Equação de Kuramoto–Sivashinsky

Nesta página apresentamos uma simulação de Dinâmica Molecular utilizando o potencial de Lennard-Jones como potencial de interação entre as partículas.

Equação

A equação de Kuramoto-Sivashinsky (KS) foi inicialmente proposta por Yoshiki Kuramoto e Gregory Sivashinsky para a modelagem das instabilidades da frente de uma chama laminar.

$u_{t}+u_{xx}+u_{xxxx}+{\frac {1}{2}}u_{x}^{2}=0$

No entanto, a forma diferencial $v=u_{x}$ da equação foi descoberta independentemente na área de dinâmica de fluidos, onde ficou mais conhecida para a modelagem de filmes finos.

$v_{t}+v_{xx}+v_{xxxx}+vv_{x}=0$

A equação apresenta comportamentos caóticos ao ser estudada em geometrias anelares, ou seja, condições de contorno periódicas; por isso esse será o caso estudado aqui.

Métodos de Solução

Diferenças Finitas (FTCS)

O método mais simples foi aplicado a fim de entender o comportamento da equação. Tentativas de linearização resultaram em uma equação de comportamento muito distinto do descrito na literatura; e portanto, não é de nosso interesse estudá-la. É importante relembrar que a aplicação do método FTCS não é recomendado no caso de não linearidades pois o método tem baixa precisão e pode acumular erros.

Como esperado, a solução numérica teve sua estabilidade atrelada à suas condições iniciais; ou seja, a solução é instável (exceto em casos bem específicos, onde ela se comporta de forma análoga à equação da difusão).

Solução FTCS de condição inicial $\sin {\frac {\pi x}{20}}$

Comportamento do potencial de Lennard-Jones para diferentes valores de $\epsilon$ e $\sigma$.