Modelo de Potts - 2D

O Modelo

Modelo de Potts pode ser considerado uma generalização do Modelo de Ising. Enquanto no Ising, os spins podem assumir valores Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} ou -1, no Modelo de Potts, os spins podem assumir valores que dependem de uma variavél $q$ da seguinte forma: $\theta _{n}={\frac {2\pi n}{q}}$. A quantidade $\theta _{n}$ nos fornece as possíveis orientações para os spins. Os valores que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} pode assumir são $n=0,1,2,...,q-1$. Dessa forma, um Modelo de Potts bidimensionaç com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q=10} possui uma rede bidimensional de spins com 10 orientações diferentes.

O Hamiltoniano de interação, na ausência de campo magnético, pode ser escrito como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_p = -J \sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) }

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J} é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta(s_i,s_j) } é a delta de Kronecker, definida como 0 se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i=s_j} e 1 se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i\neq s_j} .

Relação com o Modelo de Ising

O Modelo de Ising é obtido quando tomamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q=2} na expressão para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_n} .

O Hamiltoniano de Ising pode ser escrito como o Hamiltoniano do Potts mais uma constante aditiva Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_I = H_p + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -J\sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -\frac{J}{2}\sum_{(i,j)} (2\delta(s_i,s_j) - 1) }

Se incluírmos o campo magnético, o Hamiltoniado fica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_p = -J \sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) - \sum_i \frac{1}{\beta} h_i s_i}

Algoritmo de Metropolis

Vamos implementar o Modelo de Potts utilizando o algoritmo de Metropolis.

O algoritmo de Metropolis é um método de Cadeia de Markov Monte Carlo (MCMC) para obter amostras aleatórias a partir de uma distribuição de probabilidade da qual a amostragem direta é difícil. O procedimento para a implementação do algoritmo é apresentado abaixo.

1. Inicialize

a) Escolha um estado inicial Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0} ;

b) Coloque Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=0}

2. Itere

a) Gere um estado candidato aleatório Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x'} de acordo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x'|x_t)}

b) Calcule a probabilidade de aceitação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(x',x_t) = min \left(1,\frac{P(x')}{P(x_t)} \frac{g(x_t | x'}{x'|x_t} \right)}

c) Aceite ou rejeite:

1) Gere um número aleatório uniforme Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u \in [0,1]} ;

2) E se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u\leq A(x',x_t)} , aceite o novo estado e defina Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{t+1}=x'} ;

3) E se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u>A(x',x_t)} , rejeite o novo estado e copie o estado antigo para frente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{t+1}=x_t} ;

4) Incremente: coloque t = t + 1

Em nosso caso, a distribuição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{A(x,x')}{A(x',x)}} é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-\beta \Delta E}} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta E=E_{x'} - E_{x}} .

Resultados das simulações

Energia

Energia em cada MCS para Q indo de 2 até 10 e L = 64 utilizando algoritmo de Metropolis.
Energia média por MCS para Q = 2 e L = 64.	Energia média por MCS para Q = 3 e L = 64.
Energia média por MCS para Q = 4 e L = 64.	Energia média por MCS para Q = 5 e L = 64.
Energia média por MCS para Q = 6 e L = 64.	Energia média por MCS para Q = 7 e L = 64.
Energia média por MCS para Q = 8 e L = 64.	Energia média por MCS para Q = 9 e L = 64.
Energia média por MCS para Q = 10 e L = 64.	Energia média por MCS para Q = 100 e L = 64.

Magnetização

Magnetização em cada MCS para Q indo de 2 até 10 e L = 64 utilizando algoritmo de Metropolis.
Magnetização média por MCS para Q = 2 e L = 64.	Magnetização média por MCS para Q = 3 e L = 64.
Magnetização média por MCS para Q = 4 e L = 64.	Magnetização média por MCS para Q = 5 e L = 64.
Magnetização média por MCS para Q = 6 e L = 64.	Magnetização média por MCS para Q = 7 e L = 64.
Magnetização média por MCS para Q = 8 e L = 64.	Magnetização média por MCS para Q = 9 e L = 64.
Magnetização média por MCS para Q = 10 e L = 64.	Magnetização média por MCS para Q = 100 e L = 64.

Códigos utilizados

Metropolis - Potts 2D

Referências

D. P. Landau, K. Binder. A Guide Monte Carlo Simulations in Statistical Physics. Cambridge University. New York. 2000.

L. M. Barone, E. Marinari, G. Organtini, F. Ricci-Tersengui. Scientific Programming: C-Language, Algorithms and Models in Science. World Scientific. Singapore. 2013.