Modelo de Potts - 2D: mudanças entre as edições
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Na terceira figura, vemos a série temporal da energia para <math>Q=3</math> e <math>T=1</math>, enquanto na quarta figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -1850. | Na terceira figura, vemos a série temporal da energia para <math>Q=3</math> e <math>T=1</math>, enquanto na quarta figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -1850. | ||
Na quinta figura, vemos a série temporal da energia para <math>Q= | Na quinta figura, vemos a série temporal da energia para <math>Q=7</math> e <math>T=1</math>, enquanto na sexta figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -2900. | ||
==Energia (T=2)== | ==Energia (T=2)== | ||
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!colspan="2"|Energia em cada MCS para Q indo de 2 até 10 e L = 64 utilizando o algoritmo de Metropolis. | !colspan="2"|Energia em cada MCS para Q indo de 2 até 10 e L = 64 utilizando o algoritmo de Metropolis. | ||
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Na primeira figura, vemos a série temporal da energia para <math>Q=2</math> e <math>T= | Na primeira figura, vemos a série temporal da energia para <math>Q=2</math> e <math>T=2</math>, enquanto na segunda figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -5000. | ||
Na terceira figura, vemos a série temporal da energia para <math>Q=3</math> e <math>T=2</math>, enquanto na quarta figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -2850. | |||
Na | Na quinta figura, vemos a série temporal da energia para <math>Q=7</math> e <math>T=2</math>, enquanto na sexta figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -3400. | ||
É possível observar que para <math>T = 2</math> os valores de energia média ficaram mais dispersos que em relação à <math>T = 1</math>. Além disso, há uma grande diferença entre os resultados de <math>T = 2</math> e <math>T = 1</math> para <math>Q = 2</math>. Vemos que para uma temperatura mais baixa, a energia média converge para um valor mais bem definido. | |||
=Códigos utilizados= | =Códigos utilizados= | ||
Edição atual tal como às 19h51min de 18 de outubro de 2022
O Modelo
Modelo de Potts pode ser considerado uma generalização do Modelo de Ising. Enquanto no Ising, os spins podem assumir valores 1 ou -1, no Modelo de Potts, os spins podem assumir valores que dependem de uma variavél da seguinte forma: . A quantidade nos fornece as possíveis orientações para os spins. Os valores que pode assumir são . Dessa forma, um Modelo de Potts bidimensional com possui uma rede bidimensional de spins com 10 orientações diferentes. Nas figuras abaixo podemos ver três possíveis orientações dos spins.
O Hamiltoniano de interação, na ausência de campo magnético, pode ser escrito como
onde é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação e é a delta de Kronecker, definida como 1 se e 0 se .
Uma característica importante desse modelo é que as orientações em si não são relevantes, uma vez que o Hamiltoniano é definido por uma Delta de Kronecker. A única informação relevante é se os spins são iguais ou diferentes. Conforme veremos adiante, para o caso de , recaímos no conhecido Modelo de Ising.
Se incluirmos o campo magnético, o Hamiltoniado de Potts fica
onde e é o campo magnético.
Relação com o Modelo de Ising
O Modelo de Ising é obtido quando tomamos na expressão para . Para que possamos reescrever o Hamiltoniano de Potts em uma forma semelhante ao Hamiltoniano de Ising, vamos somar uma constante aditiva, de modo que o Hamiltoniano fica
![{\displaystyle H_{I}=H_{p}+\sum _{(i,j)}{\frac {J}{2}}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})+\sum _{(i,j)}{\frac {J}{2}}=-{\frac {J}{2}}\sum _{(i,j)}[2\delta (s_{i},s_{j})-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a60f4abe190e8b18e63c83b47729cbe0c7605a0)
Vemos que se os spins são iguais, obtemos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -J/2} e se os spins são diferentes, obtemos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J/2} . No Modelo de Ising, nós tínhamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -J} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J} , respectivamente. Uma consequência desse fator meio de diferença é que a temperatura crítica para o Modelo de Potts, para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q=2} , é metade da temperatura crítica do Ising (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c\approx 1.1} ) e os Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta Es} nos histogramas de energia também são metade.
Algoritmo de Metropolis
Vamos implementar o Modelo de Potts utilizando o algoritmo de Metropolis.
O algoritmo de Metropolis é um método de Cadeia de Markov Monte Carlo (MCMC) para obter amostras aleatórias a partir de uma distribuição de probabilidade da qual a amostragem direta é difícil. O procedimento para a implementação do algoritmo é apresentado abaixo.
1) Escolhemos um estado inicial Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0} , que em nosso caso será um spin orientado em uma direção dada por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} .
2) Através de um sorteio aleatório, com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Prob = \frac{1}{N}}
, escolhemos um candidato Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x'}
.
3) Calculamos a prababilidade de aceitação desse candidato atráves de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(x',x_t) = min \left(1,\frac{P(x')}{P(x_t)} \right)} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x') = e^{-\beta E_{x'}}}
4) E então aceitamos ou rejeitamo este novo candidato da seguinte forma:
a) Geramos um número aleatório uniforme Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u \in [0,1]} ;
b) Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u\leq A(x',x_t)} , ou seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u\leq e^{-\beta (E_{x'} - E_{x_t})}} , aceitamos o novo estado e definimos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{t+1}=x'} ;
c) E se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u>A(x',x_t)} , ou seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u\leq e^{-\beta (E_{x'} - E_{x_t})}} , rejeitamos o novo estado e continuamos com o estado antigo para frente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{t+1}=x_t} ;
d) Ao final desse processo, voltamos para o passo 2).
Resultados das simulações
Definimos um Monte Carlo Step (MCS) como sendo o tempo em que a rede bidimensional quadrada com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2} spins é percorrida pelo algoritmo. Ao final de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2} flips de spin (seja com probabilidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} ou com probabilidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp(-\beta \Delta E)} ), contamos um MCS. Além disso, em todas as simulações, utilizamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=1} em unidades de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_B} .
Em todas as simulações, o estado inicial utilizado foi uma rede quadrada de tamanho Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} com spins aleatórios. Isso justifica a diferença na energia inicial de cada simulação. Como os spins eram diferentes (ordenados de forma aleatória), a energia inicial também era diferente para cada simulação.
Energia (T=1)
| Energia em cada MCS para Q indo de 2 até 10 e L = 64 utilizando o algoritmo de Metropolis. | |
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Na primeira figura, vemos a série temporal da energia para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q=2} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=1} , enquanto na segunda figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -700.
Na terceira figura, vemos a série temporal da energia para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q=3} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=1} , enquanto na quarta figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -1850.
Na quinta figura, vemos a série temporal da energia para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q=7} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=1} , enquanto na sexta figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -2900.
Energia (T=2)
| Energia em cada MCS para Q indo de 2 até 10 e L = 64 utilizando o algoritmo de Metropolis. | |
|---|---|
Na primeira figura, vemos a série temporal da energia para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q=2} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=2} , enquanto na segunda figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -5000.
Na terceira figura, vemos a série temporal da energia para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q=3} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=2} , enquanto na quarta figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -2850.
Na quinta figura, vemos a série temporal da energia para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q=7} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=2} , enquanto na sexta figura, vemos um histograma de energia para energia. Podemos observar que a energia tende ao valor próximo a -3400.
É possível observar que para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T = 2} os valores de energia média ficaram mais dispersos que em relação à Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T = 1} . Além disso, há uma grande diferença entre os resultados de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T = 2} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T = 1} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q = 2} . Vemos que para uma temperatura mais baixa, a energia média converge para um valor mais bem definido.
Códigos utilizados
O código foi escrito em Fortran.
Referências
D. P. Landau, K. Binder. A Guide Monte Carlo Simulations in Statistical Physics. Cambridge University. New York. 2000.
L. M. Barone, E. Marinari, G. Organtini, F. Ricci-Tersengui. Scientific Programming: C-Language, Algorithms and Models in Science. World Scientific. Singapore. 2013.