Trabalhos 2022-1: mudanças entre as edições
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===[[Modelo de Potts - 2D]] === | ===[[Modelo de Potts - 2D]] === | ||
Modelo de Potts pode ser considerado uma generalização do Modelo de Ising. Enquanto no Modelo de Ising, os spins podem assumir valores 1 ou -1, no Modelo de Potts, os spins podem assumir valores que depedem de <math>q</math>, onde <math>\theta_n = \frac{2\pi n}{q}</math> fornece as orientações possíveis para os spins. Os valores de <math>n</math> podem assumir os valores <math>n=0,1,2,...</math>$. | |||
O Hamiltoniano de interação, na ausência de campo magnético, pode ser escrito como | |||
<math>H_p = -J \sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) </math> | |||
onde <math>J</math> é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação e <math>\delta(s_i,s_j) </math> é a delta de Kronecker, definida como 0 se <math>s_i=s_j</math> e 1 se <math>s_i\neq s_j</math>. | |||
=Relação com o Modelo de Ising= | |||
O Modelo de Ising é obtido quando tomamos <math>q=2</math> na expressão para <math>\theta_n</math> e o Hamiltoniano de Ising pode ser escrito como o Hamiltoniano do Potts mais uma constante aditiva | |||
<math>H_I = H_p + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -J\sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -\frac{J}{2}\sum_{(i,j)} (2\delta(s_i,s_j) - 1) </math> | |||
Se incluírmos o campo magnético, o Hamiltoniado fica | |||
<math>H_p = -J \sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) - \sum_i \frac{h_i}{\beta} s_i</math> | |||
=Algoritmo de Metropolis= | |||
Vamos implementar o Modelo de Potts utilizando o algoritmo de Metropolis. | |||
O algoritmo de Metropolis é um método de Cadeia de Markov Monte Carlo (MCMC) para obter amostras aleatórias a partir de uma distribuição de probabilidade da qual a amostragem direta é difícil. O procedimento para a implementação do algoritmo é apresentado abaixo. | |||
1. Inicialize | |||
a) Escolha um estado inicial <math>x_0</math>; | |||
b) Coloque <math>t=0</math> | |||
2. Itere | |||
a) Gere um estado candidato aleatório <math>x'</math> de acordo <math>g(x'|x_t)</math> | |||
b) Calcule a probabilidade de aceitação <math>A(x',x_t) = min \left/(1,\frac{P(x')}{P(x_t)} \frac{g(x_t | x'}{x'|x_t} \right)</math> | |||
c) Aceite ou rejeite: | |||
1) Gere um número aleatório uniforme <math>u \in [0,1]</math>; | |||
2) E se <math>u\leq A(x',x_t)</math>, aceite o novo estado e defina <math>x_{t+1}=x'</math>; | |||
3) E se <math>u>A(x',x_t)</math>, rejeite o novo estado e copie o estado antigo para frente <math>x_{t+1}=x_t</math>; | |||
4) Incremente: coloque t = t + 1 | |||
Em nosso caso, a distribuição <math>\frac{A(x,x')}{A(x',x)}</math> é <math>e^{-\beta \Delta E}</math>, onde <math>\Delta E=E_{x'} - E_{x}</math> | |||
=Resultados= | |||
[[Arquivo: <arquivo> |thumb|right|500px| Simulação com o algoritmo de Metropolis para <math>T = 1K</math>.]] | |||
=Códigos utilizados= | |||
[[Metropolis - Potts 2D]] | |||
=Referências= | |||
D. P. Landau, K. Binder. A Guide Monte Carlo Simulations in Statistical Physics. Cambridge University. New York. 2000. | |||
L. M. Barone, E. Marinari, G. Organtini, F. Ricci-Tersengui. Scientific Programming: C-Language, Algorithms and Models in Science. World Scientific. Singapore. 2013. | |||
Edição das 10h16min de 17 de outubro de 2022
Potencial de Lennard-Jones
Modelo de Potts - 2D
Modelo de Potts pode ser considerado uma generalização do Modelo de Ising. Enquanto no Modelo de Ising, os spins podem assumir valores 1 ou -1, no Modelo de Potts, os spins podem assumir valores que depedem de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_n = \frac{2\pi n}{q}} fornece as orientações possíveis para os spins. Os valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} podem assumir os valores Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=0,1,2,...} $.
O Hamiltoniano de interação, na ausência de campo magnético, pode ser escrito como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_p = -J \sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) } onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J} é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta(s_i,s_j) } é a delta de Kronecker, definida como 0 se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i=s_j} e 1 se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i\neq s_j} .
Relação com o Modelo de Ising
O Modelo de Ising é obtido quando tomamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q=2} na expressão para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_n} e o Hamiltoniano de Ising pode ser escrito como o Hamiltoniano do Potts mais uma constante aditiva Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_I = H_p + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -J\sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -\frac{J}{2}\sum_{(i,j)} (2\delta(s_i,s_j) - 1) }
Se incluírmos o campo magnético, o Hamiltoniado fica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_p = -J \sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) - \sum_i \frac{h_i}{\beta} s_i}
Algoritmo de Metropolis
Vamos implementar o Modelo de Potts utilizando o algoritmo de Metropolis.
O algoritmo de Metropolis é um método de Cadeia de Markov Monte Carlo (MCMC) para obter amostras aleatórias a partir de uma distribuição de probabilidade da qual a amostragem direta é difícil. O procedimento para a implementação do algoritmo é apresentado abaixo.
1. Inicialize a) Escolha um estado inicial Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0} ; b) Coloque Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=0} 2. Itere a) Gere um estado candidato aleatório Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x'} de acordo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x'|x_t)} b) Calcule a probabilidade de aceitação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(x',x_t) = min \left/(1,\frac{P(x')}{P(x_t)} \frac{g(x_t | x'}{x'|x_t} \right)} c) Aceite ou rejeite: 1) Gere um número aleatório uniforme Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u \in [0,1]} ; 2) E se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u\leq A(x',x_t)} , aceite o novo estado e defina Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{t+1}=x'} ; 3) E se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u>A(x',x_t)} , rejeite o novo estado e copie o estado antigo para frente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{t+1}=x_t} ; 4) Incremente: coloque t = t + 1
Em nosso caso, a distribuição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{A(x,x')}{A(x',x)}} é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-\beta \Delta E}} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta E=E_{x'} - E_{x}}
Resultados
[[Arquivo: <arquivo> |thumb|right|500px| Simulação com o algoritmo de Metropolis para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T = 1K} .]]
Códigos utilizados
Referências
D. P. Landau, K. Binder. A Guide Monte Carlo Simulations in Statistical Physics. Cambridge University. New York. 2000.
L. M. Barone, E. Marinari, G. Organtini, F. Ricci-Tersengui. Scientific Programming: C-Language, Algorithms and Models in Science. World Scientific. Singapore. 2013.