Equação de Klein-Gordon

INTRODUÇÃO

A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os bósons de Higgs) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein $E=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

$\left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi (x,t)=0$

onde $\left(\Box ={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)$ é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi -{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$ (em uma dimensão)

Inicialmente, a equação pode ser interpretada como uma equação de um campo escalar que pode ser quantizado, onde é introduzido um campo quantico que é descrito por partículas sem spin. No reino da física de partículas, as interações eletromagnéticas podem ser incorporadas formando o tópico da eletrodinâmica escalar, por exemplo. Entretando, a solução da equação não pode ser interpretada diretamente como a densidade de probabilidade vista na equação de Schrodinger, em vez disso, a densidade de probabilidade relativística é definida usando uma corrente de probabilidade associada. Na mecânica quântica relativística, a função de onda $\psi (x,t)$ é usada para descrever o estado de uma partícula no espaço-tempo.

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos $\Delta t$ criando uma sequência de pontos $t_{n}=n\Delta t$. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos $\Delta x$ criando uma sequência de pontos $x_{i}=i\Delta x$. Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

${\frac {\partial u}{\partial t}}\approx {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}$ e ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}\approx {\frac {u_{i}^{n+1}-2u_{i}^{n}+u_{i}^{n-1}}{(\Delta t)^{2}}}$ para o tempo.

${\frac {\partial u}{\partial x}}\approx {\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}e{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}$ para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

${\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial t^{2}}}\approx {\frac {\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x-\Delta x,t)}{(\Delta x)^{2}}}$

ou seja:

${\frac {\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^{2}}}=c^{2}{\frac {\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^{2}}}-{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$

isso nos leva a equação final:

$\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)={\frac {c^{2}\Delta t^{2}}{\Delta x^{2}}}\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta ,t)-{\frac {m^{2}c^{4}\Delta t^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi$

chamarei $\alpha ={\frac {c\Delta t}{\Delta x}}$ e $\beta ={\frac {mc^{2}\Delta t}{\hbar }}$

portanto, $\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)=\alpha ^{2}\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)-\beta ^{2}\psi$

ou, mais usualmente: $\psi _{i}^{n+1}=2\psi _{i}^{n}-\psi _{i}^{n-1}+\alpha ^{2}(\psi _{i+1}^{n}-2\psi _{i}^{n}+\psi _{i-1}^{n})-\beta ^{2}\psi$

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: ${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi .$

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: $\psi _{i}^{n+1}=2\psi _{i}^{n}-\psi _{i}^{n-1}+{\frac {c^{2}\Delta t^{2}}{\Delta x^{2}}}(\psi _{i+1}^{n}-2\psi _{i}^{n}+\psi _{i-1}^{n})-{\frac {m^{2}c^{4}\Delta t^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi _{i}^{n}.$ Aqui, definimos os coeficientes: $\alpha ={\frac {c\Delta t}{\Delta x}},\quad \beta ={\frac {mc^{2}\Delta t}{\hbar }}.$

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: $\psi _{i}^{n}=G^{n}e^{ikx_{i}},$ onde:

na equação: $G^{n+1}e^{ikx_{i}}=2G^{n}e^{ikx_{i}}-G^{n-1}e^{ikx_{i}}+\alpha ^{2}G^{n}\left(e^{ikx_{i+1}}-2e^{ikx_{i}}+e^{ikx_{i-1}}\right)-\beta ^{2}G^{n}e^{ikx_{i}}.$

Simplificação:

Como $e^{ikx_{i+1}}=e^{ikx_{i}}e^{ik\Delta x}$ e $e^{ikx_{i-1}}=e^{ikx_{i}}e^{-ik\Delta x}$, o termo centralizado se torna: $e^{ikx_{i+1}}-2e^{ikx_{i}}+e^{ikx_{i-1}}=e^{ikx_{i}}\left(e^{ik\Delta x}-2+e^{-ik\Delta x}\right).$ Usando $e^{ik\Delta x}+e^{-ik\Delta x}=2\cos(k\Delta x)$, temos: $e^{ikx_{i+1}}-2e^{ikx_{i}}+e^{ikx_{i-1}}=e^{ikx_{i}}\left(-2+2\cos(k\Delta x)\right).$ Substituímos isso na equação e cancelamos o fator $e^{ikx_{i}}$, que nunca é zero: $G^{n+1}=2G^{n}-G^{n-1}-\alpha ^{2}(2-2\cos(k\Delta x))G^{n}-\beta ^{2}G^{n}.$

Simplificando mais, obtemos: $G^{n+1}=(2-\alpha ^{2}(2-2\cos(k\Delta x))-\beta ^{2})G^{n}-G^{n-1}.$

Equação Característica: Assumimos uma solução na forma de uma equação quadrática $G$: $G^{2}-G\left(2-\alpha ^{2}(2-2\cos(k\Delta x))-\beta ^{2}\right)+1=0.$

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de $G$ devem satisfazer $|G|\leq 1$. Isso leva ao critério: $\alpha \leq 1,\quad {\text{ou seja,}}\quad {\frac {c\Delta t}{\Delta x}}\leq 1.$

Conclusão Matemática: A condição $\alpha \leq 1$ garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo $\Delta t$, mais precisa e estável é a solução. A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito $\Delta t$ sem ajustar $\Delta x$ pode levar à instabilidade.

C.C e C.I

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

$\psi (x,0)=Ae^{-{\frac {x-x_{0}}{2\sigma ^{2}}}}$ que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e ${\frac {\partial \psi (x,0)}{\partial t}}=0$ que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, $x_{0}$ é a posição central do pulso e $\sigma$ é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que $\psi (0,t)=0$ e $\psi (L,t)=0$ o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

Localização Inicial: No gráfico mostrado, $\psi (x,t)$ tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas. No gráfico mostrado acima, $\psi (x,t)$ tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas.

Código utilizado

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from matplotlib.animation import FuncAnimation

L = 10.0 # Comprimento da simulação

Nx = 100 # Número de pontos espaciais

dx = L / Nx # Passo espacial

T_max = 30 # Tempo máximo de simulação

m = 1.0 # Massa da partícula

c = 1.0 # Velocidade da luz

hbar = 1.0 # Constante de Planck reduzida

A = 1.0 # Amplitude do pulso

x0 = L / 2 # Posição central do pulso

sigma = 0.5 # Largura do pulso

x = np.linspace(0, L, Nx)

phi_0 = A * np.exp(-((x - x0)**2) / (2 * sigma**2))

dphi_0 = np.zeros(Nx) # Derivada inicial nula

1. estabilidade

alpha_stable = 0.5 # Valor estável para alpha (c * dt / dx)

dt_stable = alpha_stable * dx / c

alpha_unstable = 1.5 # Valor instável para alpha (c * dt / dx)

dt_unstable = alpha_unstable * dx / c

Nt_stable = int(T_max / dt_stable)

Nt_unstable = int(T_max / dt_unstable)

def evolve_wave(dt, Nt):

   phi = np.zeros((Nt, Nx))

   phi[0, :] = phi_0

   phi[1, :] = phi_0 + dt * dphi_0

   for n in range(1, Nt-1):

       for i in range(1, Nx-1):

           phi[n+1, i] = 2 * phi[n, i] - phi[n-1, i] + (dt**2) * (

               (phi[n, i+1] - 2 * phi[n, i] + phi[n, i-1]) / dx**2 

               - (m**2 * c**2 / hbar**2) * phi[n, i]
           )

   return phi

phi_stable = evolve_wave(dt_stable, Nt_stable)

phi_unstable = evolve_wave(dt_unstable, Nt_unstable)

fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 8))

def update_stable(frame):

   ax[0].cla()

   ax[0].plot(x, phi_stable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_stable:.2f}s')

   ax[0].set_title("Evolução Estável")

   ax[0].set_xlim(0, L)

   ax[0].set_ylim(-1.5, 1.5)

   ax[0].legend()

def update_unstable(frame):

   ax[1].cla()

   ax[1].plot(x, phi_unstable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_unstable:.2f}s')

   ax[1].set_title("Evolução Instável")

   ax[1].set_xlim(0, L)

   ax[1].set_ylim(-1.5, 1.5)

   ax[1].legend()

def init():

   for a in ax:

       a.clear()

   return ax

1. Atualização combinada para animação

def update(frame):

   update_stable(frame)

   update_unstable(frame)

   return ax

1. Criando a animação

frames_stable = range(0, Nt_stable, max(1, Nt_stable // 150))

frames_unstable = range(0, Nt_unstable, max(1, Nt_unstable // 150))

ani = FuncAnimation(fig, update, frames=min(len(frames_stable), len(frames_unstable)),

init_func=init, blit=False)

1. Salvando as animações

fig.tight_layout()

ani.save('klein_gordon_stable_vs_unstable.gif', writer='pillow', fps=30)

plt.show()