Equação de Swift-Hohenberg 2D

Trabalho desenvolvido no semestre de 2022/1 pelo aluno Artur Uhlik Fröhlich para a disciplina de Métodos Computacionais da Física C, ministrada pelo Professor Heitor Carpes Marques Fernandes.

Introdução

O problema escolhido foi a integração numérica da equação de Swift-Hohenberg em duas dimensões.

Boa parte dos aspectos teóricos desse trabalho tem como base o livro Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems, Cross & Greenside .

Essa equação pode aparecer nos estudos sobre convexão, equações diferenciais não lineares, formação de padrões e sistemas de não-equilíbrio. Ela possui diferentes versões mas a escolhida para esse trabalho foi a seguinte:

$\partial _{t}u=(r-1)u-2\nabla ^{2}u-\nabla ^{4}u-u^{3}$

na qual a dinâmica depende somente do parâmetro r.

O contexto de derivação dessa equação foi a convexão de Rayleigh-Bénard. Essa formulação possui virtudes mais analíticas do que práticas e apresenta vários aspectos comuns a modelos de formação de padrões e não é considerado uma descrição precisa de nenhum sistema experimental em específico.

Modificações dessa equação na sua parte não linear e nos coeficientes dos operadores diferenciais geram uma família extensa de EDPs não lineares que então podem servir de base para modelos de sistemas físicos reais.

Integração em 1D

O objetivo final é chegar na Equação de Swift-Hohenberg em duas dimensões mas antes é pertinente verificar a integração em uma dimensão.

Para realizar a integração foram utilizadas as FFTs (Transformadas Rápidas de Fourier) e o método foi baseado nos vídeos e livro do Professor Steven Bruton .

O princípio do método é utilizar as transformadas para calcular as derivadas no espaço transformado (que são bem mais simples) e retornar com esses valores para o espaço cartesiano e então com as derivadas calculadas é realizada a evolução temporal utilizando o método de Euler explícito (no caso desse trabalho a integração em 1-D utilizou o integrador da biblioteca Scipy).

Então antes de adentrar no código é preciso fazer a transformada da equação em 1-D, dado que:

${\mathcal {F}}\{u(x,t)\}={\hat {u}}(k,t)$

${\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}\right\}=(ik)^{n}{\hat {u}}$

Então a equação fica:

${\mathcal {F}}\left\{{\frac {du}{dt}}\right\}=(r-1){\hat {u}}+2k^{2}{\hat {u}}-k^{4}{\hat {u}}-{\hat {(u^{3})}}$

Dessa maneira transformamos uma equação diferencial parcial em uma equação diferencial ordinária, pois só possui a derivada temporal.

Com isso é possível escrever um código capaz de fazer a transformada do estado, calcular as derivadas no espaço de Fourier e voltar para o espaço cartesiano e realizar a evolução temporal, tudo isso dentro de um passo da integração.

O código é análogo ao que será apresentado posteriormente em duas dimensões então somente os resultados serão mostrados aqui (todos os códigos se encontram no link para o GitHub )

Para testar o comportamento da equação perante diferentes valores do parâmetro r, teste esse inspirado pela análise de instabilidade linear feita no capítulo 2 do livro do Cross & Greenside, na qual é encontrado que o valor crítico de r é 0, e que para r<0 o estado tem uma evolução diferente em comparação com r>0, exemplos disso são as integrações a seguir:

Diferentes integrações da Equação de Swift-Hohenberg em uma dimensão usando r=-0.1 (azul) e r=0.1 (vermelho)

Pode-se notar que para r<0 a solução se torna estável, estabiliza no 0, e para r>0 o estado é instável e se mantém em constante movimento mas com as "ondas" de magnitude constante.

Com esses resultados podemos ir para a integração em duas dimensões.

Integração em 2D

Para começar a explicar o código devemos discretizar o espaço de Fourier com os seus respectivos números de onda kappa para cada dimensão (já que o campo escalar tem duas dimensões a transformada retorna um campo também de duas dimensões só que no espaço de Fourier).

Os parâmetros N e L determinam o tamanho do campo escalar e a sua definição, testes realizados com esse código retornam um limite inferior de aproximadamente de 0.39 no parâmetro dx.

# Todos os parâmetros estão aqui:
N = 256
L = 100
dx = L/N
r = 0.25
dt = 0.0001
tf = 100
checkpoint = 500
# *-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*
x = np.arange(-L/2, L/2, dx)
y = np.arange(-L/2, L/2, dx)
size = len(x)

# Os coeficientes
kx = 2 * np.pi * np.fft.fftfreq(N, d=dx)
ky = 2 * np.pi * np.fft.fftfreq(N, d=dx)
kappax, kappay = np.meshgrid(kx, ky)

Em seguida está a função que utiliza a FFT para calcular o lado direito da equação. Com os métodos da biblioteca Scipy o campo escalar inicial será transformado e com ele serão aplicadas as propriedades das transformadas de Fourier para as derivadas da seguinte maneira.

Dado que:

${\mathcal {F}}\{u(x,y,t)\}={\hat {u}}(kx,ky,t)$

${\mathcal {F}}\{\partial ^{n}u\}=(ik)^{n}{\hat {u}}$

O lado direito da equação transformado então fica assim:

${\mathcal {F}}\{\partial _{t}u\}=(r-1){\hat {u}}+2kx^{2}{\hat {u}}+2ky^{2}{\hat {u}}-kx^{4}{\hat {u}}-ky^{4}{\hat {u}}-2kx^{2}ky^{2}{\hat {u}}-{\hat {(u^{3})}}$

Todo esses termos ao lado direito foram chamados de RHS (Right Hand Side) e calculados na função seguinte.

def rhs(u, kappax, kappay, r):
    '''
    Calcula o lado direito da EDP
    '''
    kpx2 = np.power(kappax, 2)
    kpx4 = np.power(kappax, 4)
    kpy2 = np.power(kappay, 2)
    kpy4 = np.power(kappay, 4)
    uhat = fft2(u)
    uhat3 = fft2(u**3)
    duhatx2 = kpx2 * uhat
    duhaty2 = kpy2 * uhat
    duhatx4 = kpx4 * uhat
    duhaty4 = kpy4 * uhat
    duhatxy = kpx2 * kpy2 * uhat
    duhat = (r - 1)*uhat + 2*duhatx2 + 2*duhaty2 - duhatx4 - duhaty4 - 2*duhatxy - uhat3
    dut = ifft2(duhat)
    return dut.real

Como essa função retorna nosso vetor de estado no espaço cartesiano isso possibilita a realização da evolução temporal da equação utilizando o método de Euler explícito, a partir da criação de um estado inicial (um campo escalar que nesse caso foi inicializado utilizando uma distribuição uniforme de números aleatórios).

# Matriz do estado inicial
u0 = np.random.uniform(-1, 1, (size, size))

# Array da evolução temporal
track = [copy.deepcopy(u0)]

# A integração ocorre aqui
c = 0
t = np.arange(0, tf, dt)
for ti in t:
    c += 1
    u0 += dt * rhs(u0, kappax, kappay, r)
    if c % checkpoint == 0:
        track.append(copy.deepcopy(u0))
    if ti % 2 == 0:
        print(f't = {ti}')

Resultados

Foi realizada a integração com diferentes valores de r para testar as características vistas em uma dimensão, abaixo está o resultado de uma integração usando um r<0:

Integração de Swift-Hohenberg em 2D utilizando r=-0.25

Parece uma imagem chata e sem graça mas o que ela nos mostra é que o estado evoluiu para uma solução estável em 0, assim como encontrado em 1 dimensão anteriormente.

Realizando a integração com um valor de r>0 obtemos o seguinte:

Integração de Swift-Hohenberg em 2D utilizando r=0.25 e dt=0.0001

Podemos ver que para um r>0 o estado não atinge o equilíbrio e evolui constantemente, exemplificando mais uma vez o resultado obtido em 1D.

Outra característica interessante de se notar em 2D se chama "coarsening" que pode ser traduzida como "engrossamento". Esse é o efeito que vemos na evolução do padrão no qual ele vai aumentando as áreas de domínio das suas faixas.

Podemos ver a evolução desses padrões no vídeo da integração gerado por um dos códigos presentes no GitHub.

Outro exemplo desse efeito (coarsenning) também pode ser visto na literatura:

Simulação da equação de Swift-Hohenberg em uma grande geometria periódica de tamanho 256 × 256 com r = 0.25, começando com condições iniciais aleatórias . O aumento do tamanho médio do domínio no painel (a) no tempo 10 para o painel (b) no tempo 10000 é o chamado “coarsening”.)