Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

Introdução

texto de[3]: O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

$\{\begin{array}{l}\dot{x}=x(a-by)\\ \dot{y}=y(-c+fx)\end{array}$

onde $x$ e $y$ denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e $a$, $b$, $c$ e $f$ são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:

• $a$: taxa de crescimento livre da presa;
• $b$: taxa de predação;
• $c$: taxa de mortalidade livre do predador;
• $f$: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores. Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

Método de Monte Carlo

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores. Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

caso 1

a = b = 0.45 c = 0.1 f = 0.3 e uma caixa de tamanho L=50

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  Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória

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  Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados

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  Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.

alem disto foi simulado o caso com os parâmetros

caso 2

a = 0.45

b = 0.3

c = 0.4

f = 0.2

e uma caixa de tamanho L=50

que representa o caso onde os predadores não possuem tanto apetite pelas presas, ou as presas se especializaram em fugir dos predadores

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Onde aqui, em apenas 150 mcs a grupo de predadores foi extinto, levando a uma super população de presas

Evolução temporal das Densidades

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:

Para a simulação do caso 1:

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

Mas para a simulação do caso 2:

Onde se vê claramente a densidade de presas saturadas em todo o tempo.

Correlação de densidades

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo ${\rho }_x(t)$ a densidade global de presas e ${\rho }_y(t)$ a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é $\delta {\rho }_{\alpha }(t)={\rho }_{\alpha }(t)-⟨{\rho }_{\alpha }⟩$.

A correlação temporal estatística $C_{\alpha \beta }(\tau )$ entre as espécies $\alpha$ e $\beta$ onde $\alpha ,\beta \in \{x,y\}$ em um tempo $\tau$ então será:

$C_{\alpha \beta }(\tau )=L^2[\frac{1}{T-\tau }\sum _{t=1}^{T-\tau }\delta {\rho }_{\alpha }(t)\delta {\rho }_{\beta }(t+\tau )]$

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação de 2500 passos. Onde os parâmetros usados foram os mesmos do caso 1:

a = b = 0.45

c = 0.1

f = 0.3

e uma caixa de tamanho L=50

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

Histograma de sobrevivência

Além disto, para o 'caso 2' foram modificados o parâmetros 'a' e o parâmetro 'b', ficando com os seguintes parâqmetros:

a = 0.1

b = 0.5

c = 0.2

f = 0.2

Onde agora, o sitema tende à extinção. foram realizadas 2000 simulações, e plotamos o tempo em que cada simulação tendeu a extinção.

Para acelerar o tempo de execução e aumentar a frequência de interação das espécies, foi utilizada uma grade de lado L=15

Aqui pode se observar que em algum momento do tempo, todos os ecossistemas foram levados à extinção e a maioria deles foi extinta logo na primeira dezena de passos

Código

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

https://colab.research.google.com/drive/1rbqqgJCIgYKkt9WxhnDBJruGcXHlXiTZ?usp=sharing

Referencias

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas