Equação de Águas Rasas

Em construção Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Pedro Inocêncio Rodrigues Terra

Forma Conservativa

A partir das equações de conservação de momento e de massa, pode ser obtida as equações de águas rasas na forma conservativa. A forma conservativa da equação de águas rasas desconsidera a viscosidade do fluido e as tensões de cisalhamento aplicadas nele.

A conservação de massa é dada por:

$\mathrm{\nabla }\cdot v=0$

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0$

Onde $\overrightarrow{u}$ é a velocidade na direção $x$, $\overrightarrow{v}$ é a velocidade na direção $y$ e $\overrightarrow{w}$ é a velocidade na direção $z$.

Para a conservação do momento deve ser levado em conta três premissas:

• O comprimento da onda é muito maior que as contribuições na direção $$ e $\overrightarrow{v}$ não variam em $\overrightarrow{z}$

Ao aproximar por diferenças finitas obtemos o sistema de equações discretizadas a seguir.

$\frac{h_{i,j}^{t+\mathrm{\Delta }t}-h_{i,j}^t}{\mathrm{\Delta }t}+\left[\frac{(hu{)}_{i+1,j}^t-(hu{)}_{i-1,j}^t}{2\mathrm{\Delta }x}\right]+\left[\frac{(hv{)}_{i,j+1}^t-(hv{)}_{i,j-1}^t}{2\mathrm{\Delta }y}\right]=0$

$\frac{hu{)}_{i,j}^{t+\mathrm{\Delta }t}-(hu{)}_{i,j}^t}{\mathrm{\Delta }t}+\left[\frac{(h{u}^2+\frac{1}{2}g{h}^2{)}_{i+1,j}^t-(h{u}^2+\frac{1}{2}g{h}^2{)}_{i-1,j}^t}{2\mathrm{\Delta }x}\right]+\left[\frac{(huv{)}_{i,j+1}^t-(huv{)}_{i,j-1}^t}{2\mathrm{\Delta }y}\right]=-g{h}_{i,j}^t{b}_{x.i,j}$

$\frac{(hv{)}_{i,j}^{t+\mathrm{\Delta }t}-(hv{)}_{i,j}^t}{\mathrm{\Delta }t}+\left[\frac{(huv{)}_{i+1,j}^t-(huv{)}_{i-1,j}^t}{2\mathrm{\Delta }x}\right]+\left[\frac{(h{v}^2+1/2g{h}^2{)}_{i,j+1}^t-(h{v}^2+1/2g{h}^2{)}_{i,j-1}^t}{2\mathrm{\Delta }y}\right]=-g{h}_{i,j}^t{b}_{y.i,j}$

Resolvendo pelo método de FTCS (para frente no tempo) e ajustando aos limites de estabilidade, temos como resultado:

.... aqui gráfico ....

Para esse desenvolvimento encontramos algumas dificuldades para resolução do sistema de equações.