Números Aleatórios

Introdução

Existem na natureza processos de caráter estocástico, cujo resultado não pode ser predito a priori. Os exemplos típicos são o lançamento de uma moeda, o jogo dos dados ou a roleta. Em cada um desses casos sabemos quais são os resultados possíveis, porem não ha como predizer o resultado da próxima jogada. Entretanto podemos sim dizer qual será resultado em termos estatísticos de um grande número de jogadas: se lançarmos 1000 vezes uma moeda aproximadamente 50% das vezes o resultado será cara, e a percentagem será cada vez mais próxima de 50% quanto maior o número de lançamentos. O mesmo pode ser dito da roleta: num grande número de jogadas aproximadamente 1/37 das vezes terá dado o 17 por exemplo. Embora não seja suficiente para ganhar no jogo é um resultado previsível do ponto de vista estatístico. De uma outra forma, se nos fosse permitido colocar uma ficha nos pares e no zero ao mesmo tempo repetindo a jogada um grande número de vezes, teríamos lucro no final das contas.

Por outra parte existem na física processos cuja natureza é em principio determinística, cujo resultado é, em princípio, previsível conhecendo as condições inicias, mas que na prática resulta impossível como por exemplo a exata trajetória das moléculas de um gás.

Mesmo assim poderíamos integrar as equações de Newton de N partículas (moléculas ou planetas) com um dos algoritmos estáveis usados na unidade anterior: o Euler-Cromer ou de preferência o Verlet. O principio é o mesmo que no caso de uma única partícula como foi o caso do oscilador harmônico unidimensional. No caso de N partículas existem algumas complicações adicionais pois é necessário somar a força que as N-1 partículas fazem em uma dada partícula. À integração numérica das equações de movimento de N partículas é dada o nome de Dinâmica Molecular. O método é muito usado é viável num PC até 100000 ou 1 milhão de partículas. Porem depois de um determinado tempo a trajetória obtida para uma dada partícula pode estar muito afastada da trajetória teórica. No fundo acontece algo parecido com o problema da moeda. Ele é em princípio um problema determinístico mas na prática resulta randômico. Se diz que são problema sensíveis as condições iniciais: uma pequena variação na posição ou velocidade inicial da moeda se traduz numa trajetória muito diferente depois de um certo tempo.

Mas no caso de um gás, no fim não interessa pois nada importa a posição exata de uma dada molécula, o que importa são as propriedades estatísticas do sistema com um todo. Fazendo o análogo com o problema da moeda, é saber que proporção de cara ou coroa teremos depois de N lançamentos. No gás as medidas que interessam são a pressão, energia, temperatura, etc, propriedades médias do sistema em equilíbrio.

Dependendo das propriedades de interesse e dada essa caraterística randômica do movimento individual complexo de uma molécula qualquer, podemos adotar um modelo mais simples para simular o comportamento do sistema que o método de Dinâmica Molecular, relativamente difícil de programar. Tomemos o exemplo de um gás que está inicialmente contido numa metade de uma caixa, que está dividida ao meio por uma parede com um fim pequeno furo pelo qual pode passar uma molécula por vez. Sabemos que depois de um tempo o sistema alcançará o equilíbrio e que o número médio de partículas em cada metade da caixa será N/2.

Uma maneira simples de simular esse processo e supor que as partículas não interagem entre elas e que a probabilidade (por unidade de tempo) de uma dada partícula trocar de lado e a mesma para todas independente do lado da caixa na qual se encontre. Podemos implementar esse modelo escolhendo aleatoriamente uma partícula e trocá-la de lado. Acompanhando este processo no tempo deveríamos observar a evolução do sistema ao equilíbrio.

Números aleatórios

Para implementar esse modelo precisamos números aleatórios. Os verdadeiros números aleatórios são aqueles que resultam de um experimento estocástico, como os exemplos citados ao começo: moeda, dados, roleta. Mas para poder usar em cálculos no computador devemos achar um método mais rápido de gerar um seqüência de números aleatórios, deve ser o própio computador quem forneça essa seqüência. Isso é possível como veremos em seguida, porem eles não são estritamente aleatórios, eles parecem não obedecer a nenhum padrão, nenhuma seqüência lógica parece estar por trás desses números, mas na verdade se trata de uma seqüência completamente previsível, só para quem conhece a regra de geração da seqüência, ou seja ninguém poderia acertar o próximo número a menos que conheça a receita. Ou seja, que podem se comportar como números aleatórios tão bons quanto os verdadeiros. Por isso são as vezes chamados de pseudo-aleatórios.

Uma maneira de gerar uma seqüência assim é por meio da operação de congruência (resto da divisão inteira):

xn+1 = resto { (a xn + b)/m }

onde a, b, m e os xn são todos números inteiros. Dependendo da escolha dos inteiros a, b e m, a sequencia de números {x1, x2, ..., xn} é uma sequencia randómica dos números entre 1 e m. A melhor maneira de entender como isso funciona é com um exemplo: Seja a=4, b=3 e m=1, e seja o x inicial x0= 2

Em python, o método da congruência pode ser implementado da seguinte forma:

# gerador de num aleatorios de congruencia
def randi():
    global x
    a = 1029; b= 221591; m = 1048576
    x = (a*x + b) % m
    return x

# entrar aqui um interiro como semente inicial
x = int(input('semente (entrar inteiro)? '))
for i in range(10):
    n = randi()
    print(i,n)

Exemplos

Como uma solução nativa em Python temos a biblioteca random, para obter um número aleatório entre 0 e 1 podemos utilizar random(), ou randint(a,b) para inteiros entre (incluindo) a e b:

import random
print("Número aleatório: ",random.random()) # Frações no conjunto [0,1)
print("Roleta:",random.randint(0,37))       # Inteiros no conjunto [0,37]
print("Dado:",int(random.random()*6)+1)     # Inteiros no conjunto [1,6]
print("Moeda: ", 2*random.randint(0,1)-1)   # Inteiros no conjunto {-1,1}

O caminhante aleatório, pode ser facilmente implementado, tanto para se ter a mesma probabilidade de se mover em qualquer direção quanto para probabilidades diferentes.

import random
import matplotlib.pyplot as plt

n = 1000000 #Número de passos
p =0.5    #probabilidade de ir para o lado direito
x=[0]     #Posição inicial
c=0       #contador
for j in range(n):                #Com n passos em cada repetição
  dx = (+1) if (random.random()<=p) else (-1)
  x.append(x[j]+dx)               #Atualizamos a posição
  c = (c+1) if (dx>0) else (c)    #Atualizamos o contador
plt.plot(x)       
print("A particula se moveu para a direita {:.2f}% das vezes".format(100*c/n))

Também podemos implementar uma "apuração" de uma eleição. Por exemplo supondo que determinado candidato tem p% de chance de receber um voto, então:

import random
import matplotlib.pyplot as plt

p =0.5    #probabilidade do candidato ser votado
v=[0]     #Quantidade de votos em %
T=0       #Quantidade de votos totais
for i in range(1,1601): #Quantidade de candidatos
  x=(1) if (random.random()<=p) else (0)
  T+=x
  v.append(T/i)
plt.plot(v)       

Um histograma é um meio interessante para analisar alguns resultados. Considerando um jogo no qual uma moeda é jogada M vezes, e se repetimos o jogo por N vezes, podemo montar um histograma sobre a quantidade de caras que obtemos.

from matplotlib.ticker import FormatStrFormatter
import random
import matplotlib.pyplot as plt

N = 10000 #Quantidade de jogos
M = 100   #Quantidade de vezes que jogamos a moeda em cada jogo
res=[]    #Onde vamos guardar cada resultado
for i in range(N): #Vamos jogar N 
  s=0
  for j in range (M): #M moedas
    p=random.random()<0.5
    s = (s+1) if (p) else (s) #Soamos se saiu cara
  res.append(s) 
plt.hist(res,bins=[i for i in range(M+1)])
plt.show()

Gás na caixa

E por fim, podemos implementar a simulação do gás na caixa em Python da seguinte forma:

import random
import matplotlib.pyplot as plt

N = 1000     #Quantidade de partículas
cx =N*[0]    #Consideramos 0 à esquerda, e 1 à direita
np = 10000   #Número de pasos
t = [sum(cx)]#Quantidade de partícula a direita

for i in range(np):
  j=random.randint(0,N-1) #Pegamos um índice
  cx[j] = (1) if (cx[j]==0) else (0)
  t.append(sum(cx))

plt.plot(t)

A continução temos um exemplo de código FORTRAN também implementando a simulação do exemplo do gas na caixa. No exemplo simulamos 1000 partículas e fica como exercício decidir que variáveis imprimir e como calculá-las. Também se é necessário imprimir a cada passo da simulação.

!Aula5: Programa Gas, simulação com 1000 partículas
Program Gas
Implicit None
Real*8 Randi
Integer N, i, j, t, x
Parameter (N = 1000)
Integer Box(N)

Read(*,*) t, x  !t:tempo de simulação, x:semente de Randi

Do i = 1, N
   Box(i) = -1
End Do

Do j = 1, t
   i = N*Randi(x)+1
   Box(i) = -Box(i)
   Print*, j, 'deixo/vc(exercício 2)'
End Do

End Program Gas

Observações sobre FORTRAN:

  1. Parameter é para assignar (em tempo de compilação) um valor fixo a uma variável que não pode mudar durante a execução do programa, evitando o erro decorrente de uma alteração involuntária por distração, etc.
  2. O segundo novo elemento é o vector A(10) ou B(5,20).
     No caso que nos ocupa é Box(N); a utilidade dele fica evidente no própio programa: de uma vez só definimos uma variável a qual, por meio do indice, permite guardar o estado de um grande número de variáveis. Neste caso são as posições das 1000 partículas.

Exercícios:

  1. Graficar a evolução temporal das partículas a esquerda e a direita da parede (ver figura acima).
  2. Observe o "tempo" necessário para entrar em regime estacionário. Como varia esse tempo se mudarmos o número de partículas. Você pode estabelecer uma relação entre t e N?
  3. Implemente uma maneira de calcular a média de partículas num lado da caixa (precissa os dois?) e veja como varia no tempo.
  4. Depende do intervalo usado para calcular a média?
  5. Observe a variação no número de partículas no regime estacionário. Implemente uma forma de quantificar essa variação no seu programa. Ou seja a desvio cuadrático médio ou flutuação
  6. Quantifique a dependencia do desvio no regime estacionário com o número de partículas

Campo médio

Escrevendo então a quantidade de partículas no lado direto da caixa em um tempo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle t} como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{+}\left(t\right)} então escrevemos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_{+}\left(t+1\right)=n_{+}\left(t\right)-p_{+}\left(t\right)+p_{-}\left(t\right)}

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p_{+}\left(t\right)} é a probabilidade de encontrar uma partícula no lado direito no instante Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle t} . Ou seja, uma vez que qualquer partícula pode ser selecionada com a mesma probabilidade, então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{+}\left(t\right)=\frac{n_{+}\left(t\right)}{N},\qquad p_{+}\left(t\right)=1-\frac{n_{+}\left(t\right)}{N},}

Substituindo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} n_{+}\left(t+1\right) & =n_{+}\left(t\right)-\frac{n_{+}\left(t\right)}{N}+1-\frac{n_{+}\left(t\right)}{N}\\ & =n_{+}\left(t\right)+1-2\frac{n_{+}\left(t\right)}{N}\\ n_{+}\left(t+1\right)- & n_{+}\left(t\right)=1-\frac{2n_{+}\left(t\right)}{N}\end{align}}

Esta é a taxa de variação em um passo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \Delta t=1} . Então podemos obter o seguinte modelo de campo médio:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dt}n_{+}\left(t\right)=1-\frac{2n_{+}\left(t\right)}{N}\longrightarrow n_{+}\left(t\right)=\frac{N}{2}\left(1-e^{-\frac{2t}{N}}\right)}

import random
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

N = 10000     #Quantidade de partículas
cx =N*[0]     #Consideramos 0 à esquerda, e 1 à direita
al = [0]      #Solução analítica para a quantidade de partículas à direita
NP = 30000    #Número de pasos
t = [sum(cx)] #Quantidade de partícula a direita

for i in range(NP):
  j=random.randint(0,N-1)               #Pegamos um índice
  cx[j] = (1) if (cx[j]==0) else (0)    #Números aleatórios
  t.append(sum(cx))
  al.append((1-np.exp(-2*(i+1)/N))*N/2) #Campo médio

plt.plot(t,label="Número aleatórios")
plt.plot(al,label="Campo-médio")
plt.legend()                 

O campo médio nos dá a média de várias trajetórias no sistema, isto é, se somássemos todas trajetórias do sistema, o que obtemos representa a média de infinitas trajetórias. Logo o campo-médio não só representa a média de várias trajetórias com baixas partículas, mas a medida que aumentamos o número de partículas, ele se aproxima desta trajetória.

Valor médio e variância

Tendo o valor médio de partículas a direita dado por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle n_{+}\right\rangle =\frac{1}{\tau}\sum_{t=t_{i}}^{t_{i}+\tau}n_{+}\left(t\right)}

Então a variância pode ser escrita como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma^{2}=\frac{1}{\tau}\sum_{t=t_{i}}^{t_{i}+\tau}\left(n_{+}\left(t\right)-\left\langle n_{+}\right\rangle \right)^{2}}

Uma vez que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sigma^{2} & =\frac{1}{\tau}\sum_{t=t_{i}}^{t_{i}+\tau}\left(n_{+}\left(t\right)-\left\langle n_{+}\right\rangle \right)^{2}\\ & =\frac{1}{\tau}\sum_{t=t_{i}}^{t_{i}+\tau}\left(n_{+}^{2}+\left\langle n_{+}\right\rangle ^{2}-2n_{+}\left\langle n_{+}\right\rangle \right)\\ & =\frac{1}{\tau}\sum_{t=t_{i}}^{t_{i}+\tau}n_{+}^{2}+\frac{1}{\tau}\sum_{t=t_{i}}^{t_{i}+\tau}\left\langle n_{+}\right\rangle ^{2}-\frac{2}{\tau}\sum_{t=t_{i}}^{t_{i}+\tau}n_{+}\left\langle n_{+}\right\rangle \\ & =\left\langle n_{+}^{2}\right\rangle +\frac{\left\langle n_{+}\right\rangle ^{2}}{\tau}\sum_{t=t_{i}}^{t_{i}+\tau}\left(1\right)-2\left\langle n_{+}\right\rangle \left[\frac{1}{\tau}\sum_{t=t_{i}}^{t_{i}+\tau}n_{+}\right]\\ & =\left\langle n_{+}^{2}\right\rangle +\left\langle n_{+}\right\rangle ^{2}\frac{\tau}{\tau}-2\left\langle n_{+}\right\rangle \left\langle n_{+}\right\rangle \end{align}}

Logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma^{2}=\left\langle n_{+}^{^{2}}\left(t\right)\right\rangle -\left\langle n_{+}\right\rangle ^{2}}

Distribuição binomial

Voltando ao exemplo do caminhante aleatório, considerando que tem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p} probabiliade de ir a direita (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle q=1-p} de ir à esquerda), após Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N} passos, tendo dado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{1}} passos à direita (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{2}=N-n_{1}} à esquerda), então a sua posição final é dada por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle m=n_{1}-n_{2}} .

Como teve Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N=n_{1}+n_{2}} passos, então sbustituindo em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle m=n_{1}-n_{2}} podemos reescrever:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_{1}=\frac{N+m}{2}\qquad n_{2}=\frac{N-m}{2}}

A probabilidade pra uma sequência de pulos é apenas o produto das probabilidades dos pulos indivíduais, pois são eventos independentes. Então a probabilidade de fazer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{1}} pulos pra a direita e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{2}} pulos para esquerda é apenas:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p^{n_{1}}q^{n_{2}}=p^{\frac{N+m}{2}}q^{\frac{N-m}{2}}}

Agora precisamos multiplicar pelo número total de caminhos possíveis tendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{1}} passos para a direita e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{2}} passos para a esquerda, pois na equação acima temos apenas a probabilidade de um caminho, e estamos interessados na probabilidade final de estar na posição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle m} após Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N} passos, independente do caminho.

Isto é o número de modos que podemos colocar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{1}} objetos (de um total Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N} ) em uma ’caixa’ Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{2}} em outra, lembrando que os objetos são essencialmente idênticos, só muda onde estamos guardando. Isto é de um conjunto de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N} “saltos” que vamos fazer, podemos escolher qualquer um dos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N} como a primeira escolha, então temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N-1} opções como a segunda escolha, e sucessivamente, ao total temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N!} arranjos possíveis. Porém todos os saltos à esquerda (ou bolinhas em uma caixa) são essencialmente os mesmos, e temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{2}!} ordens possíveis de salto a esquerda, sendo que todas são iguais, do mesmo modo temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{1}!} ordens possíveis de saltos a direita.

Para facilitar, vamos ilustrar com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N=4} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{1}=n_{2}=2} . Isto é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle m=0} . temos quatro saltos, 2 à esquerda Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{E}^{1},s_{E}^{2}\right\}} e 2 a direita Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ S_{D}^{1},S_{D}^{2}\right\}} . Há Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 4!=24} formas de começar na posição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 0} e terminar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 0} , em um primeir momentos temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 4} saltos diferentes para escolher, depois vamos ter Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 3} , então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 2} .... Por exemplo se escolhemos primeiro Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle s_{E}^{1}} , nos resta ${\textstyle \left\{s_{E}^{2},S_{D}^{1},S_{D}^{2}\right\}}$, que pode ser rearranjado de ${\textstyle 6}$ formas diferentes:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{E}^{1},s_{E}^{2},S_{D}^{1},S_{D}^{2}\right\}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{E}^{1},s_{E}^{2},S_{D}^{2},S_{D}^{1}\right\}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{E}^{1},S_{D}^{1}s_{E}^{2},S_{D}^{2}\right\}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{E}^{1},S_{D}^{1}s_{D}^{2},S_{E}^{2}\right\}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{E}^{1},S_{D}^{1},s_{E}^{2},S_{D}^{2}\right\}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{E}^{1},S_{D}^{1}S_{D}^{2},s_{E}^{2}\right\}}

O mesmo para cada um das outras Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 3} opções de inicício possível, então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 4\times6=24} . Porém se a ordem de escolha dos saltos à direita for Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{D}^{1},s_{D}^{2}\right\}} ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{D}^{2},s_{D}^{1}\right\}} , não faz diferença. Então temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 2} ordens que são a indistinguíveis.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{E}^{1},s_{E}^{2},S_{D},S_{D}\right\}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{E}^{1},S_{D}s_{E}^{2},S_{D}\right\}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{E}^{1},S_{D}s_{D},S_{E}^{2}\right\}}

Logo reduzimos pela metade as opções Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \frac{4!}{2!}} . E o mesmo ainda pode ser dito para os saltos à esquerda. De forma que temos apenas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{4}=6} opções possíveis, que são:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{E},s_{E},S_{D},S_{D}\right\}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{D},s_{D},S_{E},S_{E}\right\}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{E},s_{D},S_{E},S_{D}\right\}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{D},s_{E},S_{D},S_{E}\right\}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{E},s_{D},S_{D},S_{E}\right\}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\{ s_{D},s_{E},S_{E},S_{D}\right\}}

Então o número total de caminhos indistinguiveis com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{1}} passos à direta e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{2}} à esquerda é: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{N!}{n_{1}!n_{2}!}=\frac{N!}{n_{1}!\left(N-n_{1}\right)!}=\frac{N!}{\left(\frac{N+m}{2}\right)!\left(\frac{N-m}{2}\right)!}}

Temos então que a probabilidade estar na posição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle m} após Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N} passos é dado por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\left(m,N\right)=\frac{N!}{\left(\frac{N+m}{2}\right)!\left(\frac{N-m}{2}\right)!}p^{\frac{N+m}{2}}q^{\frac{N-m}{2}}}

Ou reescrevendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{1}=n} para facilitar, e lembrando que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{1}=\frac{N+m}{2}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N=n_{1}+n_{2}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\left(n\right)=\frac{N!}{n!\left(N-n\right)!}p^{n}q^{N-n}=\left(\begin{array}{c} N\\ n \end{array}\right)p^{n}q^{N-n}}

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(\begin{array}{c} N\\ n \end{array}\right)=C_{n}^{N}} tabém é chamado de combinatória.

Utilizando o binômio de Newton:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(x+y\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right)x^{n-k}y^{k}}

Temos a normalização:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=0}^{n}p\left(n\right)=\sum_{n=0}^{n}\left(\begin{array}{c} N\\ n \end{array}\right)q^{N-n}p^{n}=\left(p+q\right)^{N}=1}

Uma vez que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p+q=1} . E lembrando que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p\left(n\right)} é a probabilidade de estar em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle m=2n-N} , ou seja de sair Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n} vezes passo a direita em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N} tentativas, então o valor médio de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n} pode ser dado por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle n\right\rangle =\sum_{n=0}^{N}np\left(n\right)}

E derivando o binômio de Newton:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{c} p\frac{d}{dp}\left(p+q\right)^{N}=pN\left(p+q\right)^{N-1}=pN\end{array}}

E também:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} p\frac{d}{dp}\left(p+q\right)^{N} & =p\frac{d}{dp}\left[\sum_{n=0}^{n}\left(\begin{array}{c} N\\ n \end{array}\right)q^{N-n}p^{n}\right]\\ & =p\sum_{n=0}^{n}n\left(\begin{array}{c} N\\ n \end{array}\right)q^{N-n}p^{n-1}\\ & =\sum_{n=0}^{n}n\left(\begin{array}{c} N\\ n \end{array}\right)q^{N-n}p^{n}\\ & =\sum_{n=0}^{n}np\left(n\right)\end{align}}

Então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle pN=\sum_{n=0}^{n}np\left(n\right)=\left\langle n\right\rangle}

Para o desvio padrão adotamos uma estratégia parecida mas com a segunda derivada do binômio de Newton. Sendo o desvio dado por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma^{2}=\left\langle n^{2}\right\rangle -\left\langle n\right\rangle ^{2}}

Então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{c} p^{2}\frac{d^{2}}{dp^{2}}\left(p+q\right)^{N}=p^{2}N\left(N-1\right)\left(p+q\right)^{N-1}=p^{2}N\left(N-1\right)\end{array}}

E:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} p^{2}\frac{d^{2}}{dp^{2}}\left(p+q\right)^{N} & =p^{2}\frac{d^{2}}{dp^{2}}\left[\sum_{n=0}^{n}\left(\begin{array}{c} N\\ n \end{array}\right)q^{N-n}p^{n}\right]\\ & =p^{2}\sum_{n=0}^{n}n\left(n-1\right)\left(\begin{array}{c} N\\ n \end{array}\right)q^{N-n}p^{n-2}\\ & =\sum_{n=0}^{n}\left(n^{2}-n\right)\left(\begin{array}{c} N\\ n \end{array}\right)q^{N-n}p^{n}\\ & =\sum_{n=0}^{n}n^{2}\left(\begin{array}{c} N\\ n \end{array}\right)q^{N-n}p^{n}-\sum_{n=0}^{n}n\left(\begin{array}{c} N\\ n \end{array}\right)q^{N-n}p^{n}\\ & =\left\langle n^{2}\right\rangle -\left\langle n\right\rangle \end{align}}

Então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p^{2}N^{2}-p^{2}N=\left\langle n^{2}\right\rangle -\left\langle n\right\rangle^2}

Ou ainda:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \left\langle n^{2}\right\rangle & =p^{2}N^{2}-p^{2}N+\left\langle n\right\rangle \\ & =p^{2}N^{2}-p^{2}N+pN\end{align}}

Substituindo então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sigma^{2} & =\left\langle n^{2}\right\rangle -\left\langle n\right\rangle ^{2}\\ & =p^{2}N^{2}-p^{2}N+pN-\left(pN\right)^{2}\\ & =pN-p^{2}N\\ & =pN\left(1-p\right)\\ & =pNq\end{align}}

Logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma=\sqrt{Npq}}

Além disso, para o limite Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n\rightarrow\infty} , sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p \not\approx 1 } , temos a gaussiana :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\left(n\right)=\left(\begin{array}{c} N\\ n \end{array}\right)p^{n}q^{N-n}\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi Npq}}\exp\left(\frac{-\left(n-Np\right)^{2}}{2Npq}\right)}

Exemplo: Caminhante aleatório

Voltando ao caminhante leatório, temos então que a posição média média no tempo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle m\left(t\right)} vai ser Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\langle m\right\rangle =0} se temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p=q} , e se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p\neq q} então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\langle m\right\rangle =\left(p-q\right)N} . Além disso, a posição final é efetivamente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle m=2n-N} , pois denotandoFalhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{D}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n_{E}} respectivamente como a quantidade de passos á direita e esquerda, temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_{D}-n_{E}=n_{D}-\left(N-n_{D}\right)=2n_{D}-N}

Logo nossa média é:

$${\begin{aligned}\left\langle m\right\rangle &=\sum _{n=0}^{N}mp\left(n\right)\\&=\sum _{n=0}^{N}\left(2n-N\right)p\left(n\right)\\&=2\sum _{n=0}^{N}np\left(n\right)-\sum _{n=0}^{N}Np\left(n\right)\\&=2\left\langle n\right\rangle -N\sum _{n=0}^{N}p\left(n\right)\\&=2\left\langle n\right\rangle -N\end{aligned}}$$

Logo:

$$\left\langle m\right\rangle ^{2}=4\left\langle n\right\rangle ^{2}-4\left\langle n\right\rangle N+N^{2}$$

E:

$${\begin{aligned}\left\langle m^{2}\right\rangle &=\sum _{n=0}^{N}m^{2}p\left(n\right)\\&=\sum _{n=0}^{N}\left(2n-N\right)^{2}p\left(n\right)\\&=4\sum _{n=0}^{N}n^{2}p\left(n\right)-4N\sum _{n=0}^{N}np\left(n\right)+N^{2}\sum _{n=0}^{N}p\left(n\right)\\&=4\left\langle n^{2}\right\rangle -4N\left\langle n\right\rangle +N^{2}\end{aligned}}$$

Fazeno então o desvio:

$${\begin{aligned}\sigma _{m}^{2}&=\left\langle m^{2}\right\rangle -\left\langle m\right\rangle ^{2}\\&=\left(4\left\langle n^{2}\right\rangle -4N\left\langle n\right\rangle +N^{2}\right)-\left(4\left\langle n\right\rangle ^{2}-4\left\langle n\right\rangle N+N^{2}\right)\\&=4\left(\left\langle n^{2}\right\rangle -\left\langle n\right\rangle ^{2}\right)\\&=4\sigma _{n}^{2}\end{aligned}}$$

Temos então que:

$$\sigma _{m}=2\sigma _{n}$$

Ou simplesmente:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_{m}=2\sqrt{pqN}}

E sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p=q=\frac{1}{2}} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_{m}=\sqrt{N}}

Sendo ainda Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N} corresponde ao tempo, então fazendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N=t}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_{m}=\sqrt{t}}

import random
import matplotlib.pyplot as plt

M = 5000 #Quantidade de simulações
N = 100  #Número de passos
p = 0.5  #probabilidade de ir para o lado direito
x = (N+1)*[0]
x2 = x.copy()
for i in range(M):
  y=[x[0]]
  for j in range(N):                #Com n passos em cada repetição
    dy = (+1) if (random.random()<=p) else (-1)
    y.append(y[j]+dy)
  x=np.add(x,y)               #Somando os x
  x2=np.add(x2,np.square(y))  #Somando os x²
xmed=x/M   # <x >
x2med=x2/M # <x²>
sig=np.sqrt(x2med-np.square(xmed)) #(<x²>-<x>²)^(1/2)
plt.plot(xmed,label="<x>")
plt.plot(sig,label='Sigma')
plt.legend()                     

Distribuição de Poisson

Temos novamente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N\rightarrow\infty} , mas agora sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p\rightarrow0} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle pN=\lambda>0} . Tendo um evento que é continuamente testado durante um intervalo de tempo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \tau} , se a quantidade de testes neste intervalo é escrito como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N=\frac{\tau}{\delta t}} , tratando a probabilidade de maneira contínua Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p\rightarrow\delta p} ficamos com:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda=Np=\tau\frac{\delta p}{\delta t}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \frac{\delta p}{\delta t}} é probabilidade por tempo, e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \tau} o tempo total do intervalo, logo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \lambda} é o número médio de eventos no período Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \tau} . Além disso, com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N=1} , temos o tempo médio de um evento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \tau=1/\lambda} . Retomando então a distribuição binomial:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\left(n\right)=\left(\begin{array}{c} N\\ n \end{array}\right)p^{n}q^{N-n}}

E manipulando:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} p\left(n\right) & =\frac{N!}{\left(N-n\right)!n!}p^{n}q^{N-n}\\ & =\frac{N!}{\left(N-n\right)!n!}\frac{\left(Np\right)^{n}}{N^{n}}\left(1-\frac{Np}{N}\right)^{N-n}\\ & =\left[\frac{N!}{\left(N-n\right)!}\frac{1}{N^{n}n!}\right]\lambda^{n}\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N}\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{-n}\\ & =\left[\frac{N\left(N-1\right)\left(N-2\right)\dots\left(N-n+1\right)\left(N-n\right)!}{\left(N-n\right)!}\right]\frac{\lambda^{n}}{N^{n}n!}\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N}\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{-n}\\ & =\frac{N\left(N-1\right)\dots\left(N-n+1\right)}{N^{n}}\frac{\lambda^{n}}{n!}\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N}\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{-n}\end{align}}

No limite de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N\rightarrow\infty} então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{N\rightarrow\infty}\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{-n}=1,\qquad\lim_{N\rightarrow\infty}\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N}=e^{-\lambda}}

E se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \lim_{N\rightarrow\infty}\left(N-a\right)\approx\lim_{N\rightarrow\infty}N} sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a} uma constante qualquer, então, como temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n} termos no numerador e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N^{n}} nos deixa com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n} termos no denominador:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \lim_{N\rightarrow\infty}p\left(n\right) & =\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{N\left(N-1\right)\dots\left(N-n+1\right)}{N^{n}}\frac{\lambda^{n}}{n!}\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N}\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{-n}\\ & =\frac{\lambda^{n}}{n!}e^{-\lambda}\lim_{N\rightarrow\infty}\left[\frac{N\left(N-1\right)\dots\left(N-n+1\right)}{N\dots N}\right]\end{align}}

Temos então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{\lambda}\left(n\right)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{n}}{n!}} O valor mais provável é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\langle n\right\rangle =\lambda} e temos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \sigma^{2}=\lambda} . Pois obtemos do resultado da binomial que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\langle n\right\rangle =pN} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \sigma=\sqrt{pN\left(1-p\right)}} . No limite em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p\rightarrow0} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N\rightarrow \infty} temos então que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left\langle n\right\rangle =pN=\lambda} e:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sigma= & \lim_{p\rightarrow0}\sqrt{pN\left(1-p\right)}=\lim_{p\rightarrow0}\sqrt{\lambda\left(1-p\right)}=\sqrt{\lambda}\end{align}}

Ou seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \sigma^{2}=\lambda}

import random
import matplotlib.pyplot as plt

N = 10000 #Quantidade de repetições
M = 1000  #Quantidade de passos em cada repetição
res=[]    #Onde vamos guardar cada resultado
lam = 3   #Lambda
p = lam/M #Probabilidade

for i in range(N): #Vamos jogar N 
  s=0
  for j in range (M): #M moedas
    b=random.random()<p
    s = (s+1) if (b) else (s) #Soamos se saiu cara
  res.append(s) 
plt.hist(res,bins=[j for j in range (lam-5,lam+6,1)])
plt.show()