes de $p$, a probabilidade se aproxima de um. A transição ocorre próxima de $p\approx 0.5927$, em concordância com o valor esperado para a rede quadrada bidimensional.

O comportamento das redes pequenas e grandes é diferente. Para $L=20$, a transição é mais larga e começa a crescer em valores menores de $p$, pois as flutuações são mais relevantes em sistemas pequenos. Para $L=80$ e $L=120$, a curva fica mais concentrada em torno de $p_c$, indicando que sistemas maiores se aproximam melhor do limite termodinâmico.

Essa análise é importante porque mostra que o valor crítico não deve ser estimado a partir de uma única rede pequena. É necessário comparar diferentes tamanhos de sistema para separar o comportamento físico da transição dos efeitos causados pelo tamanho finito da rede.

Barras de erro

Como o método de Monte Carlo é estatístico, é necessário estimar as incertezas associadas às grandezas medidas.

No caso da probabilidade de percolação, cada realização pode ser vista como um evento binário: a rede percola ou não percola. Dessa forma, a incerteza estatística pode ser estimada por uma expressão binomial:

${\sigma }_R=\sqrt{\frac{R_L(p)[1-R_L(p)]}{N_{\text{total}}}}.$

Essa expressão mostra que a incerteza diminui quando o número de realizações independentes aumenta. Ela também mostra que a barra de erro tende a ser pequena quando $R_L(p)$ está perto de 0 ou de 1, e maior quando $R_L(p)$ está próximo de 0.5. Por isso, as barras de erro são especialmente relevantes na região crítica.

Para outras grandezas, como o tamanho médio do maior aglomerado e a suscetibilidade geométrica, as barras de erro foram calculadas usando o erro padrão da média:

${\sigma }_{\overline{x}}=\frac{{\sigma }_x}{\sqrt{N_{\text{total}}}},$

onde ${\sigma }_x$ é o desvio padrão das medidas individuais e $N_{\text{total}}$ é o número de realizações independentes.

As barras de erro ajudam a avaliar se diferenças observadas entre curvas são estatisticamente relevantes ou se podem ser explicadas por flutuações aleatórias das amostras. Isso é particularmente importante perto de $p_c$, onde as flutuações entre realizações independentes são maiores.

Parâmetro de ordem

O parâmetro de ordem escolhido para caracterizar a transição foi a fração da rede pertencente ao maior aglomerado. Essa grandeza é definida como

$S_{\max }=\frac{N_{\max }}{L^2},$

onde $N_{\max }$ é o número de sítios ocupados no maior aglomerado da rede.

Esse parâmetro mede a presença de conectividade macroscópica. Abaixo do limiar crítico, o maior aglomerado ocupa apenas uma pequena fração da rede. Acima do limiar crítico, surge um aglomerado dominante, e $S_{\max }$ cresce de forma significativa.

A probabilidade de percolação $R_L(p)$ e o parâmetro de ordem $S_{\max }$ estão relacionados, mas não medem exatamente a mesma coisa. A grandeza $R_L(p)$ indica a fração de realizações em que existe um aglomerado que atravessa a rede. Já $S_{\max }$ mede o tamanho relativo do maior aglomerado em cada realização. Assim, $R_L(p)$ informa se existe conectividade de borda a borda, enquanto $S_{\max }$ informa quanta massa da rede pertence ao maior aglomerado.

Em uma rede infinita, o parâmetro de ordem usual da percolação é a fração de sítios pertencentes ao aglomerado infinito. Como a simulação é feita em redes finitas, $S_{\max }$ funciona como uma aproximação numérica desse parâmetro.

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  Figura 3: Parâmetro de ordem S_max em função da probabilidade de ocupação p. O crescimento de S_max indica o surgimento de um aglomerado dominante no regime percolante.

A Figura 3 apresenta o comportamento de $S_{\max }$ em função de $p$. Para valores baixos de $p$, o maior aglomerado representa uma fração pequena da rede. Conforme $p$ aumenta e se aproxima de $p_c$, ocorre um crescimento acentuado. Para valores acima de $p_c$, o maior aglomerado passa a ocupar uma parte significativa do sistema.

Esse resultado complementa a análise da Figura 2. Enquanto a probabilidade de percolação mostra a chance de existir um caminho atravessando a rede, o parâmetro de ordem mostra o crescimento estrutural do aglomerado dominante.

Suscetibilidade geométrica

Além do parâmetro de ordem, também foi calculada uma grandeza análoga à suscetibilidade, associada ao tamanho médio dos aglomerados não dominantes. Essa grandeza é útil porque indica o aumento das flutuações perto da região crítica.

A suscetibilidade geométrica pode ser escrita como

$\chi =\frac{{\sum _s}^{\prime }{s}^2{n}_s}{{\sum _s}^{\prime }s{n}_s},$

onde $s$ é o tamanho de um aglomerado, $n_s$ é o número de aglomerados de tamanho $s$ e o símbolo de linha na soma indica que o maior aglomerado é excluído do cálculo.

Essa exclusão é importante. Em uma simulação finita, todos os aglomerados têm tamanho finito no sentido matemático, pois a rede possui tamanho limitado. Porém, acima de $p_c$, o maior aglomerado representa o análogo finito do aglomerado infinito do sistema termodinâmico. Por isso, ele é removido do cálculo de $\chi$, para que a grandeza represente o tamanho típico dos aglomerados restantes.

No limite de rede infinita, espera-se que essa grandeza apresente uma divergência no ponto crítico, seguindo uma lei de potência associada ao expoente crítico $\gamma$. Em duas dimensões, o valor exato conhecido é $\gamma =43/18$. Em redes finitas, essa divergência é substituída por um pico de altura finita, que cresce conforme $L$ aumenta.

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  Figura 4: Suscetibilidade geométrica em função da probabilidade de ocupação p. O pico próximo à região crítica indica o aumento do tamanho médio dos aglomerados não dominantes.

A Figura 4 mostra a suscetibilidade geométrica em função de $p$. O pico próximo de $p_c$ indica que, nessa região, os aglomerados não dominantes atingem seus maiores tamanhos médios. Esse comportamento é esperado para um fenômeno crítico, pois próximo do limiar de percolação o sistema apresenta estruturas conectadas em muitas escalas.

Além disso, observa-se que o pico cresce para redes maiores. Esse comportamento é consistente com a ideia de que, no limite de uma rede infinita, a suscetibilidade se torna divergente no ponto crítico.

Análise de tamanho finito

A análise de tamanho finito é uma parte essencial deste trabalho. Como as simulações são feitas em redes com tamanho limitado, a transição não aparece da mesma forma que no limite termodinâmico. Cada tamanho $L$ apresenta uma curva suavizada e um limiar crítico efetivo.

Foram simuladas redes de diferentes tamanhos:

$L=20,40,80,120.$

Para cada tamanho, foi estimado um limiar efetivo $p_c(L)$. Uma forma simples de estimar esse valor é encontrar o ponto em que a probabilidade de percolação é igual a 0.5:

$R_L[p_c(L)]=0.5.$

Na prática, os valores de $p$ são simulados em uma malha discreta. Portanto, $p_c(L)$ foi obtido por interpolação linear entre os dois pontos mais próximos de $R_L(p)=0.5$. Esse valor representa a probabilidade de ocupação na qual metade das redes simuladas percola.

Em sistemas finitos, $p_c(L)$ pode se desviar do valor crítico do sistema infinito. Além disso, a região de transição possui largura finita. Conforme $L$ aumenta, espera-se que essa largura diminua e que $p_c(L)$ se aproxime de $p_c$.

Para a percolação bidimensional, esse deslocamento pode ser analisado aproximadamente pela relação de escala

$p_c(L)-p_c(\mathrm{\infty })\propto L^{-1/\nu },$

com

$\nu =\frac{4}{3}.$

O expoente $\nu$ é o expoente crítico associado ao comprimento de correlação da percolação em duas dimensões. Ele descreve como o comprimento de correlação diverge próximo ao ponto crítico:

$\xi \propto |p-p_c{|}^{-\nu }.$

Assim, usar $L^{-1/\nu }$ na análise de tamanho finito permite relacionar o tamanho da rede com a escala de correlação esperada perto de $p_c$. O valor $\nu =4/3$ é conhecido exatamente para percolação bidimensional.

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  Figura 5: Estimativa do limiar crítico efetivo p_c(L) em função de L^{-1/nu}, com nu = 4/3. A extrapolação para L^{-1/nu} tendendo a zero corresponde ao limite de tamanho infinito.

A Figura 5 mostra a estimativa de $p_c(L)$ em função de $L^{-1/\nu }$. A extrapolação para $L^{-1/\nu }\to 0$ corresponde ao limite de tamanho infinito.

No resultado obtido, a extrapolação fornece um valor próximo de $p_c(\mathrm{\infty })\approx 0.596$, enquanto o valor de referência é $p_c\approx 0.5927$. A diferença é pequena e pode ser atribuída ao número limitado de tamanhos simulados, ao número finito de amostras e à resolução discreta usada nos valores de $p$.

Com mais tamanhos de rede e mais realizações independentes, seria possível melhorar essa estimativa. Também seria possível ajustar simultaneamente $p_c$ e $\nu$. Neste trabalho, entretanto, adotou-se $\nu =4/3$ como valor teórico conhecido, pois o número de tamanhos simulados é limitado.

As incertezas associadas aos pontos $p_c(L)$ podem ser estimadas por reamostragem estatística, como o método bootstrap. Nesse procedimento, as realizações independentes são reamostradas várias vezes, gerando diferentes curvas $R_L(p)$ e, consequentemente, diferentes estimativas de $p_c(L)$. A dispersão dessas estimativas fornece a barra de erro de cada ponto.

Colapso de escala

Uma forma adicional de verificar a consistência da análise de tamanho finito é usar uma variável de escala. Perto do ponto crítico, a probabilidade de percolação pode ser escrita aproximadamente como uma função da combinação

$(p-p_c)L^{1/\nu }.$

Assim, ao representar $R_L(p)$ em função de $(p-p_c)L^{1/\nu }$, curvas de diferentes tamanhos $L$ tendem a se aproximar de uma curva universal. Essa é uma consequência da teoria de escala para fenômenos críticos.

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  Figura 6: Colapso de escala aproximado para a probabilidade de percolação. As curvas para diferentes tamanhos de rede são representadas em função da variável de escala (p-p_c)L^{1/nu}.

A Figura 6 mostra o colapso de escala aproximado. As curvas não coincidem perfeitamente, pois as simulações foram feitas com tamanhos finitos, número finito de amostras e resolução limitada em $p$. Mesmo assim, a aproximação entre elas indica que o comportamento observado é compatível com a teoria de escala para percolação.

O colapso de escala ajuda a verificar se o valor crítico e o expoente usados são consistentes. Se $p_c$ ou $\nu$ fossem muito inadequados, as curvas para diferentes tamanhos permaneceriam separadas mesmo após a reescala.

Tempo de computação

O tempo de computação também foi analisado. Para cada realização, é necessário gerar uma rede aleatória e identificar seus aglomerados. A geração da matriz aleatória é relativamente rápida. A parte mais custosa é a identificação dos clusters, pois o algoritmo precisa percorrer a rede e determinar quais sítios ocupados pertencem ao mesmo aglomerado.

Como a rede possui $L^2$ sítios, o custo computacional esperado para uma realização cresce, em primeira aproximação, com a área da rede:

$t\propto L^2.$

O tempo total da simulação depende também do número de valores de $p$ e do número de realizações independentes. De forma aproximada,

$t_{\text{total}}\propto N_p\times N_{\text{amostras}}\times L^2,$

onde $N_p$ é o número de valores de $p$ simulados e $N_{\text{amostras}}$ é o número de realizações independentes para cada valor de $p$.

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  Figura 7: Tempo médio de computação por realização em função do tamanho linear da rede L. A curva de referência proporcional a L² indica o comportamento esperado para um algoritmo que percorre todos os sítios da rede.

A Figura 7 mostra o tempo médio de computação por realização em função de $L$. A tendência geral é de aumento do tempo com o tamanho da rede, como esperado. No entanto, a curva medida não precisa seguir exatamente a referência $L^2$, pois o tempo real também depende da implementação, de otimizações internas das bibliotecas usadas, de efeitos de memória e do custo fixo associado a cada chamada de função.

Portanto, a análise do tempo de computação deve ser interpretada principalmente como uma verificação qualitativa da tendência de crescimento do custo computacional. Para obter uma lei de escala mais precisa, seria necessário usar tamanhos maiores, repetir as medidas de tempo várias vezes e separar o tempo gasto na geração da rede do tempo gasto na identificação dos aglomerados.

Discussão dos resultados

Os resultados obtidos reproduzem de forma quantitativa e qualitativa o comportamento esperado para a percolação de sítios em uma rede quadrada bidimensional.

A Figura 2 mostra que a probabilidade de percolação passa de valores próximos de zero para valores próximos de um na vizinhança de $p_c\approx 0.5927$. Para redes pequenas, como $L=20$, essa transição é mais larga, pois as flutuações de tamanho finito são mais fortes. Para redes maiores, como $L=80$ e $L=120$, a transição se concentra em uma faixa menor de $p$, mostrando aproximação ao limite termodinâmico.

A Figura 3 mostra o crescimento do parâmetro de ordem $S_{\max }$. Abaixo de $p_c$, o maior aglomerado ocupa apenas uma pequena fração da rede. Acima de $p_c$, ele passa a representar uma fração significativa do sistema. Esse comportamento mostra a formação progressiva de conectividade macroscópica.

A Figura 4 mostra que a suscetibilidade geométrica apresenta um pico próximo da região crítica. Esse resultado é esperado porque, perto de $p_c$, os aglomerados não dominantes atingem tamanhos maiores e as flutuações tornam-se mais intensas. Além disso, o aumento da altura do pico com $L$ é compatível com o comportamento crítico esperado para percolação.

A Figura 5 mostra a extrapolação de tamanho finito. O valor estimado para $p_c(\mathrm{\infty })$ ficou próximo do valor de referência da literatura. As diferenças restantes são compatíveis com as limitações numéricas da simulação, especialmente o número limitado de tamanhos de rede, o número finito de realizações e a discretização dos valores de $p$.

A Figura 6 mostra que as curvas de probabilidade de percolação ficam mais próximas quando representadas em função da variável de escala $(p-p_c)L^{1/\nu }$. Esse resultado reforça que os dados são compatíveis com a teoria de escala para percolação bidimensional.

Por fim, a Figura 7 mostra que o tempo de computação aumenta com o tamanho da rede. Esse aumento está associado principalmente à identificação dos aglomerados, que exige percorrer os sítios da rede e determinar suas conexões.

Conclusão

Neste trabalho, foi estudado o problema da percolação de sítios em uma rede quadrada bidimensional usando simulações de Monte Carlo. O modelo consiste em ocupar aleatoriamente os sítios de uma rede com probabilidade $p$ e verificar se existe um aglomerado conectado atravessando o sistema.

A simulação mostrou a transição entre um regime não percolante, sem conectividade de longo alcance, e um regime percolante, no qual surge um aglomerado dominante atravessando a rede. A transição ocorreu próxima ao valor crítico conhecido para percolação de sítios em rede quadrada bidimensional,

$p_c\approx 0.5927.$

Foram calculadas a probabilidade de percolação $R_L(p)$, o parâmetro de ordem $S_{\max }$, a suscetibilidade geométrica $\chi$, as barras de erro e o tempo de computação. Também foi realizada uma análise de tamanho finito, mostrando que redes maiores apresentam uma transição mais estreita e se aproximam melhor do comportamento esperado para o sistema infinito.

A comparação com a teoria mostra que a percolação 2D é um problema adequado para estudar Monte Carlo, conectividade, transições críticas, efeitos de tamanho finito, barras de erro e parâmetros de ordem de maneira visual e computacionalmente acessível.

Código

O Código utilizado no trabalho se encontra no link: https://drive.google.com/file/d/1IyxCDT1G_RhvGsvoximwH3qUrJF8qvIr/view?usp=sharing

Referências

• Wolfram MathWorld. Site Percolation. Disponível em: https://mathworld.wolfram.com/SitePercolation.html
• Sykes, M. F.; Essam, J. W. Exact critical percolation probabilities for site and bond problems in two dimensions. Journal of Mathematical Physics, 5, 1117, 1964.