Introdução
Equações diferenciais parciais (EDP's) hiperbólicas geralmente podem ser formuladas a partir de teoremas de conservação. Um exemplo é a equação do tipo:
,
onde
é o vetor de densidades da quantidade conservada, i.e.,
,
é o fluxo de densidade e
é um termo genérico representando fontes ou sumidouros.
Uma classe especial de equações hiperbólicas são as chamadas equações de adveção, na qual a derivada temporal da quantidade conservada
é proporcional à sua derivada espacial. Nesses casos,
é diagonal e dada por:
,
onde
é a matriz identidade.
Considerando apenas uma dimensão e com
, temos a equação de adveção:
,
onde
é a velocidade de propagação do pulso gerado. A equação admite uma solução analítica da forma
, representando uma onda se movendo na direção
.
A equação da onda em uma dimensão é uma EDP hiperbólica de segunda ordem dada por
E admite duas soluções, representadas por pulsos,
e
.
Assumindo que
na equação da onda, nos restringimos a problemas lineares. Além disso, se escrevermos
,
então a equação da onda pode ser escrita como um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem:
Em notação vetorial, o sistema acima pode ser reescrito na forma conservativa como:
,
onde
O Problema Físico
O Modelo de Corda Ideal
Para uma primeira abordagem da equação da onda, podemos primeiro dividir o comprimento
da corda em
intervalos de comprimentos iguais, dessa forma
. Cada intervalo é discretizado, representado por
,
. Também podemos dividir o tempo em intervalos iguais
e denotá-los como
,
.
Tendo feita a discretização das variáveis, podemos aproximar a equação da onda por diferenciação finita, utilizando derivadas centradas da seguinte forma:
onde
representa o valor discretizado de
.
Assim, chegamos em uma equação discretizada:
.
Sabendo que essa discretização da equação da onda pode ser verificada como sendo o método Leapfrog (ver seção do método de Leapfrog), podemos resolver a equação para
para sabermos o deslocamento de uma partição da corda no momento de tempo seguinte, assim obtendo
,
onde
Um Quadro Mais Realístico - O Modelo de Corda Rígida
Para nos aproximarmos de um modelo mais real, podemos adicionar um termo à equação original da onda que corresponde ao efeito de fricção em uma corda. De acordo com [1], a equação da onda mais geral com efeito de fricção pode ser escrita como
onde
é a velocidade transversal de propagação do pulso na corda, dada pela relação
(sendo
a tensão na corda e
a densidade linear da mesma),
é um parâmetro adimensional de fricção que representa a rigidez da corda e
o comprimento da corda.
O parâmetro
é dado por
Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \epsilon = \kappa² \frac{E S}{T L^2}}
,
onde
é o raio da corda,
é o Módulo de Young e
a área da secção da corda.
Ao discretizarmos a equação da onda em uma corda com fricção e a resolvendo para
obtemos:
O fato de essa discretização depender do deslocamento da corda em posições
e
implica em precisarmos simular "pontos fantasmas" quando integramos os extremos das cordas. Para fazermos isso, podemos ou utilizar a aproximação
ou podemos considerar esses "pontos fantasmas" como pontos presos e, portanto, sempre iguais a zero.
Os Métodos Utilizados
Foi realizada uma abordagem ao problema da corda real a partir de três métodos diferentes de integração numérica. Os três são métodos para fins de resolução de equações diferenciais parciais da forma apresentada anteriormente.
O método mais básico é chamado de FTCS (Forward-Time-Centered-Space) e consiste em duas expansões de Taylor ao redor do ponto
:
Subtraindo as duas expressões, encontramos a expressão
,
A qual podemos substituir na equação da onda, juntamente com a discretização da derivada parcial temporal. Temos então que, para um sistema linear de equações hiperbólicas:
Visto que essa última notação é mais genérica, ela será utilizada para a explicação dos métodos posteriores.
O Método de Lax-Friedrichs
O método de Lax-Friedrichs consiste em substituir o termo
com sua respectiva média espacial, i.e.,
. Logo, temos a seguinte equação de recorrência:
O Método de Leapfrog
Tanto o método FTCS quanto o método de Lax-Friedrichs são métodos de primeira ordem para a derivada temporal. Nessas circunstâncias,
deve ser significantemente menor do que
, muito abaixo do limite imposto pela condição de Courant (ver seção estabilidade dos métodos).
Uma nova expressão para a derivada temporal, com precisão de segunda ordem é dada por
Substituindo a nova expressão acima no método de FTCS discutido anteriormente, encontramos o método de Leapfrog:
Como o método de Leapfrog foi o mais aplicado na resolução do problema em questão, é interessante um aprofundamento maior do método. Podemos adaptar o método de Leapfrog para o sistema de equações definido para a equação da onda ao fazermos
Com a representação Leapfrog das equações do sistema de três equações, temos:
Com essas duas equações, podemos fazer uma integração utilizando o método de Euler para obter
, ou seja, o deslocamento de um determinado ponto no próximo instante de tempo:
Contudo, podemos fazer uma simples substituição das equações
e
nas equações
e
e, assim, obtemos que a representação de Leapfrog da equação da onda é dada pela discretização de segunda ordem da própria equação da onda, com
. Isso nos dá uma solução de "um passo", onde só precisamos efetuar o cálculo da equação discretizada.
O Método de Lax-Wendroff
O método de Lax-Wendroff é a extensão do método de Lax-Friedrichs de segunda ordem. Calculamos o vetor
a partir de um passo médio de Lax-Friedrichs:
,
,
E encontramos os fluxos
a partir dos valores de
Logo, com um meio passo de Leapfrog, temos a expressão final do método:
Análise e Discussão dos Resultados
Análise de Erro e Estabilidade dos Métodos
Conclusões (?)
vsf caetano
vsf doria
vsf os dois
vai tu anderson - dória aqui (mentira)
por favor usem U maiusculo com os indices i,n
e não usem y, usem u minusculo
Referências Bibliográficas