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| === [[ Equações de Laplace e Poisson - Eletrostática ]] === | | === [[ Equações de Laplace e Poisson - Eletrostática ]] === |
| === [[Shooting method e Método de Crank-Nicolson aplicados à Equação de Schrödinger]] === | | === [[Shooting method e Método de Crank-Nicolson]] === |
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| | === [[ Lennard-Jones e propriedades termodinâmicas ]] === |
| O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.
| | === [[ Modelo de Blume-Capel bidimensional ]] === |
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| ==Método de Crank-Nicolson==
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| Seja a equação diferencial
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| <center><math>\frac{\partial f}{\partial t}=L_1{\textbf{r}}f(\textbf{r},t)</math></center>,
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| onde <math>L_{\textbf{r}}</math> é um operador diferencial linear em '''r'''.
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| Em forma discretizada no tempo, pode-se escrever
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| <center><math>
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| f^{n+1}(\textbf{r})-f^{n}(\textbf{r})= L_{\textbf{r}}f^{n}(\textbf{r})dt
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| </math></center>.
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| Por simetria, pode-se escrever a equação acima utilizando um f à direita:
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| <center><math>
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| f^{n+1}(\textbf{r})-f^{n}(\textbf{r})= L_{\textbf{r}}f^{n+1}(\textbf{r})dt .
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| </math></center>
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| A equação acima é dita "explícita" pois, para o cálculo de <math>f^{n+1}</math>, só é utilizado o valor já explicitamente calculado <math>f^{n}</math>. Já a equação anterior é chamada implícita pois <math>f^{n+1}</math> está presente explicitamente. Em termos numéricos, um método peca pelo excesso enquanto o outro o faz pela falta, de modo que um resultado mais satisfatório pode ser obtido ao tomar-se a média dos dois:
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| <center><math>
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| f^{n+1}(\textbf{r})-f^{n}(\textbf{r})=\frac{dt}{2}(L_{\textbf{r}}f^{n+1}(\textbf{r})+L_{\textbf{r}}f^n(\textbf{r})).
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| </math></center>
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| Após alguma álgebra:
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| <center><math> f^{n+1}(\textbf{r})=\left(1-\frac{dt}{2}L_{\textbf{r}}\right)^{-1}\left(1+\frac{dt}{2}L_{\textbf{r}}\right)f^{n}(\textbf{r}) </math></center>.
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| Chamando <math> M=I+\frac{dt}{2}L_{\textbf{r}} </math> e <math> E=I-\frac{dt}{2}L_{\textbf{r}} </math>, onde ''I'' indica a matriz identidade, pode-se reescrever a equação acima na seguinte maneira:
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| <center><math> f^{n+1}=E^{-1}Mf^{n} </math></center>.
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| Trata-se do método de Crank-Nicolson, mais estável e preciso do que os métodos implícito e explícito. Caso o problema apresentar condições de contorno, estas serão devidamente implementadas nos elementos das matrizes ''M'' e ''E''.
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| ===Equação de Schrödinger===
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| Seja a equação de Schrödinger unidimensional
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| <center><math> i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+V\Psi </math></center>.
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| Efetuando a discretização das variáveis através do Método de Crank-Nicolson, obtém-se:
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| <center><math>\frac{\partial \Psi}{\partial t}= \frac{\Psi_{j}^{n+1}-\Psi_{j}^{n}}{\Delta t} ;</math></center>
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| <center><math>\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = \frac{\hbar^2}{2m}\left[\frac{(\Psi_{j+1}^{n+1}-2\Psi_{j}^{n+1}+\Psi_{j-1}^{n+1})+ (\Psi_{j+1}^{n}-2\Psi_{j}^{n}+\Psi_{j-1}^{n})}{2\Delta x^2}\right] ;</math></center>
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| <center><math>V\Psi = \frac{1}{2}[V_{j}^{n+1}\Psi_{j}^{n+1}+V_{j}^{n}\Psi_{j}^{n}] .</math></center>
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| Substituindo as discretizações na eq. de Schrödinger:
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| <center><math>i\left(\frac{\Psi_{j}^{n+1}-\Psi_{j}^{n}}{\Delta t}\right)=-\frac{\hbar^2}{4m(\Delta x)^2} \left[(\Psi_{j+1}^{n+1}-2\Psi_{j}^{n+1}+\Psi_{j-1}^{n+1})+ (\Psi_{j+1}^{n}-2\Psi_{j}^{n}+\Psi_{j-1}^{n})\right]+\frac{1}{2}[V_{j}^{n+1}\Psi_{j}^{n+1}+V_{j}^{n}\Psi_{j}^{n}].</math></center>
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| Supondo <math>\hbar=m=1</math> e separando as partes explícita e implícita, obtém-se, após alguma álgebra:
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| <center><math>\Psi_{j}^{n+1}\left[1+\frac{i\Delta t}{2}\left(\frac{1}{\Delta x^2}+V_{j}^{n+1}\right)\right]+\Psi_{j-1}^{n+1}\left[-\frac{i\Delta t}{4\Delta x^2}\right]+\Psi_{j+1}^{n+1}\left[-\frac{i\Delta t}{4\Delta x^2}\right] = \Psi_{j}^{n}\left[1-\frac{i\Delta t}{2}\left(\frac{1}{\Delta x^2}+V_{j}^{n}\right)\right]+\Psi_{j-1}^{n}\left[-\frac{i\Delta t}{4\Delta x^2}\right]+\Psi_{j+1}^{n}\left[\frac{i\Delta t}{4\Delta x^2}\right].</math></center>
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| Definindo
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| <center><math>a\equiv\frac{-i\Delta t}{4(\Delta x)^2}</math></center> e <center><math>b_{j}\equiv\left(1+\frac{i\Delta t}{2}\right)\left(\frac{1}{\Delta x^2}+V_j\right),</math></center> obtém-se:
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| <center><math>\Psi_{j}^{n+1}b_{j}+\Psi_{j-1}^{n+1}a+\Psi_{j+1}^{n+1}a = \Psi_{j}^{n}b_{j}^{*}+\Psi_{j-1}^{n}a^{*}+\Psi_{j+1}^{n}a^{*} .</math></center>
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| A equação acima pode ser escrita em forma matricial, de modo que:
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| <center><math>\hat{C}\Psi^{n+1}=\hat{D}\Psi^{n},</math></center>
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| onde
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| <center><math>
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| \hat{C} =
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| \begin{bmatrix}
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| b _{0} &a &0 & &... &0 \\
| |
| a & b_{1} &a &0 &... &0\\
| |
| 0 & a &b_{2} &a & 0 &0 \\
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| 0 & 0 & \ddots & \ddots &\ddots \\
| |
| ... & ... &... & a &b_{j-1} &a \\
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| 0 & 0 &... & 0 &a &b_{j}\\
| |
| \end{bmatrix}
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| </math></center>
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| e
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| <center><math>
| |
| \hat{D} =
| |
| \begin{bmatrix}
| |
| b_{0}^{*} &a &0 & &... &0 \\
| |
| a^{*} & b_{1}^{*} &a^{*} &0 &... &0\\
| |
| 0 & a^{*} &b_{2}^{*} &a^{*} & 0 &0 \\
| |
| 0 & 0 & \ddots & \ddots &\ddots \\
| |
| ... &... &... & a^{*} &b_{j-1}^{*} &a^{*} \\
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| 0 & 0 &... & 0 &a^{*} &b_{j}^{*}\\
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| \end{bmatrix}
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| </math></center>
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| Para avaliar a evolução temporal do sistema, é necessário encontrar <math>\Psi^{n+1}</math>. Utilizando resultados anteriores, pode-se obter <math>\Psi^{n+1}</math> através da seguinte relação:
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| <center><math>
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| \Psi^{n+1}=\hat{C}^{-1}\hat{C^{*}}\Psi^{n}
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| </math></center>
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| ===Poço de potencial infinito=== | |
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| Para o presente caso a ideia é obter a evolução temporal do sistema, impondo condições de contorno iguais a zero, de modo que os operadores <math>\hat{C}</math> e <math>\hat{D}</math> ficam:
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| <center><math>
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| \hat{C} =
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| \begin{bmatrix}
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| 1 &0 &0 & &... &0 \\
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| a & b &a &0 &... &0\\
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| 0 & a &b &a & 0 &0 \\
| |
| 0 & 0 & \ddots & \ddots &\ddots \\
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| ... &... &... & a &b &a \\
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| 0 & 0 &... & 0 &0 &1\\
| |
| \end{bmatrix}
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| </math></center>
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| e
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| <center><math>
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| \hat{D} =
| |
| \begin{bmatrix}
| |
| 1 &0 &0 & &... &0 \\
| |
| a^{*} & b^{*} &a^{*} &0 &0... &0\\
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| 0 & a^{*} &b^{*} &a^{*} & 0 &0 \\
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| 0 & 0 & \ddots & \ddots &\ddots \\
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| ... &... &... & a^{*} &b^{*} &a^{*} \\
| |
| 0 & 0 &... & 0 &0 &1\\
| |
| \end{bmatrix}
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| </math></center>
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| A ideia é que o primeiro e o último termo do tanto do vetor <math>\Psi^{n}</math> quanto do vetor <math>\Psi^{n+1}</math> seja constante, o que satisfaz as condições de contorno do presente caso. Também é interessante notar que os índices <math>b</math> são todos constantes, visto que no presente caso o potencial dentro do poço é nulo.
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| Implementando o algoritmo descrito acima, obteve-se:
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| [[Arquivo:Animação_n_1.gif|300px|thumb|center|Evolução temporal (n=1)]] | |
| Evolução temporal para o caso n=1. Nesta animação e nas subsequentes, foram sobrepostas as partes real e imaginária da equação de Schrödinger: a linha azul diz respeito à parte real enquanto a amarela, à imaginária.
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| [[Arquivo:Animação_n_2.gif|300px|thumb|center|Evolução temporal (n=2)]]
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| Na figura acima, tem-se a evolução do caso n=2.
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| [[Arquivo:Animação_n_3.gif|300px|thumb|center|Evolução temporal (n=3)]]
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| Por último, o caso n=3.
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