Grupo3 - Ondas2

Introdução

Equações diferenciais parciais (EDP's) hiperbólicas geralmente podem ser formuladas a partir de teoremas de conservação. Um exemplo é a equação do tipo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \vec{U}}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{F}(U) = \vec{S}(U)} ,

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{U}} é o vetor de densidades da quantidade conservada, i.e., Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{U} = (U_1,...,U_n)} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{F}} é o fluxo de densidade e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{S}} é um termo genérico representando fontes ou sumidouros.

Uma classe especial de equações hiperbólicas são as chamadas equações de adveção, na qual a derivada temporal da quantidade conservada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{U}(\vec{x},t)} é proporcional à sua derivada espacial. Nesses casos, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{F}(U)} é diagonal e dada por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{F}(U) = v \vec{I} \cdot \vec{U}} ,

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{I}} é a matriz identidade.

Considerando apenas uma dimensão e com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{U} \equiv u} , temos a equação de adveção:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + v \frac{\partial u}{\partial x} = 0} ,

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} é a velocidade de propagação do pulso gerado. A equação admite uma solução analítica da forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u = f(x - vt)} , representando uma onda se movendo na direção Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .

A equação da onda em uma dimensão é uma EDP hiperbólica de segunda ordem dada por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. }

E admite duas soluções, representadas por pulsos, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x + vt)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x - vt)} .

Assumindo que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v \neq v(x)} na equação da onda, nos restringimos a problemas lineares. Além disso, se escrevermos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k = v \frac{\partial u}{\partial x} } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = \frac{\partial u}{\partial t}, }

então a equação da onda pode ser escrita como um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases}\frac{\partial k}{\partial t} = v\frac{\partial s}{\partial x} \\ \frac{\partial s}{\partial t} = v\frac{\partial k}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial t} = s \end{cases} }

Em notação vetorial, o sistema acima pode ser reescrito na forma conservativa como: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial U}{\partial t}+ \frac{\partial F(U)}{\partial x} = 0 } ,

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U = \begin{pmatrix}k\\s\end{pmatrix},\quad \textrm{e}\quad F(U) =\begin{pmatrix}0 & -v\\-v & 0\end{pmatrix}}

O Problema Fìsico

A Corda Ideal

Para uma primeira abordagem da equação da onda, podemos primeiro dividir o comprimento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} da corda em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} intervalos de comprimentos iguais, dessa forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x = \frac{L}{K}} . Cada intervalo é discretizado, portanto, como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=0,1,...,K} . Também podemos dividir o tempo em intervalos iguais Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t} e denotá-los como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_n} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n =0,1...} .

Tendo feita a discretização das variáveis, podemos aproximar a equação da onda por diferenciação finita:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{u(i,n+1)-2u(i,n)+u(i,n-1)}{(\Delta t)^2} = v^2 \frac{u(i+1,n)-2u(i,n)+u(i-1,n)}{(\Delta x)^2}} .

Sabendo que essa discretização da equação da onda pode ser verificada como sendo o método Leapfrog (ver seção do método de Leapfrog), podemos resolver a equação para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(i,n+1)} para sabermos o deslocamento de uma partição da corda no momento de tempo seguinte, assim obtendo

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(i,n+1) = 2(1-r^2)u(i,n) + r^2[u(i+1,n)+u(i-1,n)]-u(i,n-1)} ,

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r = v \frac{\Delta t}{\Delta x}.}

Um Quadro Mais Realístico

Para nos aproximarmos de um modelo mais real, podemos adicionar um termo à equação original da onda que corresponde ao efeito de fricção em uma corda. De acordo com [1], a equação da onda mais geral com efeito de fricção pode ser escrita como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial² y}{\partial t²} = v² \left( \frac{\partial² y}{\partial x²} - \epsilon L² \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} \right),}

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} é a velocidade transversal de propagação do pulso na corda, dada pela relação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v = \sqrt[]{\frac{T}{\rho}}} (sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} a tensão na corda e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} a densidade linear da mesma), Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon} é um parâmetro adimensional de fricção que representa a rigidez da corda e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} o comprimento da corda.

O parâmetro Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon} é dado por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon = \kappa² \frac{E S}{T L²}} ,

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \kappa} é o raio da corda, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} é o Módulo de Young e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} a área da secção da corda.

Ao discretizarmos a equação da onda em uma corda com fricção e a resolvendo para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i^{n+1}} obtemos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i^{n+1}=[2-2r^2-6\epsilon r^2K^2]u_i^n - u_i^{n-1} +r^2[1+4\epsilon K^2][u_{i+1}^n+u_{i-1}^n]-\epsilon r^2K^2[u_{i+2}^n + u_{i-2}^n].}

O fato de essa discretização depender do deslocamento da corda em posições Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i-2} e $i+2$ implica em precisarmos simular "pontos fantasmas" quando integramos os extremos das cordas. Para fazermos isso, podemos ou utilizar a aproximação $u_{-1}^{n}=-u_{+1}^{n}$ ou podemos considerar esses "pontos fantasmas" como pontos presos e, portanto, sempre iguais a zero.

Os Métodos Utilizados

Foi realizada uma abordagem ao problema da corda real a partir de três métodos diferentes de integração numérica. Os três são métodos para fins de resolução de equações diferenciais parciais da forma apresentada anteriormente.

O método mais básico é chamado de FTCS (Forward-Time-Centered-Space) e consiste em duas expansões de Taylor ao redor do ponto $x_{j}$:

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle u(x_j + \Delta x,t^n) = u(x_j,t^n) + \frac{\partial u}{\partial x}(x_j,t^n)\Delta x + \frac{1}{2} \frac{\partial² u}{\partial x²}(x_j,t^n)\Delta x² + \mathcal{O}(\Delta x³),}

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle u(x_j - \Delta x,t^n) = u(x_j,t^n) - \frac{\partial u}{\partial x}(x_j,t^n)\Delta x + \frac{1}{2} \frac{\partial² u}{\partial x²}(x_j,t^n)\Delta x² + \mathcal{O}(\Delta x³).}

Subtraindo as duas expressões, encontramos a expressão

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} |_j^n = \frac{u^n_{j+1} - u^n_{j-1}}{2 \Delta x} + \mathcal{O}(\Delta x²)} ,

A qual podemos substituir na equação da onda, juntamente com a discretização da derivada parcial temporal. Temos então que, para um sistema linear de equações hiperbólicas:

${\textbf {U}}_{j}^{n+1}={\textbf {U}}_{j}^{n}-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}[{\textbf {F}}_{j+1}^{n}-{\textbf {F}}_{j-1}^{n}]+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2},\Delta x^{2}\Delta t)$

Visto que essa última notação é mais genérica, ela será utilizada para a explicação dos métodos posteriores.

O Método de Lax-Friedrichs

O método de Lax-Friedrichs consiste em substituir o termo ${\textbf {U}}_{j}^{n}$ com sua respectiva média espacial, i.e., $u_{j}^{n}=(u_{j+1}^{n}+u_{j-1}^{n})/2$. Logo, temos a seguinte equação de recorrência:

${\textbf {U}}_{j}^{n+1}={\frac {1}{2}}({\textbf {U}}_{j+1}^{n}+{\textbf {U}}_{j-1}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}[{\textbf {F}}_{j+1}^{n}-{\textbf {F}}_{j-1}^{n}]+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})$

O Método de Lax-Wendroff

O método de Lax-Wendroff é a extensão do método de Lax-Friedrichs de segunda ordem. Calculamos o vetor $U$ a partir de um passo médio de Lax-Friedrichs:

${\textbf {U}}_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}[{\textbf {U}}_{j+1}^{n}+{\textbf {U}}_{j}^{n}]-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}[{\textbf {F}}_{j+1}^{n}-{\textbf {F}}_{j}^{n}]+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})$,

${\textbf {U}}_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}[{\textbf {U}}_{j}^{n}+{\textbf {U}}_{j-1}^{n}]-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}[{\textbf {F}}_{j}^{n}-{\textbf {F}}_{j-1}^{n}]+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})$,

E encontramos os fluxos ${\textbf {F}}_{j\pm {\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}$ a partir dos valores de ${\textbf {U}}_{j\pm {\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}.$

Logo, com um meio passo de Leapfrog, temos a expressão final do método:

${\textbf {U}}_{j}^{n+1}={\textbf {U}}_{j}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}[{\textbf {F}}_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}-{\textbf {F}}_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}]+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})$