Método de Elementos Finitos

Em construção

Grupo: Antônio Carlan, Gabriela Pereira, Renan Soares e Victor Gandara

Objetivo: Apresentar uma introdução do Método de Elementos Finitos, abordando seu funcionamento e demonstrando suas etapas através de um exemplo, demonstrando seu potencial e o que o diferencia de outros métodos estudados nas cadeiras de métodos computacionais até então vistos.

Introdução ao Método de Elementos Finitos(MEF)

Aplicação

Este é um método numérico de resolução aproximada para problemas de valores sobre contorno em equações diferenciais. É largamente utilizado na industria para o desenvolvimento de novas tecnologias e produtos, pode ser utilizado tanto no processo de desenvolvimento quanto de otimização, através da simulação da física de situações em que se espera que o projeto atue.

O que torna este método diferente é a forma com que ele discretiza e faz suas aproximações. Sua discretização é feita na geometria, ou seja, repartindo o objeto em diversos elementos menores. Desta forma é possível que se resolva problemas em geometrias complexas que seriam muito difíceis ou até impraticáveis com outros métodos. Também permite trabalhar com materiais compostos, ou de diferentes densidades em um objeto.

O Método

O conceito fundamental do MEF é a aproximação de uma quantidade continua(p. ex., tensão elétrica, temperatura, etc.) através de um modelo discreto composto por um conjunto de funções simples definidas em um número finito de subdomínios(elementos)

A resolução de um problema através do MEF envolve quatro etapas principais:

1. Discretização da região: Transformar o objeto de estudo em vários elementos menores que juntos formam o objeto original de forma aproximada e a isso chama-se Malha.
2. Aproximação da solução: Obtenção das equações correspondentes de cada elemento, através de interpolação polinomial.
3. Montagem do sistema global: Juntar os elementos e suas equações em uma matriz que fornecerá a solução global.
4. Resolução do sistema: Resolver a matriz gerada para obter a solução aproximada do problema.

Discretização: A Malha

A malha define o domínio do problema, ela é a base do método, porém não é parte do algoritmo dele. Normalmente é criada automaticamente por um programa especifico para isso, como GMSH e NetGen.

Ela é composta por um conjunto de pontos interligados que descrevem o objeto. Estes pontos são chamados nós e a união destes nós forma um elemento, e a união destes elementos formam o objeto que é nosso domínio.

1. Dimensão: A malha pode ser unidimensional, bidimensional ou tridimensional.
2. Ordem: Quanto maior a ordem da malha mais precisa será a aproximação dos resultados entre os nós, porém aumenta o consumo computacional.
3. Densidade de elementos: Pode-se escolher por gerar uma malha mais ou menos detalhada, isso implica no consumo computacional. Quanto mais detalhada a malha, ou seja, quanto maior o numero de nós da malha, menor será o erro de aproximação do problema real.

Funcionamento do método

Para cada nó desta malha será atribuída uma variável do problema físico que esta sendo implementado, como Tensão Elétrica, Dilatação, Temperatura, etc. Esta variável é chamada Valor nodal, ela representa a solução da equação naquele ponto. O somatório destes valores nodais fornece a solução global do problema.

O elemento é formado por um conjunto de nós, por exemplo em uma malha 2D de elementos triangulares cada elemento é formado por 3 nós. Como cada nó tem atribuído uma variável nodal, o elemento terá três variáveis nodais (neste exemplo).