Modelo de Blume-Capel bidimensional

Modelo de Ising

No contexto de transições de fase ferromagnéticas, um modelo muito simples, mas não trivial, que incorpora interações de curto alcance (vizinhos próximos) é o Modelo de Ising. Proposto em 1925 pelo físico alemão alemão Ernst Ising (1900-1998), possui o seguinte formato:

${\mathcal {H}}=-J\sum _{<i,j>}\sigma _{i}\sigma _{j}-H\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i},$

onde $\sigma _{i}$ é uma variável aleatória que pode assumir os valores $\pm 1$ nos sítios $i=1,2,...,N$ de uma rede cristalina. O primeiro termo da soma, referente aos vizinhos próximos <i,j>, representa as energias de interação que devem dar origem a um estado ferromagnético (se J>0). Já o segundo termo, que representa a interação do sistema com um campo magnético externo H, é de caráter puramente paramagnético.

Pode-se interpretar as variáveis de spin de diferentes maneiras:

1.Componentes do spin dos átomos, na direção do campo externo, que podem "apontar para cima ou para baixo";

2.Como uma indicação de que o sítio i pode estar ocupado por um átomo de tipo A ou B;

3.Como um número de ocupação, que assinala a presença ou a ausência de uma molécula numa determinada célula de um "gás de rede".

A multiplicidade de interpretações permite inferir o caráter universal do modelo. Trata-se de um excelente ponto de partida para o estudo de modelos mais sofisticados.

A solução analítica, conforme demonstrado por Ising em 1925 para o caso unidimensional, passa inevitavelmente pelo cálculo da função de partição canônica,

$Z_{N}=\sum _{\sigma _{i}}exp(-\beta {\mathcal {H}}),$

cuja soma abrange todas as $2^{N}$ configurações. Na equação acima, $\beta ={\frac {1}{k_{b}T}}$. Para fins de simplificação, foi feita a suposição de que $k_{b}=1$.

No equilíbrio termodinâmico, a uma temperatura T, a probabilidade $P(\sigma )$ de encontrar o sistema na configuração $\sigma$ é

$P(\sigma )={\frac {1}{Z}}e^{-\beta E(\sigma )}.$

Outra função de estado particularmente relevante é a magnetização total, dada pela relação

${\mathcal {M}}=\sum _{i}\sigma _{i}.$

Já a energia do sistema, bem como as variações desta, é calculada, naturalmente, através do hamiltoniano que descreve o modelo de Ising.

Modelo de Blume-Capel

O modelo de Blume-Capel, batizado em honra aos proponentes Martin Blume (1932-2021) e Hans Willelm Capel (1936-), é uma generalização do modelo de Ising na medida em que agora os spins podem se alinhar paralelamente, antiparalelamente e ortogonalmente. Em outras palavras, o modelo de Blume-Capel trata do caso de um sistema de partículas com spin s=1, com as três configurações possíveis (-1, 0, +1), ao passo que o modelo de Ising tratava do caso em que $s={\frac {1}{2}}$, com somente duas configurações possíveis (-1,+1). Matematicamente:

${\mathcal {H}}=-J\sum _{<i,j>}\sigma _{i}\sigma _{j}+D\sum _{i}\sigma _{i}^{2},$

onde D representa a anisotropia do sistema. No caso limite em que D=0, recupera-se os resultados do modelo de Ising.