Edição atual tal como às 14h33min de 5 de março de 2022

Método de Verlet

Para o método de Euler implícito havíamos utilizado a derivada a esquerda:

$f^{'} (t) \approx \frac{f (t) - f (t - Δ t)}{Δ t}$

Então se $y (t) = f^{'} (t)$ a segunda derivada é $y^{'} (t) = f^{″} (t)$ , pela definição, da derivada a direita:

$y^{'} (t) = \lim_{Δ t \to 0} \frac{y (t + Δ t) - y (t)}{Δ t} = \lim_{Δ t \to 0} \frac{f^{'} (t + Δ t) - f^{'} (t)}{Δ t}$

Logo utilizando as aproximações:

$\begin{aligned} f^{″} (t) & \approx \frac{1}{Δ t} (f^{'} (t + Δ t) - f^{'} (t)) \\ \approx \frac{1}{Δ t} (\frac{f (t + Δ t) - f (t + Δ t - Δ t)}{Δ t} - \frac{f (t) - f (t - Δ t)}{Δ t}) \\ \approx \frac{f (t + Δ t) + f (t - Δ t) - 2 f (t)}{{(Δ t)}^{2}} \end{aligned}$

Isolando então $f (t + Δ t)$ :

$\begin{aligned} f (t + Δ t) & = {(Δ t)}^{2} f^{″} (t) - f (t - Δ t) + 2 f (t) \end{aligned}$

Temos o método de Verlet. Podemos notar que precisamos conhecer $f (t)$ em dois tempos anteriores. Podemos utilizar outro algoritmo para o primeiro passo. Se $f (t) = x (t)$ é posição, então $f^{″} (t) = \ddot{x} (t) = a (x, t)$ logo podemos reescrever:

$\begin{aligned} x (t + Δ t) & = a (x, t) {(Δ t)}^{2} - x (t - Δ t) + 2 x (t) \end{aligned}$

Para calcular a energia, podemos obter a velocidade então utilizando a derivada centrada: $v (t) = \dot{x} (t) = \frac{x (t + Δ t) - x (t - Δ t)}{2 Δ t}$ Alternativamente podemos obter o mesmo resultado em termos da expansão de Taylor:

$\begin{aligned} x (t + Δ t) & = x (t) + v (t) Δ t + \frac{1}{2} a (t) Δ t^{2} + \frac{1}{6} a^{'} (t) Δ t^{3} + \dots \\ x (t - Δ t) & = x (t) - v (t) Δ t + \frac{1}{2} a (t) Δ t^{2} - \frac{1}{6} a^{'} (t) Δ t^{3} + \dots \end{aligned}$

Somando os dois termos, ficamos então com:

$x (t + Δ t) + x (t - Δ t) = 2 x (t) + a (t) Δ t^{2} + 𝒪 (Δ t^{4})$

Obtemos então não só o algoritmo de Verlet, além de que sabemos que é uma expansão até a terceir ordem. Então o erro envolvido na truncação é $𝒪 (Δ t^{4})$ , e este é o erro local, associao a um único passo.

Além disso, se fizermos a diferença, obtemos o algoritmo da velocidade:

$x (t + Δ t) + x (t - Δ t) = 2 v (t) + \frac{1}{3} a^{'} (t) Δ t^{3}$

Então:

$v (t) = \frac{x (t + Δ t) + x (t - Δ t)}{Δ t} - \frac{1}{3} a^{'} (t) Δ t^{2}$

Logo temos um erro $𝒪 (Δ t^{2})$ na velocidade. Além do erro de truncação associado ao método de dierenças finita e que decai com o decaimento de $Δ t$ , também podemos lembrar que um erro de arredondamento, pois o computador usa uma quantidade finita de memória para representar os números. Isto, é, existe um número $ϵ$ em que para qualquer número $α \leq ϵ$ então $1 + α = 1$ . $ϵ$ é o maior número que pode ser somado a $1$ sem alterar o resultado.

Exemplo

Aplicando o algoritmo para o sistema massa-mola visto no método de Euler-Cromer: $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \frac{k}{m} x = - ω^{2} x$

Podemos ressaltar ainda que $a = - ω^{2} x$ e $\frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}}$ .

import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos

#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0] ; E=[k*(x[0]**2)/2+m*(v[0]**2)/2] 
#Parâmetros
dt  = 0.1 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)

#Método de Euler-Cormer para obter o primeiro passo:
x.append(x[0]+dt*v[0])  
t.append(dt)

#Método de Verlet:
for it in range(1,Np):
  x.append(-w2*x[it]*dt*dt-x[it-1]+2*x[it]) #Método de Verlet
  v.append((x[it+1]-x[it-1])/(2*dt))
  E.append(k*x[it]**2/2+m*v[it]**2/2)
  t.append(dt+it*dt)

#plt.plot(t,x)
#plt.plot(t[:len(t)-1],v) #Velocidade tem um elemento a menos
#plt.plot(t[:len(t)-1],E)
plt.plot(x[:len(x)-1],v)

Método Velocidade de Verlet

O método de verlet é similar ao leapfrog, mas é síncrono e não exige inicialização. Pela derivada à direita com uma variação de $Δ t / 2$ , obtemos uma equação para velocidade:

$a (t) \approx \frac{v (t + Δ t / 2) - v (t)}{Δ t / 2} ⟶ v (t + Δ t / 2) = v (t) + a (t) \frac{Δ t}{2} (1)$

Fazendo o mesmo processo do leapfrog para a posição:

$v (t + Δ t / 2) \approx \frac{x (t + Δ t) - x (t)}{Δ t} ⟶ x (t + Δ t) = x (t) + v (t + Δ t / 2) Δ t$

Ainda podemos reescrever, substituindo:

$x (t + Δ t) = x (t) + v (t) Δ t + a (t) \frac{Δ t^{2}}{2} (2)$

Isto é, partindo de um tempo $t$ onde conhecemos posição e velocidade, calculamos a velocidade em $t + \frac{Δ t}{2}$ e usamos essa velociade para calcular a poição em $t + Δ t$ . Agora para a velocidade no instante $t + Δ t$ , começamo com uma derivada centrada:

$v (t) = \frac{x (t + Δ t) - x (t - Δ t)}{2 Δ t} ⟶ v (t + Δ t) = \frac{x (t + 2 Δ t) - x (t)}{2 Δ t} (3)$

Então pegamos o método de Verlet e avançamos $Δ t$ :

$\begin{aligned} x (t + Δ t) & = a (t) Δ t^{2} - x (t - Δ t) + 2 x (t) \\ x (t + 2 Δ t) & = a (t + Δ t) Δ t^{2} - x (t) + 2 x (t + Δ t) \end{aligned}$

E substituímos na velocidade (equação 3):

$\begin{aligned} v (t + Δ t) & = \frac{a (t + Δ t) Δ t^{2} - x (t) + 2 x (t + Δ t) - x (t)}{2 Δ t} \\ = & a (t + Δ t) \frac{Δ t}{2} - + \frac{x (t + Δ t) - x (t)}{Δ t} \end{aligned}$

E usando então a equação para posição que encontramos (equação 2) para substituir $x (t + Δ t) - x (t)$ :

$\begin{aligned} v (t + Δ t) & = a (t + Δ t) \frac{Δ t}{2} + \frac{x (t + Δ t) - x (t)}{Δ t} \\ = & v (t) + (a (t + Δ t) + a (t)) \frac{Δ t}{2} \end{aligned}$

Então agora utilizamos a posição em $t + Δ t$ para encontrarmos a velocidade no mesmo instante. Temos então:

$\begin{aligned} x (t + Δ t) & = x (t) + v (t) Δ t + a (t) \frac{Δ t^{2}}{2} \\ v (t + Δ t) & = v (t) + (a (t + Δ t) + a (t)) \frac{Δ t}{2} \end{aligned}$

Ou ainda simplesmente escrevendo explicitamente a equação 1:

$\begin{aligned} v (t + \frac{Δ t}{2}) & = v (t) + a (t) \frac{Δ t}{2} \\ x (t + Δ t) & = x (t) + v (t + \frac{Δ t}{2}) Δ t \\ v (t + Δ t) & = v (t + \frac{Δ t}{2}) + a (t + Δ t) \frac{Δ t}{2} \end{aligned}$

Exemplo

Resolvendo o mesmo exemplo anterior, temos:

import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos

#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0] ; E=[k*(x[0]**2)/2+m*(v[0]**2)/2] 
#Parâmetros
dt  = 0.1 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)

#Método de Velocidade Verlet:
for it in range(Np):
  x.append(x[it]+v[it]*dt-w2*x[it]*dt**2/2)
  v.append(v[it]+(-w2*x[it+1]-w2*x[it])*dt/2)
  E.append(k*x[it]**2/2+m*v[it]**2/2)
  t.append(dt+it*dt)

#plt.plot(t,x)
#plt.plot(t,v)
#plt.plot(t,E)
plt.plot(x,v)

Principais materiais utilizados

The Second Derivative (Matthew Boelkins, David Austin & Steven Schlicker; LibreTexts)
Verlet Method (Brasnislav K. Nikolic, Universidae de Delaware)

@@ Linha 1: / Linha 1: @@
+= Método de Verlet =
+Para o [[método de Euler]] implícito havíamos utilizado a derivada a esquerda:
+<math display="block">f'\left(t\right)\approx\frac{f\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}</math>
+Então se <math display="inline">y\left(t\right)=f'\left(t\right)</math> a segunda derivada é <math display="inline">y'\left(t\right)=f''\left(t\right)</math>, pela definição, da derivada a direita:
+<math display="block">y'\left(t\right)=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{y\left(t+\Delta t\right)-y\left(t\right)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{f'\left(t+\Delta t\right)-f'\left(t\right)}{\Delta t}</math>
+Logo utilizando as aproximações:
+<math display="block">\begin{align}
+f''\left(t\right) & \approx\frac{1}{\Delta t}\left(f'\left(t+\Delta t\right)-f'\left(t\right)\right)\\
+ & \approx\frac{1}{\Delta t}\left(\frac{f\left(t+\Delta t\right)-f\left(t+\Delta t-\Delta t\right)}{\Delta t}-\frac{f\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}\right)\\
+ & \approx\frac{f\left(t+\Delta t\right)+f\left(t-\Delta t\right)-2f\left(t\right)}{\left(\Delta t\right)^{2}}\end{align}</math>
+Isolando então <math display="inline">f\left(t+\Delta t\right)</math>:
+<math display="block">\begin{align}
+f\left(t+\Delta t\right) & =\left(\Delta t\right)^{2}f''\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)+2f\left(t\right)\end{align}</math>
+Temos o método de Verlet. Podemos notar que precisamos conhecer <math display="inline">f\left(t\right)</math> em dois tempos anteriores. Podemos utilizar outro algoritmo para o primeiro passo. Se <math display="inline">f\left(t\right)=x\left(t\right)</math> é posição, então <math display="inline">f''\left(t\right)=\ddot{x}\left(t\right)=a\left(x,t\right)</math> logo podemos reescrever:
+<math display="block">\begin{align}
+x\left(t+\Delta t\right) & =a\left(x,t\right)\left(\Delta t\right)^{2}-x\left(t-\Delta t\right)+2x\left(t\right)\end{align}</math>
+Para calcular a energia, podemos obter a velocidade então utilizando a derivada centrada: <math display="block">v\left(t\right)=\dot{x}\left(t\right)=\frac{x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t-\Delta t\right)}{2\Delta t}</math>
+Alternativamente podemos obter o mesmo resultado em termos da expansão de Taylor:
+<math display="block">\begin{align}
+x\left(t+\Delta t\right) & =x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t+\frac{1}{2}a\left(t\right)\Delta t^{2}+\frac{1}{6}a'\left(t\right)\Delta t^{3}+\dots\\
+x\left(t-\Delta t\right) & =x\left(t\right)-v\left(t\right)\Delta t+\frac{1}{2}a\left(t\right)\Delta t^{2}-\frac{1}{6}a'\left(t\right)\Delta t^{3}+\dots\end{align}</math>
+Somando os dois termos, ficamos então com:
+<math display="block">x\left(t+\Delta t\right)+x\left(t-\Delta t\right)=2x\left(t\right)+a\left(t\right)\Delta t^{2}+\mathcal{O}\left(\Delta t^{4}\right)</math>
+Obtemos então não só o algoritmo de Verlet, além de que sabemos que é uma expansão até a terceir ordem. Então o erro envolvido na truncação é <math display="inline">\mathcal{O}\left(\Delta t^{4}\right)</math>, e este é o erro local, associao a um único passo.
+Além disso, se fizermos a diferença, obtemos o algoritmo da velocidade:
+<math display="block">x\left(t+\Delta t\right)+x\left(t-\Delta t\right)=2v\left(t\right)+\frac{1}{3}a'\left(t\right)\Delta t^{3}</math>
+Então:
+<math display="block">v\left(t\right)=\frac{x\left(t+\Delta t\right)+x\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}-\frac{1}{3}a'\left(t\right)\Delta t^{2}</math>
+Logo temos um erro <math display="inline">\mathcal{O}\left(\Delta t^{2}\right)</math> na velocidade. Além do erro de truncação associado ao método de dierenças finita e que decai com o decaimento de <math display="inline">\Delta t</math>, também podemos lembrar que um erro de arredondamento, pois o computador usa uma quantidade finita de memória para representar os números. Isto, é, existe um número <math display="inline">\epsilon</math> em que para qualquer número <math display="inline">\alpha\leq\epsilon</math> então <math display="inline">1+\alpha=1</math>. <math display="inline">\epsilon</math> é o maior número que pode ser somado a <math display="inline">1</math> sem alterar o resultado.
+== Exemplo ==
+Aplicando o algoritmo para o sistema massa-mola visto no [[Método de Euler-Cromer | método de Euler-Cromer]]:
+<math display="block"> \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{k}{m}x=-\omega^{2}x </math>
+Podemos ressaltar ainda que <math>a =-\omega^{2}x </math>  e <math>  \frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}</math>.
+<pre>
+import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
+import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos
+#Constantes
+m=1  ; k= 1.; w2= k/m
+#Valores iniciais
+x=[1]; v=[0]; t=[0] ; E=[k*(x[0]**2)/2+m*(v[0]**2)/2]
+#Parâmetros
+dt  = 0.1 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)
+#Método de Euler-Cormer para obter o primeiro passo:
+x.append(x[0]+dt*v[0])
+t.append(dt)
+#Método de Verlet:
+for it in range(1,Np):
+  x.append(-w2*x[it]*dt*dt-x[it-1]+2*x[it]) #Método de Verlet
+  v.append((x[it+1]-x[it-1])/(2*dt))
+  E.append(k*x[it]**2/2+m*v[it]**2/2)
+  t.append(dt+it*dt)
+#plt.plot(t,x)
+#plt.plot(t[:len(t)-1],v) #Velocidade tem um elemento a menos
+#plt.plot(t[:len(t)-1],E)
+plt.plot(x[:len(x)-1],v)
+</pre>
+= Método Velocidade de Verlet =
+O método de verlet é similar ao leapfrog, mas é síncrono e não exige inicialização. Pela derivada à direita com uma variação de <math display="inline">\Delta t/2</math>, obtemos uma equação para velocidade:
+<math display="block">a\left(t\right)\approx\frac{v\left(t+\Delta t/2\right)-v\left(t\right)}{\Delta t/2}\longrightarrow v\left(t+\Delta t/2\right)=v\left(t\right)+a\left(t\right)\frac{\Delta t}{2}\qquad\left(1\right)</math>
+Fazendo o mesmo processo do leapfrog para a posição:
+<math display="block">v\left(t+\Delta t/2\right)\approx\frac{x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t\right)}{\Delta t}\longrightarrow x\left(t+\Delta t\right)=x\left(t\right)+v\left(t+\Delta t/2\right)\Delta t</math>
+Ainda podemos reescrever, substituindo:
+<math display="block">x\left(t+\Delta t\right)=x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t+a\left(t\right)\frac{\Delta t^{2}}{2}\qquad\left(2\right)</math>
+Isto é, partindo de um tempo <math display="inline">t</math> onde conhecemos posição e velocidade, calculamos a velocidade em <math display="inline">t+\frac{\Delta t}{2}</math> e usamos essa velociade para calcular a poição em <math display="inline">t+\Delta t</math>. Agora para a velocidade no instante <math display="inline">t+\Delta t</math> , começamo com uma derivada centrada:
+<math display="block">v\left(t\right)=\frac{x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t-\Delta t\right)}{2\Delta t}\longrightarrow v\left(t+\Delta t\right)=\frac{x\left(t+2\Delta t\right)-x\left(t\right)}{2\Delta t}\qquad\left(3\right)</math>
+Então pegamos o método de Verlet e avançamos <math display="inline">\Delta t</math>:
+<math display="block">\begin{align}
+x\left(t+\Delta t\right) & =a\left(t\right)\Delta t^{2}-x\left(t-\Delta t\right)+2x\left(t\right)\\
+x\left(t+2\Delta t\right) & =a\left(t+\Delta t\right)\Delta t^{2}-x\left(t\right)+2x\left(t+\Delta t\right)\end{align}</math>
+E substituímos na velocidade (equação '''3'''):
+<math display="block">\begin{align}
+v\left(t+\Delta t\right) & =\frac{a\left(t+\Delta t\right)\Delta t^{2}-x\left(t\right)+2x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t\right)}{2\Delta t}\\
+= & a\left(t+\Delta t\right)\frac{\Delta t}{2}-+\frac{x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t\right)}{\Delta t}\end{align}</math>
+E usando então a equação para posição que encontramos (equação 2) para substituir <math display="inline">x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t\right)</math> :
+<math display="block">\begin{align}
+v\left(t+\Delta t\right) & =a\left(t+\Delta t\right)\frac{\Delta t}{2}+\frac{x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t\right)}{\Delta t}\\
+= & v\left(t\right)+\left(a\left(t+\Delta t\right)+a\left(t\right)\right)\frac{\Delta t}{2}\end{align}</math>
+Então agora utilizamos a posição em <math display="inline">t+\Delta t</math> para encontrarmos a velocidade no mesmo instante. Temos então:
+<math display="block">\begin{align}
+x\left(t+\Delta t\right) & =x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t+a\left(t\right)\frac{\Delta t^{2}}{2}\\
+v\left(t+\Delta t\right) & =v\left(t\right)+\left(a\left(t+\Delta t\right)+a\left(t\right)\right)\frac{\Delta t}{2}\end{align}</math>
+Ou ainda simplesmente escrevendo explicitamente a equação '''1:'''
+<math display="block">\begin{align}
+v\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right) & =v\left(t\right)+a\left(t\right)\frac{\Delta t}{2}\\
+x\left(t+\Delta t\right) & =x\left(t\right)+v\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right)\Delta t\\
+v\left(t+\Delta t\right) & =v\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right)+a\left(t+\Delta t\right)\frac{\Delta t}{2}\end{align}</math>
+== Exemplo==
+Resolvendo o mesmo exemplo anterior, temos:
+<pre>
+import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
+import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos
+#Constantes
+m=1  ; k= 1.; w2= k/m
+#Valores iniciais
+x=[1]; v=[0]; t=[0] ; E=[k*(x[0]**2)/2+m*(v[0]**2)/2]
+#Parâmetros
+dt  = 0.1 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)
+#Método de Velocidade Verlet:
+for it in range(Np):
+  x.append(x[it]+v[it]*dt-w2*x[it]*dt**2/2)
+  v.append(v[it]+(-w2*x[it+1]-w2*x[it])*dt/2)
+  E.append(k*x[it]**2/2+m*v[it]**2/2)
+  t.append(dt+it*dt)
+#plt.plot(t,x)
+#plt.plot(t,v)
+#plt.plot(t,E)
+plt.plot(x,v)
+</pre>
 = Principais materiais utilizados =
 # [https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Active_Calculus_(Boelkins_et_al)/01%3A_Understanding_the_Derivative/1.06%3A_The_Second_Derivative The Second Derivative] (Matthew Boelkins, David Austin & Steven Schlicker; LibreTexts)
+# [https://www.physics.udel.edu/~bnikolic/teaching/phys660/numerical_ode/node5.html Verlet Method] (Brasnislav K. Nikolic, Universidae de Delaware)

Método de Verlet: mudanças entre as edições

Edição atual tal como às 14h33min de 5 de março de 2022

Índice

Método de Verlet

Exemplo

Método Velocidade de Verlet

Exemplo

Principais materiais utilizados

Menu de navegação

Método de Verlet: mudanças entre as edições

Edição atual tal como às 14h33min de 5 de março de 2022

Método de Verlet

Exemplo

Método Velocidade de Verlet

Exemplo

Principais materiais utilizados

Menu de navegação

Pesquisa