Grupo2 - Ondas1

Introdução

A modelagem numérica vem se tornando cada vez mais uma ferramenta indispensável para um engenheiro. Tal modelagem pode trazer informações importantes para entender como melhor abordar o desenvolvimento de um projeto, neste caso, um que envolva ondas. Nós, como futuros engenheiros físicos, pensamos em trazer um problema mais "concreto", de engenharia costeira e portuária, que pode ou não surgir em nossas vidas profissionais mas cujo método de solução certamente estará presente. Aqui será apresentado um modelo baseado em uma condição inicial e um perfil topográfico do local estudado que descreve a evolução temporal de uma onda.

Para testarmos os diferentes métodos, utilizaremos a equação da onda em uma dimensão, que é uma equação diferencial parcial de segunda ordem, para modelarmos uma corda:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

em que $u(x,t)$ é o deslocamento vertical da corda e $0<x<L$, com $L$ o comprimento da corda.

Admitindo $c=1$,

${\frac {\partial }{\partial t}}{\Big (}{\frac {\partial u}{\partial t}}{\Big )}={\frac {\partial }{\partial x}}{\Big (}{\frac {\partial u}{\partial x}}{\Big )}$ .

Uma vez que os métodos citados abaixo são para equações de primeira ordem, é necessário separarmos a equação em um sistema de equações, fazendo a substituição $v={\frac {\partial u}{\partial t}}$ e $w={\frac {\partial u}{\partial x}}$:

$\left\{{\begin{array}{cc}{\frac {\partial v}{\partial t}}={\frac {\partial w}{\partial x}}\\\\{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial w}{\partial t}}\\\end{array}}\right.$

As condições de contorno são $u(0,t)=u(L,t)=0$ (pontas fixas), e as condições iniciais são $u(x,0)=\sin {\frac {\pi x}{L}}$ e ${\frac {\partial u}{\partial t}}(x,0)=0$

Algoritmos

Apresentaremos aqui três abordagens diferentes para a solução da equação diferencial parcial apresentada, e após, seus respectivos erros associados.

Método de Lax-Friedrichs

Esse método consiste em discretizar as equações no esquema FTCS, ou seja

$v_{j}^{n+1}=v_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j+1}^{n}-w_{j-1}^{n})$,

$w_{j}^{n+1}=w_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(v_{j+1}^{n}-v_{j-1}^{n})$ ,

Entretanto, para tornarmos o método estável, é necessário trocarmos os termos $v_{j}^{n}$ e $w_{j}^{n}$ por sua média espacial

$v_{j}^{n+1}={\Big (}{\frac {v_{j-1}^{n}+v_{j+1}^{n}}{2}}{\Big )}+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j+1}^{n}-w_{j-1}^{n})$,

$w_{j}^{n+1}={\Big (}{\frac {w_{j-1}^{n}+w_{j+1}^{n}}{2}}{\Big )}+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(v_{j+1}^{n}-v_{j-1}^{n})$,

$u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+v_{j}^{n}\Delta t$,

Agora vamos unir todas as equações, para que no programa possamos iterar apenas uma equação ao invés de três.

$u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+{\Big (}{\frac {u_{j-1}^{n}+u_{j+1}^{n}}{2}}{\Big )}-{\Big (}{\frac {u_{j-1}^{n-1}+u_{j+1}^{n-1}}{2}}{\Big )}+{\frac {(\Delta t)^{2}}{4(\Delta x)^{2}}}{\Big (}u_{j-2}^{n-1}-2u_{j}^{n-1}+u_{j+2}^{n-1}{\Big )}$.

Método de Leapfrog

Neste método utilizamos os pontos intermediários da discretização. Para v temos

${\frac {v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}-v_{j}^{n-{\frac {1}{2}}}}{\Delta t}}={\frac {w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}-w_{j-{\frac {1}{2}}}^{n}}{\Delta x}}$,

$v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}=v_{j}^{n-{\frac {1}{2}}}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}-w_{j-{\frac {1}{2}}}^{n})$,

Para w temos

${\frac {v_{j+1}^{n+{\frac {1}{2}}}-v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}}{\Delta x}}={\frac {w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+1}-w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}}{\Delta t}}$,

$w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+1}=w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}{\Big (}v_{j+1}^{n+{\frac {1}{2}}}-v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}{\Big )}$,

Para u temos

$v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {\partial u}{\partial t}}{\Big |}_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {u_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}-u_{j}^{n}}{\Delta t}}$,

$u_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}=u_{j}^{n}+v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t$,

Juntando todas elas temos

$u_{j}^{n+1}=2u_{j}^{n}-u_{j}^{n-1}+{\frac {(\Delta t)^{2}}{(\Delta x)^{2}}}(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n})$,

Método de Lax-Wendroff de Dois Passos

$v_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}(v_{j+1}^{n}+v_{j}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j+1}^{n}-w_{j}^{n})$,

$v_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}(v_{j}^{n}+v_{j-1}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j}^{n}-w_{j-1}^{n})$,

Para w resulta em:

$w_{j}^{n+1}=w_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}{\Bigg [}{\frac {1}{2}}(v_{j+1}^{n}-v_{j-1}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j+1}^{n}-2w_{j}^{n}+w_{j-1}^{n}){\Bigg ]}$,

Agora encontraremos a equação para v:

$v_{j}^{n+1}=v_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}{\Big (}w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}-w_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}{\Big )}$,

Sendo que:

$w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}(w_{j+1}^{n}+w_{j}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(v_{j+1}^{n}-v_{j}^{n})$,

$w_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}(w_{j}^{n}+w_{j-1}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(v_{j}^{n}-v_{j-1}^{n})$,

Para v resulta em:

$v_{j}^{n+1}=v_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}{\Bigg [}{\frac {1}{2}}(w_{j+1}^{n}-w_{j-1}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(v_{j+1}^{n}-2v_{j}^{n}+v_{j-1}^{n}){\Bigg ]}$,

E finalmente temos a equação unificada das outras em u:

$u_{j}^{n+1}=2u_{j}^{n}-u_{j}^{n-1}+{\frac {(\Delta t)^{2}}{2(\Delta x)^{2}}}{\Bigg [}{\Big (}{\frac {u_{j+2}^{n-1}-u_{j}^{n-1}}{2}}{\Big )}-{\Big (}{\frac {u_{j}^{n-1}-u_{j-1}^{n-1}}{2}}{\Big )}+u_{j+1}^{n}-u_{j+1}^{n-1}-2u_{j}^{n}+2u_{j}^{n-1}+u_{j-1}^{n}-u_{j-1}^{n-1}{\Bigg ]}$,

Análise de erros e estabilidade

A análise de erros se torna mais evidente durante a escolha do parâmetro $k$, onde $k={\frac {dt}{dx}}$. Valores grandes trazem pouca acurácia, e valores pequenos necessitam de muito poder de computação (tempo e dinheiro). Trazemos problemas mais simplificados como um "guia" de escolha do parâmetro.

A partir do cálulo da solução analítica da equação da onda, podemos calcular quanto o valor obtido pelos métodos difere da solução real, o que leva a uma visualização do erro corrente em cada método de integração.

Comparação do erro global entre os três métodos estudados

Podemos observar a ordem com que os erros crescem à medida que o parâmetro k se torna maior. Lembrando que os valores da constante são determinados pela discretização do espaço e do tempo.

Simulação de Propagação de Onda 2D Dependente de Topografia

O modelo mais simples parte da equação da onda [1], acrescentando o termo $H(x,y,t)$.

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\Big (}{\frac {\partial }{\partial x}}H(x,y,t){\frac {\partial u}{\partial x}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {\partial }{\partial y}}H(x,y,t){\frac {\partial u}{\partial y}}{\Big )}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial t^{2}}}$ ,

Sendo $H(x,y,t)$ uma representação da profundidade em águas calmas. Em uma situação real, pode-se obtê-la por mapeamento eletrônico do terreno por sistema de sonar.

Como primeira abordagem visando uma análise em 2D, a integração da equação em 1D (mesmo sendo uma situação muito idealizada) já traz resultados interessantes. Podemos observar, por exemplo, que a amplitude da onda cresce perto da costa. Esta informação por si só ajuda na construção de proteção contra quebra de ondas, pois é obtido o tamanho que as mesmas atingem.

É importante notar o quão poderosa é a integração de equações parciais na vida de um engenheiro.

A dependência em $t$ de $H(x,y,t)$ permite um modelo no qual o terreno se modifica com o tempo. Isto é, pode-se observar o efeito que o deslocamento de placas tectônicas, deslizamentos, e até explosões provocam no comportamento das ondas na costa de um país e o reconhecimento de áreas críticas.

Estendendo o algoritmo do Leap-Frog à situação 2D, obtemos, para uma dada condição inicial e $H(x,y,t)=C$, onde $C$ é uma constante:

Simulação em 2D de ondas em águas com profundidade constante, visão de cima

Simulação em 2D de onda em águas com profundidade constante, visão em ângulo

Podemos então, analisar como a mesma condição inicial se porta quando $H(x,y,t)$ descreve uma gaussiana na origem:

Simulação em 2D de ondas em águas com gaussiana na origem, visão de cima

Simulação em 2D de onda em águas com gaussiana na origem, visão em ângulo

Bibliografia

¹"The Wave Equation in 1D and 2D," por Knut–Andreas Lie, Dept. of Informatics, University of Oslo; disponível em: [1]; Último acesso em 23/10/2017.

²"Digital terrain mapping of the underside of sea ice from a small AUV," por Wadhams, M. J. Doble; disponível em: DOI: 10.1029/2007GL031921 ; Último acesso em 23/10/2017.

² Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.