Clusterização

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Clusterização do Modelo de Ising

Balanço Detalhado

Para respeitarmos o Balanço Detalhado, precisamos que a mudança da rede de um estado $$\nu$ para um estado $\mu$ ocorra com a mesma probabilidade da mudança de um estado $\mu$ para $\nu$, denotamos essa mudança por: $A(\mu \to \nu )=A(\nu \to \mu )$, com $A(x\to y)$ sendo a razão de aceitação da mudança de um estado $x$ para um estado $y$.

Supondo que estamos mudando de um estado $\nu$ para outro estado $\mu$, temos que a diferença de energia entre esses dois é resultado da quebra das ligações entre pares de spins orientados na mesma direção que não foram adicionados ao cluster, já que, não há uma garantia que a ida de $\nu \to \mu$ quebre a mesma quantidade de ligações que a volta de $\mu \to \nu$. A probabilidade de não adicionarmos um spin vizinho ao cluster é dada por: $1-P_{add}$; uma vez que $P_{add}$ é a probabilidade de incluir esse spin no cluster.

Supondo que existam $m$ ligações a serem quebradas na ida de $\nu \to \mu$, a probabilidade desse evento é dada por $(1-P_{add})^{m}$. Porém, o mesmo pode não valer para a volta de $\mu \to \nu$, em razão disso, precisamos analisar o caso em que não há o mesmo número de ligações a serem quebradas na volta e então a probabilidade será dada por $(1-P_{add})^{n}$ com $n$ sendo o número de ligações a serem quebradas de $\mu \to \nu$.

Consideramos agora que $E_{\nu }$ e $E_{\mu }$ sejam as energias associadas aos estados $\nu$ e $\mu$, respectivamente, temos que: a cada $m$ ligações que são quebradas de $\mu \to \nu$ a energia aumenta com $+2J$ e para cada $n$ novas ligações geradas de $\mu \to \nu$ a energia diminui com $-2J$. Pode-se escrever então que a diferença de energia entre $\mu$ e $\nu$ é dada por: $E_{\nu }-E_{\mu }=2mJ-2nJ=2J(m-n)$

Seguindo a definição do Balanço Detalhado e impondo que o Processo Markoviano dessas mudanças de estados descritas acima respeite a Distribuição de Boltzmann, precisamos que: ${\frac {(1-P_{add})^{m}A(\mu \to \nu )}{(1-P_{add})^{n}A(\nu \to \mu )}}=e^{-\beta (E_{\nu }-E_{\mu })}=(1-P_{add})^{m-n}{\frac {A(\mu \to \nu )}{A(\nu \to \mu )}}$, tal que, ${\frac {A(\mu \to \nu )}{A(\nu \to \mu )}}={\big [}e^{2\beta J}(1-P_{add}){\big ]}^{n-m}\;\;\;\;\Longrightarrow P_{add}=1-e^{-2\beta J}\Longrightarrow {\frac {(1-P_{add})^{m}A(\mu \to \nu )}{(1-P_{add})^{n}A(\nu \to \mu )}}=1$

Algoritmo de Wolf

Dinâmica do Algoritmo

O algoritmo de Wolff baseia-se principalmente em 4 passos. são estes:

• 1 - Escolhe-se um sítio aleatório da rede;
• 2 - Entre seus 4 vizinhos, se o spin do vizinho for igual ao do sítio inicial, adicionamos o vizinho ao cluster com probabilidade $P_{add}=1-e^{2\beta J}$
• 3 - Para cada vizinho que foi adicionado ao cluster no passo anterior, repetimos o processo do passo 2 adicionando os vizinhos desse vizinho que possuem spin na mesma direção com a mesma probabilidade $P_{add}$. Faz-se isso para todos os sítios que são adicionados ao cluster.
• 4 - Quando todos os vizinhos de todos os sítios adicionados ao cluster tiveram ao menos uma “chance” de serem adicionados ao cluster, flipamos o cluster.

Dinâmica do algoritmo.
Demonstração da dinâmica de clusterização do algoritmo na temperatura crítica $\;T_{c}=2.269J$.

Simulações

Animações

Animações do algoritmo de Wolff em função da Temperatura $T$.
Simulação para temperatura abaixo da temperatura crítica $T_{c}$.	Simulação na temperatura crítica $T_{c}$.	Simulação para tempetura acima da temperatura crpitica $T_{c}$.

Obs: Nossos gifs ficaram com mais de 2mb, limite da wiki, estamos refazendo...

Propriedades do Algoritmo de Wolff

$P_{add}\;=\;1-e^{-2\beta J}$

Probabilidade em função da temperatura.
Gráfico da probabilidade de aceitação $P_{add}$ em função de $T$

Códigos Fonte

Função da Dinâmica de Clusterização

def cluster_din(sitio):
    stack = []
    oldspin = s[sitio]
    newspin = (-1)*s[sitio]
    s[sitio] = newspin
    sp=1
    stack.append(sitio)
    
    while (sp):
        sp = sp-1
        atual = stack[sp]
        stack.pop()        
    
        for j in range(4):
            nn=viz[atual][j]
            if s[nn] == oldspin: #IF da orientação do vizinho
             rfloat1 = rng.random()
             if (rfloat1<prob) : #IF da inclusão no cluster
                 stack.append(nn)
                 sp = sp+1
                 s[nn] = newspin
    return