Modelo de Potts - 2D

O Modelo

Modelo de Potts pode ser considerado uma generalização do Modelo de Ising. Enquanto no Ising, os spins podem assumir valores 1 ou -1, no Modelo de Potts, os spins podem assumir valores que dependem de uma variavél $q$ da seguinte forma: $\theta _{n}={\frac {2\pi n}{q}}$. A quantidade $\theta _{n}$ nos fornece as possíveis orientações para os spins. Os valores que $n$ pode assumir são $n=0,1,2,...,q-1$. Dessa forma, um Modelo de Potts bidimensionaç com $q=10$ possui uma rede bidimensional de spins com 10 orientações diferentes.

O Hamiltoniano de interação, na ausência de campo magnético, pode ser escrito como

$H_{p}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})$

onde $J$ é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação e $\delta (s_{i},s_{j})$ é a delta de Kronecker, definida como 0 se $s_{i}=s_{j}$ e 1 se $s_{i}\neq s_{j}$.

Relação com o Modelo de Ising

O Modelo de Ising é obtido quando tomamos $q=2$ na expressão para $\theta _{n}$.

O Hamiltoniano de Ising pode ser escrito como o Hamiltoniano do Potts mais uma constante aditiva $H_{I}=H_{p}+\sum _{(i,j)}{\frac {J}{2}}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})+\sum _{(i,j)}{\frac {J}{2}}=-{\frac {J}{2}}\sum _{(i,j)}(2\delta (s_{i},s_{j})-1)$

Se incluírmos o campo magnético, o Hamiltoniado fica $H_{p}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})-\sum _{i}{\frac {1}{\beta }}h_{i}s_{i}$

Algoritmo de Metropolis

Vamos implementar o Modelo de Potts utilizando o algoritmo de Metropolis.

O algoritmo de Metropolis é um método de Cadeia de Markov Monte Carlo (MCMC) para obter amostras aleatórias a partir de uma distribuição de probabilidade da qual a amostragem direta é difícil. O procedimento para a implementação do algoritmo é apresentado abaixo.

1. Inicialize a) Escolha um estado inicial $x_{0}$; b) Coloque $t=0$

2. Itere a) Gere um estado candidato aleatório $x'$ de acordo $g(x'|x_{t})$

b) Calcule a probabilidade de aceitação $A(x',x_{t})=min\left(1,{\frac {P(x')}{P(x_{t})}}{\frac {g(x_{t}|x'}{x'|x_{t}}}\right)$

c) Aceite ou rejeite:

1) Gere um número aleatório uniforme Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u \in [0,1]} ;

2) E se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u\leq A(x',x_t)} , aceite o novo estado e defina Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{t+1}=x'} ;

3) E se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u>A(x',x_t)} , rejeite o novo estado e copie o estado antigo para frente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{t+1}=x_t} ;

4) Incremente: coloque t = t + 1

Em nosso caso, a distribuição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{A(x,x')}{A(x',x)}} é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-\beta \Delta E}} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta E=E_{x'} - E_{x}} .

Resultados

[[Arquivo: <arquivo> |thumb|right|500px| Simulação com o algoritmo de Metropolis para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T = 1K} .]]

Códigos utilizados

Metropolis - Potts 2D

Referências

D. P. Landau, K. Binder. A Guide Monte Carlo Simulations in Statistical Physics. Cambridge University. New York. 2000.

L. M. Barone, E. Marinari, G. Organtini, F. Ricci-Tersengui. Scientific Programming: C-Language, Algorithms and Models in Science. World Scientific. Singapore. 2013.