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| {{Ecologia| [[Métodos de Lyapunov]] |[[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]]}} | | {{Ecologia| [[AC: Jogo da Vida | Jogo da Vida]]|[[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]]}} |
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| | == Versão tradicional == |
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| No modelo de Lotka-Volterra temos as seguintes considerações: | | No modelo de Lotka-Volterra temos as seguintes considerações: |
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| <math display="block">-\left(a-\lambda\right)\left(-c-\lambda\right)=0</math><math display="block">\left(a-\lambda\right)\left(c+\lambda\right)=0</math> | | <math display="block">-\left(a-\lambda\right)\left(-c-\lambda\right)=0</math><math display="block">\left(a-\lambda\right)\left(c+\lambda\right)=0</math> |
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| Como temos raízes puramente imaginárias e <math display="inline">\lambda_{1}=\lambda_{2}^{*}</math>, temos um centro, ponto de estabilidade. Isto é, se a condição inicial for próxima de <math display="inline">\left(\frac{c}{\gamma},\frac{a}{\alpha}\right)</math> o sistema evoluirá de forma que o estado do sistema permanecerá próximo do ponto de equilíbrio. | | Como temos raízes puramente imaginárias e <math display="inline">\lambda_{1}=\lambda_{2}^{*}</math>, temos um centro, ponto de estabilidade. Isto é, se a condição inicial for próxima de <math display="inline">\left(\frac{c}{\gamma},\frac{a}{\alpha}\right)</math> o sistema evoluirá de forma que o estado do sistema permanecerá próximo do ponto de equilíbrio. |
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| <div class="center">[[Ficheiro:Tabela de autovaloes.png|miniaturadaimagem|Classificação dos pontos de estabilidade de acordo com os autovalores<ref>[http://www.sel.eesc.usp.br/lac/disciplinas/sels/arquivos/sel364/private/aula1a2cnl.pdf Análise de sistemas não-lineares] (Vilma A. Oliveira e José Ricardo Rosolen, USP)</ref>.alt=|300x300px]]</div> | | <div class="center">[[Ficheiro:Tabela de autovaloes.png|miniaturadaimagem|Classificação dos pontos de estabilidade de acordo com os autovalores<ref>[http://www.sel.eesc.usp.br/lac/disciplinas/sels/arquivos/sel364/private/aula1a2cnl.pdf Análise de sistemas não-lineares] (Vilma A. Oliveira e José Ricardo Rosolen, USP)</ref>.|300x300px]]</div> |
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| === Segundo método de Lyapunov === | | === Segundo método de Lyapunov === |
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| Então:<math display="block">\dot{V}\left(\boldsymbol{x}\right)=\alpha\left(x-x_{2}\right)\left(y_{2}-y\right)-\alpha\left(y_{2}-y\right)\left(x-x_{2}\right)=0</math>Temos então a condição de estabilidade <math display="inline">\dot{V}\leq0</math> concordando como que já havíamos obtidos anteriormente. | | Então:<math display="block">\dot{V}\left(\boldsymbol{x}\right)=\alpha\left(x-x_{2}\right)\left(y_{2}-y\right)-\alpha\left(y_{2}-y\right)\left(x-x_{2}\right)=0</math>Temos então a condição de estabilidade <math display="inline">\dot{V}\leq0</math> concordando como que já havíamos obtidos anteriormente. |
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| Outro exemplo resolvido numericamente pode ser visto em [[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]].
| | === Solução numérica === |
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| | Um exemplo resolvido numericamente pode ser visto em [[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]], onde foi aproveitado os códigos desenvolvidos para este mesmo. |
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| | == Versão adimensional == |
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| | Originalmente temos 4 parâmetros, mas podemos realizar uma série de manipulações visando uma redução da quantidade de parâmetros. Escrevendo o sistema como: |
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| | <math display="block">\begin{align} |
| | \frac{dN}{dt} & =aN-bNP\\ |
| | \frac{dP}{dt} & =cPN-dP |
| | \end{align}</math> |
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| | Podemos definir então <math display="inline">\widehat{t}=at</math>. Multiplicando ambas equações por <math display="inline">1/a</math>: |
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| | <math display="block">\begin{align} |
| | \frac{1}{a}\frac{dN}{dt} & =N-\frac{b}{a}NP\\ |
| | \frac{1}{a}\frac{dP}{dt} & =\frac{c}{a}PN-\frac{d}{a}P |
| | \end{align}</math> |
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| | Se definimos <math display="inline">p=\left(b/a\right)P</math> e multiplicamos a segunda equação por <math display="inline">b/a</math>: |
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| | <math display="block">\begin{align} |
| | \frac{dN}{d\widehat{t}} & =N-Np\\ |
| | \frac{d}{d\widehat{t}}\left(\frac{bP}{a}\right) & =\frac{c}{a}\left(\frac{b}{a}P\right)N-\frac{d}{a}\left(\frac{b}{a}P\right) |
| | \end{align}</math> |
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| | Agora se multiplicamos a primeira linha e definimos <math display="inline">n=\left(c/d\right)N</math>: |
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| | <math display="block">\begin{align} |
| | \frac{d}{d\widehat{t}}\left(\frac{c}{d}N\right) & =\frac{c}{d}N-\left(\frac{c}{d}N\right)p\\ |
| | \frac{dp}{d\widehat{t}} & =\frac{c}{a}pN-\frac{d}{a}p |
| | \end{align}</math> |
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| | Definindo então <math display="inline">\alpha=\frac{d}{a}</math>: |
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| | <math display="block">\begin{align} |
| | \frac{d n}{d\widehat{t}} & =n-np\\ |
| | \frac{dp}{d\widehat{t}} & =\frac{c}{a}\frac{d}{c}pn-\alpha p |
| | \end{align}</math> |
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| | Ou então, ficamos apenas com um único parâmetro. |
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| | <math display="block">\begin{align} |
| | \frac{dn}{d\widehat{t}} & =n\left(1-p\right)\\ |
| | \frac{dp}{d\widehat{t}} & =\alpha p\left(n-1\right) |
| | \end{align}</math> |
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| | === Separação de variáveis === |
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| | Aplicando a separação de variáveis, temos então: <math display="block">\begin{align} |
| | \frac{dp}{dn} & =\frac{\alpha p\left(n-1\right)}{n\left(1-p\right)}\\ |
| | \frac{\left(1-p\right)}{p}dp & =\alpha\frac{\left(n-1\right)}{n}dn\\ |
| | \left(\frac{1}{p}-1\right)dp & =\alpha\left(1-\frac{1}{n}\right)dn\\ |
| | \ln p-p+K & =\alpha\left(n-\ln\left(n\right)\right)\\ |
| | K & =\alpha n+p-\alpha\ln\left(n\right)-\ln p |
| | \end{align}</math> |
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| | Ou ainda, apenas: |
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| | <math display="block">K=\alpha n+p+\ln\left(n^{\alpha}p\right)</math> |
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| | == Referências == |
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| === Principais materiais utilizados === | | === Principais materiais utilizados === |
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| === Citações === | | === Citações === |
| <references /> | | <references /> |
| | | {{Ecologia| [[AC: Jogo da Vida | Jogo da Vida]]|[[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]]}} |
| {{Ecologia| [[Métodos de Lyapunov]] |[[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]]}} | |
Versão tradicional
No modelo de Lotka-Volterra temos as seguintes considerações:
- Na ausência de predadores, a população de presas aumenta a uma taxa proporcional à população atual;
- Na ausência de presas, os predadores irão à extinção;
- O número de encontro entre presas e predadores é proporcional a produto das duas populações.
- Estes encontros beneficiam os predadores em detrimento das presas.
Dessa forma, as equações são:
![{\textstyle {\frac {dx}{dt}}=x\left(a-\alpha y\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c93ffa68c83ed1146e2d13124152bda82666e98)
![{\textstyle {\frac {dy}{dt}}=y\left(-c+\gamma x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cbf196ed19109f2a2524aa94940ac078bb9f798)
Onde:
taxa de crescimento de presas sem predadores;
taxa de decréscimo da população de presas devido a predação;
taxa de mortalidade da população de predadores sem presas;
: taxa de crescimento de predadores devido a predação.
Separação de variáveis
Utilizando a separação de variáveis, temos:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}{\frac {dt}{dx}}={\frac {y\left(-c+\gamma x\right)}{x\left(a-\alpha y\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f81177f576f731847cbeed366ad0ed06493de66)
Logo:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {y\left(-c+\gamma x\right)}{x\left(a-\alpha y\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b687a2299ab8ceb4b7bc0e4c683c08f46e290a)
![{\displaystyle {\frac {\left(a-\alpha y\right)}{y}}dy={\frac {\left(-c+\gamma x\right)}{x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92905590ebc92c96ab2179ca5146b56a1493326a)
![{\displaystyle \left({\frac {a}{y}}-\alpha \right)dy=\left(-{\frac {c}{x}}+\gamma \right)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ba4ebcdd10842e8b18cb7496df406e91b78b54)
Integrando ambos os lados:
![{\displaystyle a\ln y-\alpha y=-c\ln x+\gamma x+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4608a6cf335618b1c74619bc7d5bd7b1f567acb1)
![{\displaystyle a\ln y-\alpha y+c\ln x-\gamma x=C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d0d940e81d0f95ae7754936f1bc21745d4fd94)
Onde
é uma constante de integração. Para plotarmos um gráfico, considerando apenas
Temos então:
![{\displaystyle \ln y+\ln x-\left(x+y\right)=C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6efdbf85ea700416628086c69ed1dd4d7f829cc3)
Um ponto de equilíbrio fora da origem é obtido quando:
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x\left(a-\alpha y\right)=0\rightarrow y={\frac {a}{\alpha }}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7ca0201d1e3808a8bcd868fbbbed6d5f02f5af)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=y\left(-c+\gamma x\right)=0\rightarrow x={\frac {c}{\gamma }}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a735f03dae7886caf3f233bc4335ac93d6cb254)
Então neste caso, o sistema oscila em torno de
e a constante
é definida pelas condições iniciais
. Para a condição em que
, então:
![{\displaystyle \ln 1+\ln 1-\left(1+1\right)=C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ff09b81720486c8a1123e17aa11dbbd52655d26)
![{\displaystyle -2=C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c84f15a05534c1353e26055de37750ec2d85f8)
Então para este conjunto de parâmetros e condições iniciais:
![{\displaystyle \ln y+\ln x-\left(x+y\right)+2=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bda867e42313d90d783bb07127190f6847eab3b)
Neste caso o sistema vai permanecer no ponto de equilíbrio. Para outras condições iniciais, o sistema vai oscilar em torno do ponto de equilíbrio. Obviamente além do ponto
, temos um ponto de equilíbrio em
. Vamos analisar a dinâmica na vizinhança dos pontos através de um processo simples de linearização.
![{\displaystyle f\left(x,y\right)=\ln y+\ln x-\left(x+y\right)-C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef7ecf3b9de221835cd68a5cd37a40a098fef93e)
com as condições
![{\displaystyle a=\alpha =c=\gamma =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42efc01318c0d887a0878f8ba556ef73ee8014d1)
e condição inicial arbitrária, plotado no
GeoGebra.
Linearização em torno do ponto de equilíbrio
Primeiro podemos perceber que o sistema é quase-linear em torno de
, verificando que satisfaz:
![{\displaystyle \lim _{\left(x,y\right)\rightarrow \left(0,0\right)}\left[{\frac {\text{parte não linear}}{\text{parte linear}}}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ca6abbc194299f719405b0872379c5d523d4f6)
Então lembrando as equações:
![{\textstyle {\frac {dx}{dt}}=\left[xa\right]-\left(\alpha xy\right)=\left[{\text{linear}}\right]-\left({\text{não linear}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5e0909c2fe98e48408a9b0aa88ea24a23df81c8)
![{\textstyle {\frac {dy}{dt}}=-\left[yc\right]+\left(\gamma yx\right)=-\left[{\text{linear}}\right]+\left({\text{não linear}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ca798c9e0fc6c58ca4c9578f25d4e7b5843ba02)
Logo:
![{\displaystyle \lim _{\left(x,y\right)\rightarrow \left(0,0\right)}-{\frac {\alpha xy}{xa}}=\lim _{\left(x,y\right)\rightarrow \left(0,0\right)}-{\frac {\alpha }{a}}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/447f21e9fafe913a8f2ddab72a1be2418ff36f1c)
![{\displaystyle \lim _{\left(x,y\right)\rightarrow \left(0,0\right)}-{\frac {\gamma xy}{cy}}=\lim _{\left(x,y\right)\rightarrow \left(0,0\right)}-{\frac {\gamma }{c}}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4746bbe72665f8a483495b14ecdd62e1797ffc86)
Desprezando então os termos não lineares podemos escrever o seguinte sistema linearizado em torno da origem:
![{\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}a&0\\0&-c\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c4ed3661e7c34d02c4a9c84faf3234c2f0817a)
Calculando os autovalores da matriz, obtemos então:
![{\displaystyle -\left(a-\lambda \right)\left(-c-\lambda \right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e83abe7132183f82c322044b6bc2a4a80f0891)
![{\displaystyle \left(a-\lambda \right)\left(c+\lambda \right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98314de1fe8dbb1f439cbccd36c0f5a9fb2771ee)
os seguintes autovalores
. Como um dos valores tem parte real positiva, então é um ponto instável, especificamente devido aos sinais opostos é um ponto de sela. Como é instável significa que se a condição inicial for próxima de
, a evolução do sistema vai se afastar do ponto de equilíbrio. Essa aproximação também indica que próximo do ponto de equilíbrio, a dinâmica pode ser descrita tanto pelo conjunto de equações não lineares, como pelo sistema linear.
Agora o segundo ponto de equilíbrio, de maneira geral é
. Primeiro reescrevemos o sistema em torno do ponto de equilíbrio, isto é, fazemos um deslocamento
e
. Então temos
e
e substituindo, para
:
![{\displaystyle {\frac {du}{dt}}=\left(u+{\frac {c}{\gamma }}\right)a-\alpha \left(u+{\frac {c}{\gamma }}\right)\left(v+{\frac {a}{\alpha }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/935c7d733521edfd06fe88306f465d649c11bd2f)
![{\displaystyle {\frac {du}{dt}}=ua+{\frac {c}{\gamma }}a-\alpha uv-{\frac {\alpha c}{\gamma }}v-ua-{\frac {ca}{\gamma }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55344257289cda67587877ac96d089953ac694e0)
![{\displaystyle {\frac {du}{dt}}=-\alpha uv-{\frac {\alpha c}{\gamma }}v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87986d2377cf27baba2414c266272c57e2e7ee6)
E para
![{\textstyle {\dot {y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aeec3a9e96205f699dcba451ac5cc26c3dd762e)
:
![{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-\left(v+{\frac {a}{\alpha }}\right)c+\gamma \left(v+{\frac {a}{\alpha }}\right)\left(u+{\frac {c}{\gamma }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b061f153669c2d0825c8b3aad7e7f7bb3feba845)
![{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-cv-{\frac {ca}{\alpha }}+\gamma vu+{\frac {\gamma a}{\alpha }}u+cv+{\frac {ca}{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd3f0d7052ed46bdeb5daed4c5506d88e7a7150)
![{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=\gamma vu+{\frac {\gamma a}{\alpha }}u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/756973473c485f00193a65cea3cb67eaf32cb216)
Podemos analisar o comportamento em torno do ponto de equilíbrio:
![{\displaystyle \lim _{\left(u,v\right)\rightarrow \left(0,0\right)}-{\frac {\alpha uv}{\frac {\alpha vc}{\gamma }}}=\lim _{\left(u,v\right)\rightarrow \left(0,0\right)}-{\frac {\gamma }{c}}u=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab921e5cb40914daefdbcc3fd0be71e0241bda2)
![{\displaystyle \lim _{\left(u,v\right)\rightarrow \left(0,0\right)}{\frac {\gamma vu}{\frac {\gamma au}{\alpha }}}=\lim _{\left(u,v\right)\rightarrow \left(0,0\right)}{\frac {\alpha }{a}}v=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/270291e8467264b3afa648f2d8df5ef87bd086f9)
Desprezando os termos não lineares então:
![{\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\dot {u}}\\{\dot {v}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}0&-{\frac {\alpha c}{\gamma }}\\{\frac {\gamma a}{\alpha }}&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65fd604bffab6a720926a8c8e90b18337135c28)
Então os autovalores correspondentes:
![{\displaystyle -\lambda ^{2}-{\frac {\gamma a}{\alpha }}{\frac {\alpha c}{\gamma }}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde26aab0a831169967ec74951b75232ad9a95bc)
![{\displaystyle \lambda =\pm {\sqrt {-ac}}=\pm {\sqrt {ac}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e2a9a44380d7dd9512585631455c4965274d66)
Como temos raízes puramente imaginárias e
, temos um centro, ponto de estabilidade. Isto é, se a condição inicial for próxima de
o sistema evoluirá de forma que o estado do sistema permanecerá próximo do ponto de equilíbrio.
Classificação dos pontos de estabilidade de acordo com os autovalores
[1].
Segundo método de Lyapunov
Para avaliar o ponto
, podemos usar de maneira análoga ao exemplo do segundo critério de Lyapunov:
![{\displaystyle V\left({\boldsymbol {x}}\right)={\frac {x^{2}}{\alpha }}-{\frac {y^{2}}{\gamma }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2860ac03f24d005dc7a7d6f0fa515209a753f2a)
Como já discutimos
e a região
onde
para
, sendo
um ponto de acumulação em
[2]. Então:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {V}}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\left[\nabla V\right]\cdot \left[{\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right]\\&=\left({\frac {2x}{\alpha }},-{\frac {2y}{\gamma }}\right)\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)\\&=2x^{2}{\frac {a}{\alpha }}-2x^{2}y+2y^{2}{\frac {c}{\gamma }}-2y^{2}x\\&=2x^{2}\left({\frac {a}{\alpha }}-y\right)+2y^{2}\left({\frac {c}{\gamma }}-x\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/115a8ceabc292aa4684eec7edb8fa260f2d9cc9f)
Lembrando do nosso segundo ponto de equilíbrio
![{\textstyle \left(x_{2},y_{2}\right)=\left({\frac {c}{\gamma }},{\frac {a}{\alpha }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ebc263294c05d11fd2f1cbfc8da76f65f3dc058)
:
![{\displaystyle {\dot {V}}\left({\boldsymbol {x}}\right)=2x^{2}\left(y_{2}-y\right)+2y^{2}\left(x_{2}-x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4773bb261ec36519f8396c6a2d2de71b0ce5bfb)
Então se estamos próximos suficiente do ponto de equilíbrio em análise
, temos então uma instabilidade local pois
é positivo definido em
, uma vez que
,
. Olhando o segundo ponto de equilíbrio,
, podemos manipular as equações da seguinte forma:
![{\textstyle {\frac {dx}{dt}}=x\left(a-\alpha y\right)=x\alpha \left({\frac {a}{\alpha }}-y\right)=x\alpha \left(y_{2}-y\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf918fcc16949449769c9a4e7abacb2375d9e251)
![{\textstyle {\frac {dy}{dt}}=y\left(-c+\gamma x\right)=y\gamma \left(-{\frac {c}{\gamma }}+x\right)=y\gamma \left(-x_{2}+x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38fe0429e342aa44cc461e50493ddc0f70b4e68e)
Definindo então a seguinte função de Lyapunov:
![{\displaystyle V\left(x,y\right)=x-x_{2}\left[1+\ln \left({\frac {x}{x_{2}}}\right)\right]+{\frac {\alpha }{\gamma }}\left(y-y_{2}\left[1+\ln \left({\frac {y}{y_{2}}}\right)\right]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015902f8d6745ecc887407611362e676b24ad0ec)
Analisando no ponto de e equilíbrio, temos:
![{\displaystyle {\begin{aligned}V\left(x_{2},y_{2}\right)&=x_{2}-x_{2}\left[1+\ln \left({\frac {x_{2}}{x_{2}}}\right)\right]+{\frac {\alpha }{\gamma }}\left(y_{2}-y_{2}\left[1+\ln \left({\frac {y_{2}}{y_{2}}}\right)\right]\right)\\&=x_{2}-x_{2}+{\frac {\alpha }{\gamma }}\left(y_{2}-y_{2}\right)\\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0878341a5c33584ac2574f7c09fb46ec889fdc)
Agora precisamos que para
tenhamos
, na região próxima ao ponto de equilíbrio. Separando em dois termos:
![{\displaystyle {\begin{aligned}V\left(x,y\right)&=\left[x-x_{2}\left(1+\ln \left({\frac {x}{x_{2}}}\right)\right)\right]+{\frac {\alpha }{\gamma }}\left[y-y_{2}\left(1+\ln \left({\frac {y}{y_{2}}}\right)\right)\right]\\&=V\left(x\right)+{\frac {\alpha }{\gamma }}V\left(y\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/223f3eeff7028162c5517b1c5e13e21bef0bbaba)
De forma geral temos
, e precisamos que
quando
. Além de ser facilmente visto via gráfico para todos os valores aceitáveis
, também podemos analisar a seguinte desigualdade:
![{\displaystyle {\begin{aligned}z-z_{2}\left(1+\ln \left({\frac {z}{z_{2}}}\right)\right)&>0\\z&>z_{2}\left(1+\ln \left({\frac {z}{z_{2}}}\right)\right)\\{\frac {z}{z_{2}}}&>1+\ln \left({\frac {z}{z_{2}}}\right)\\e^{\frac {z}{z_{2}}}&>e{\frac {z}{z_{2}}}\\e^{u}&>eu\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f801767865a99602af7fdaab9b2b10fc1aba93d0)
Podemos ver quer a desigualdade desigualdade é válida exceto se
![{\textstyle x=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d7674ebb4f37b2b53330ff398abb0069f83e2f)
. Mas como fizemos a seguinte substituição
![{\textstyle u={\frac {z}{z_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2cde8c0a8b9dbccebf8e71ee56ff36657478629)
então
![{\textstyle u=1\rightarrow z=z_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c016005789fc106dd65e3e6622132679408401)
, e de fato que queremos que seja positiva definida fora do ponto de equilíbrio. Uma vez que sabemos que
![{\textstyle V\left(x,y\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c186af5b76d547dbbc64e694bb12ec3350c3be0e)
é positivo definido, calculamos então:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {V}}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\left[\nabla V\right]\cdot \left[{\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right]\\&=\left[{\frac {\partial V\left(x\right)}{\partial x}},{\frac {\alpha }{\gamma }}{\frac {\partial V\left(y\right)}{\partial y}}\right]\cdot \left[x\alpha \left(y_{2}-y\right),y\gamma \left(-x_{2}+x\right)\right]\\&=\left[1-{\frac {x_{2}}{x}},{\frac {\alpha }{\gamma }}\left(1-{\frac {y_{2}}{y}}\right)\right]\cdot \left[x\alpha \left(y_{2}-y\right),y\gamma \left(-x_{2}+x\right)\right]\\&=\left({\frac {x-x_{2}}{x}}\right)\left(x\alpha \left(y_{2}-y\right)\right)+{\frac {\alpha }{\gamma }}\left({\frac {y-y_{2}}{y}}\right)\left(y\gamma \left(-x_{2}+x\right)\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd0202dbb5817e09f79910d109f57dc7ae700b95)
Então:
![{\displaystyle {\dot {V}}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\alpha \left(x-x_{2}\right)\left(y_{2}-y\right)-\alpha \left(y_{2}-y\right)\left(x-x_{2}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff3ad50a38612e55e93ef81dc994036f804fd74)
Temos então a condição de estabilidade
![{\textstyle {\dot {V}}\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ff5d8746c068da288f7a6fc2aa5710f16c957f)
concordando como que já havíamos obtidos anteriormente.
Solução numérica
Um exemplo resolvido numericamente pode ser visto em Modelo de Lotka-Volterra amortecido, onde foi aproveitado os códigos desenvolvidos para este mesmo.
Versão adimensional
Originalmente temos 4 parâmetros, mas podemos realizar uma série de manipulações visando uma redução da quantidade de parâmetros. Escrevendo o sistema como:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dN}{dt}}&=aN-bNP\\{\frac {dP}{dt}}&=cPN-dP\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2833b9270a409caf068e33de5abf08d711e8c12b)
Podemos definir então
. Multiplicando ambas equações por
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{a}}{\frac {dN}{dt}}&=N-{\frac {b}{a}}NP\\{\frac {1}{a}}{\frac {dP}{dt}}&={\frac {c}{a}}PN-{\frac {d}{a}}P\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1869528acc1459ab7bf5631ecbd5b1321a0b064)
Se definimos
e multiplicamos a segunda equação por
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dN}{d{\widehat {t}}}}&=N-Np\\{\frac {d}{d{\widehat {t}}}}\left({\frac {bP}{a}}\right)&={\frac {c}{a}}\left({\frac {b}{a}}P\right)N-{\frac {d}{a}}\left({\frac {b}{a}}P\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/805cc313e9bcd2d227ff5d67b11813a0355fb60b)
Agora se multiplicamos a primeira linha e definimos
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d{\widehat {t}}}}\left({\frac {c}{d}}N\right)&={\frac {c}{d}}N-\left({\frac {c}{d}}N\right)p\\{\frac {dp}{d{\widehat {t}}}}&={\frac {c}{a}}pN-{\frac {d}{a}}p\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd5675e75ddc66b482c413ee0238c8959766aa0)
Definindo então
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dn}{d{\widehat {t}}}}&=n-np\\{\frac {dp}{d{\widehat {t}}}}&={\frac {c}{a}}{\frac {d}{c}}pn-\alpha p\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218828e21ff28f23b50cc4885a12b493c2a235fa)
Ou então, ficamos apenas com um único parâmetro.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dn}{d{\widehat {t}}}}&=n\left(1-p\right)\\{\frac {dp}{d{\widehat {t}}}}&=\alpha p\left(n-1\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bea2d3dac9119a2356b8fab84040f96a2ffa0d2f)
Separação de variáveis
Aplicando a separação de variáveis, temos então:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dp}{dn}}&={\frac {\alpha p\left(n-1\right)}{n\left(1-p\right)}}\\{\frac {\left(1-p\right)}{p}}dp&=\alpha {\frac {\left(n-1\right)}{n}}dn\\\left({\frac {1}{p}}-1\right)dp&=\alpha \left(1-{\frac {1}{n}}\right)dn\\\ln p-p+K&=\alpha \left(n-\ln \left(n\right)\right)\\K&=\alpha n+p-\alpha \ln \left(n\right)-\ln p\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9853ef3ff4fd16b40c25deb7149eccfcdf4355c)
Ou ainda, apenas:
![{\displaystyle K=\alpha n+p+\ln \left(n^{\alpha }p\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d74ecd1df39a3ddd51c243b1d68d0bbcf629fae6)
Referências
Principais materiais utilizados
- A survey of constructing Lyapunov functions for mathematical models in population biology (Sze-Bi, Revista Taiwanesa de Matemática )
- Estabilidade de pontos de equilíbrio e existência de soluções periódicas em alguns modelos bidimensionais (Salvador Tavares de Oliveira, UNESP)
- Modelagem Matemática e estabilidade de sistemas predador-presa (Paulo Laerte Natti e outros, UEL)
- Modelo de Lotka-Volterra: a dinâmica predador-presa (Rafael Biasi Pata e Elisa Regina Cara, UNIPAMPA)
Citações