Método de Euler-Cromer

Lembrando do que vimos no Método de Euler, o sistema de equações para o sistema massa-mola era:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\frac{dv}{dt} & =-\omega^{2}x\left(t\right)\\ \frac{dx}{dt} & =v\left(t\right) \end{align}}

Aplicando o método de Euler então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}v\left(t+\Delta t\right) & =v\left(t\right)-\omega^{2}x\left(t\right)\Delta t\\ x\left(t+\Delta t\right) & =x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t \end{align}}

Em notação matricial temos:

$${\begin{aligned}\left({\begin{array}{c}x\left(t+\Delta t\right)\\v\left(t+\Delta t\right)\end{array}}\right)&=\left({\begin{array}{cc}1&\Delta t\\-\omega ^{2}\Delta t&1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x\left(t\right)\\v\left(t\right)\end{array}}\right)\\{\boldsymbol {u}}\left(t+\Delta t\right)&={\overline {M}}{\boldsymbol {u}}\left(t\right)\end{aligned}}$$

Porém a matriz ${\textstyle {\overline {M}}}$ transforma o vetor ${\textstyle {\boldsymbol {u}}\left(t\right)}$ no vetor ${\textstyle {\boldsymbol {u}}\left(t+\Delta t\right)}$, representando então a evolução no espao de fases e seu determinante representa a variação dovolume no espaço de fases. Para um problema conservativo, logo o determinante deve ser ${\textstyle 1}$, uma vez que essevolume deve se manter constante. Para o método de Euler temos:

$$\det \left({\overline {M}}\right)=1+\left(\omega \Delta t\right)^{2}>1$$

Outra forma de analisar o caso da oscilção quando usado o método explícito de Euler, é abrindo as contas. Escrevendo então a energia como:

$${\begin{aligned}E\left(t+\Delta t\right)&={\frac {1}{2}}mv^{2}\left(\Delta t+t\right)+{\frac {1}{2}}kx^{2}\left(\Delta t+t\right)\\&={\frac {1}{2}}m\left(v^{2}\left(\Delta t+t\right)+\omega ^{2}x^{2}\left(\Delta t+t\right)\right)\end{aligned}}$$

Onde fazemos ${\textstyle \omega ^{2}=k/m}$. Usando então:

$${\begin{aligned}v\left(\Delta t+t\right)&=v\left(t\right)-\omega ^{2}x\left(t\right)\Delta t\\x\left(\Delta t+t\right)&=x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t\end{aligned}}$$

Temos:

$${\begin{aligned}E\left(t+\Delta t\right)&={\frac {1}{2}}m\left(\left(v\left(t\right)-\omega ^{2}x\left(t\right)\Delta t\right)^{2}+\omega ^{2}\left(x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t\right)^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}m\left[v^{2}\left(t\right)+\omega ^{4}x^{2}\left(t\right)\Delta t^{2}-2v\left(t\right)\omega ^{2}x\left(t\right)\Delta t\right.\\&\left.+\omega ^{2}x^{2}\left(t\right)+\omega ^{2}v^{2}\left(t\right)\Delta t^{2}+2v\left(t\right)\omega ^{2}x\left(t\right)\Delta t\right]\\&={\frac {1}{2}}m\left[\left(v^{2}\left(t\right)+\omega ^{2}x^{2}\left(t\right)\right)+\omega ^{2}\left(v^{2}\left(t\right)+\omega ^{2}x^{2}\left(t\right)+\right)\Delta t^{2}\right.\\&\left.v\left(t\right)\omega ^{2}x\left(t\right)\Delta t-v\left(t\right)\omega ^{2}x\left(t\right)\Delta t\right]\end{aligned}}$$

FIcamos então apenas:

$${\begin{aligned}E\left(t+\Delta t\right)&=E\left(t\right)+E\left(t\right)\omega ^{2}\Delta t^{2}\end{aligned}}$$

Ou ainda:

$${\begin{aligned}E\left(t+\Delta t\right)&=E\left(t\right)\left(1+\omega ^{2}\Delta t^{2}\right)\end{aligned}}$$

Então a cada passo, a energia aumenta com um fator ${\textstyle \left(1+\omega ^{2}\Delta t^{2}\right)}$.

O método de Euler-Crome propõe usar ${\textstyle v\left(t+\Delta t\right)}$ no lugar de ${\textstyle v\left(t\right)}$ para calcular ${\textstyle x\left(t+\Delta t\right)}$. Manipulando temos, lembrando que podemos substituir o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle v\left(t+\Delta t\right)} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}x\left(t+\Delta t\right) & =x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t\\ & =x\left(t\right)+v\left(t+\Delta t\right)\Delta t\\ & =x\left(t\right)+\left[v\left(t\right)-\omega^{2}x\left(t\right)\Delta t\right]\Delta t\\ & =x\left(t\right)\left(1-\omega^{2}\Delta t^{2}\right)+v\left(t\right)\Delta t \end{align}}

Atualizando então a notação matricial temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\left(\begin{array}{c} x\left(t+\Delta t\right)\\ v\left(t+\Delta t\right) \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} 1-\omega^{2}\Delta t^{2} & \Delta t\\ -\omega^{2}\Delta t & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\left(t\right)\\ v\left(t\right) \end{array}\right)\\ \boldsymbol{u}\left(t+\Delta t\right) & =\overline{M}\boldsymbol{u}\left(t\right) \end{align}}

Calculando então o novo determinante, temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det\left(\overline{M}\right)=1-\omega^{2}\Delta t^{2}+\left(\omega\Delta t\right)^{2}=1}

Algumas observações que podem ser feitas: a primeira é que também podemos fazer diferente e usar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x\left(t+\Delta t\right)} no lugar de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x\left(t\right)} para calcular Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle v\left(t+\Delta t\right)} . E a segunda é que quando olhamos para nossa aproximação, temos um intervalo de tempo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \Delta t} entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle v\left(t+\Delta t\right)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle v\left(t\right)} . No método de Euler original, usamo a velocidade no começo intervalo (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle v\left(t\right)} ) para calcular a nova posição (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x\left(t+\Delta t\right)} , no de Euler-Cramer usamos no fim do intervalo (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle v\left(t+\Delta t\right)} ), mas de certa forma tem a mesma natureza de aproximação. Como para uma equação tivemos o método de Euler-implícito, porém agora trabalhamos com um sistema de equações. Esse método também é chamado de ’semi-implícito.

import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos

#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m 
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[k*(x[0]**2)/2+m*(v[0]**2)/2] 
#Parâmetros
dt  = 0.1 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)

#Método de Euler-Cromer
for it  in range(Np):
  x.append(x[it]+dt*v[it])  
  v.append(v[it]-dt*x[it+1]*w2) #Usamos x[it+1] ao invés de x[it]
  E.append(k*x[it+1]**2/2+m*v[it+1]**2/2)
  t.append(dt+it*dt)

#plt.plot(t,x)
#plt.plot(t,v)
#plt.plot(t,E)
plt.plot(x,v)