Modelo de Keller-Segel para relação população-economia

Grupo: Leonardo Barcelos, Luana Bianchi e Rubens Borrasca

O objetivo deste trabalho é implementar o modelo de Keller-Segel, que originalmente descreve chemotaxis: movimento de organismo em direção ou contra algum sinal químico, para um sistema englobando população e atividade econômica. O método computacional utilizado para resolver o problema e implementar o modelo foi o FTCS (Forward Time Centered Space).

Modelo de Keller-Segel

Proposto por Evelyn Fox Keller, física norte-americana, e Lee Aaron Segel, matemático também norte-americano, o modelo de Keller-Segel foi historicamente utilizado para descrever o movimento de bactérias. Introduzido primeiramente em 1970 para descrever a agregação de uma espécie de bolor limoso (ou slime mold) ameboide, Dictyostelium discoideum, o modelo se tornou um dos mais usados nos estudos biológicos-matemáticos. As células deste slime mold se comportam como amoebas individuais, e se alimentam de bactérias, mas quando a quantidade de comida fica pequena, elas se difundem pelo espaço e então se agregam em formato mais alongado, como o formato das lesmas, para uma migração de longa distância. Keller e Segel desenvolveram um modelo matemático para o processo de agregação, em que a chemotaxis tem papel crítico na auto-ormanização das células.

Baseados no que já era conhecido sobre esses organismos, Keller e Segel utilizaram as seguintes premissas:

• As células estão inicialmente distribuídas sobre o espaço de maneira mais ou menos homogênea, com algumas flutuações aleatótias;
• As células apresentam chemotaxis em direção ao sinal químico denominado cAMP (cyclic adenosine monophosphate);
• As células produzem moléculas cAMP;
• As células e as moléculas cAMP difundem pelo espaço;
• As células não morrem e não se dividem

De forma simplificada, ocultando alguns detalhes biológicos mais complicados a equação de Keller-Segel é a seguinte:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial a}{\partial t} = \mu \nabla^2 a - \chi \nabla \cdot (a \nabla c) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial c}{\partial t} = D \nabla^2 c + f a - k c }

em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} são respectivamente as variáveis de estado para a concentração de células e a concentração de cMAP. Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} é o parâmetro de mobilidade das células, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi} é o parâmetro da chemotaxis celular, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} é a constante de difusão das moléculas cAMP, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} é a taxa de secreção de cMAP pelas células, e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} é a taxa de decaimento das moléculas cMAP.

Aplicação população-economia

De forma parecida com as premissas de Keller e Segel, os seguintes pontos são assumidos para modelar a relação entre a população e a atividade econômica:

• A população não cresce e não decresce ao longo do tempo;
• A economia é ativada por existir mais pessoas em uma região;
• Sem pessoas a atividade econômica diminui;
• População e atividade econômica difundem gradualmente;
• As pessoas são atraídas por regiões com maior atividade econômica

Traduzindo estes pontos em equações matemáticas, se obtêm as seguintes equações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial p}{\partial t} = D_p \nabla^2 p - \gamma \nabla \cdot (p \nabla m) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial m}{\partial t} = D_m \nabla^2 m + \alpha p - \beta m }

em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} representa a população e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} a atividade econômica. Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} é a constante que determina a taxa de produção de atividade econômica per capita, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} é a constante da taxa de decaimento da atividade econômica, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_p} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_m} são as constantes de difusão da população e da economia respectivamente, e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} é a constante que afeta a velocidade média do movimento da população.

Comparando o sistema obtido com o problema original de Keller-Segel, percebe-se que se trocarmos células por pessoas e cMAP por atividade econômica os problemas ficam iguais, e até se poderia denominar como moneytaxis a migração das pessoas em direção a atividade econômica, como a chemotaxis descreve o movimento das células em direção ao cAMP.

Método FTCS

O FTCS (Forward Time Centered Space, em tradução livre significa "avançado no tempo, centrado no espaço), é um método de discretização de Equações Diferenciais Parciais(EDP). Para a derivada temporal teremos,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t} \rightarrow \frac{f^{n+1} - f^n}{\Delta t}}

e para a parte espacial,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial s^2} \rightarrow \frac{f_{i-1} - 2f_i + f_{i+1}}{(\Delta s)^2}}

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} é uma variável espacial qualquer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x, y, z, ...)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} é o tempo.

Discretização do Modelo de Keller-Segel em 1D

Em 1D o sistema de equações diferenciais parciais será:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial p}{\partial t} = D_p \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \gamma \left[\frac{\partial p}{\partial x} \frac{\partial m}{\partial x} + p \frac{\partial^2 m}{\partial x^2} \right]}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial m}{\partial t} = D_m \frac{\partial^2 m}{\partial x^2} + \alpha p - \beta m}

Agora utilizando a discretização FTCS teremos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{p_{i}^{n+1} - p_{i}^{n}}{\Delta t} = \frac{D_p}{(\Delta x)^2} \left[ p_{i-1}^{n} - 2 p_{i}^{n} + p_{i+1}^{n} \right] - \frac{\gamma}{(\Delta x)^2} \left[ (p_{i+1}^n - p_{i}^n)(m_{i+1}^n - m_{i}^n) + p_{i}^n (m_{i-1}^{n} - 2 m_{i}^{n} + m_{i+1}^{n}) \right]}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{m_{i}^{n+1} - m_{i}^{n}}{\Delta t} = \frac{D_m}{(\Delta x)^2} \left[ m_{i-1}^{n} - 2 m_{i}^{n} + m_{i+1}^{n}\right] + \alpha p_{i}^{n} - \beta m_{i}^{n} }

onde o sub-índice Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} se refere à coordenada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ; e o superíndice Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} se refere ao tempo. Reorganizando as equações e agrupando alguns termos teremos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{i}^{n+1} = p_{i}^{n} \left[ 1 - 2K_1 - K_2 \left( m_{i-1}^n - m_i^n \right) \right] + K_1 \left[ p_{i-1}^n + p_{i+1}^n \right] - K_2 \left[ p_{i+1}^n (m_{i+1}^n - m_{i}^n) \right]}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{i}^{n+1} = m_{i}^n \left[ 1 - K_3 - \lambda \right] + K_3 \left[ m_{i-1}^n + m_{i+1}^n \right] + V p_{i}^n}

onde os termos agrupados são: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K_1 = \frac{D_p \Delta t}{(\Delta x)^2}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K_2 = \frac{\gamma \Delta t}{(\Delta x)^2}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K_3 = \frac{D_m \Delta t}{(\Delta x)^2}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V = \alpha \Delta t} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda = \beta \Delta t}

Discretização do Modelo de Keller-Segel em 2D

Em 2D o sistema de equações diferenciais parciais será:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial p}{\partial t} = D_p \left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 p}{\partial y^2} \right] - \gamma \left[\frac{\partial p}{\partial x} \frac{\partial m}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} \frac{\partial m}{\partial y} + p \left(\frac{\partial^2 m}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 m}{\partial y^2} \right) \right]}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial m}{\partial t} = D_m \left[\frac{\partial^2 m}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 m}{\partial y^2} \right] + \alpha p - \beta m}

Agora utilizando a discretização FTCS e assumindo que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x = \Delta y = \Delta s } teremos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{p_{i,j}^{n+1} - p_{i,j}^{n}}{\Delta t} = \frac{D_p}{(\Delta s)^2} \left[ (p_{i-1,j}^{n} - 2 p_{i,j}^{n} + p_{i+1,j}^{n}) + (p_{i,j-1}^{n} - 2 p_{i,j}^{n} + p_{i,j+1}^{n})\right] - \frac{\gamma}{(\Delta s)^2} \left[ (p_{i+1,j}^n - p_{i,j}^n)(m_{i+1,j}^n - m_{i,j}^n) + (p_{i,j+1}^n - p_{i,j}^n)(m_{i,j+1}^n - m_{i,j}^n) + p_{i,j}^n \left( (m_{i-1,j}^{n} - 2 m_{i,j}^{n} + m_{i+1,j}^{n}) + (m_{i,j-1}^{n} - 2 m_{i,j}^{n} + m_{i,j+1}^{n}) \right) \right]}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{m_{i,j}^{n+1} - m_{i,j}^{n}}{\Delta t} = \frac{D_m}{(\Delta s)^2} \left[ (m_{i-1,j}^{n} - 2 m_{i,j}^{n} + m_{i+1,j}^{n}) + (m_{i,j-1}^{n} - 2 m_{i,j}^{n} + m_{i,j+1}^{n})\right] + \alpha p_{i,j}^{n} - \beta m_{i,j}^{n} }

onde os sub-índices Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} se referem às coordenadas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} respectivamente; e o superíndice Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} se refere ao tempo. Reorganizando as equações e agrupando alguns termos teremos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{i,j}^{n+1} = p_{i,j}^{n} \left[ 1 - 4K_1 - K_2 \left( m_{i-1, j}^n - 2m_{1, j}^n + m_{i, j-1}^n \right) \right] + K_1 \left[ p_{i-1,j}^n + p_{i,j-1}^n + p_{i+1,j}^n + p_{i,j+1}^n \right] - K_2 \left[ p_{i+1,j}^n (m_{i+1,j}^n - m_{i,j}^n) + p_{i,j+1}^n (m_{i,j+1}^n - m_{i,j}^n) \right]}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{i,j}^{n+1} = m_{i,j}^n \left[ 1 - 4K_3 - \lambda \right] + K_3 \left[ m_{i-1,j}^n + m_{i,j-1}^n + m_{i+1,j}^n + m_{i,j+1}^n \right] + V p_{i,j}^n}

Resultados

1D

Com o intuito de testar melhor a equação e suas consequências, os resultados foram divididos em várias simulações diferentes.

População e Dinheiro em pontos separados

Para esta simulação, considera-se que no tempo 0, toda a população está concentrada em 1 ponto, enquanto todo o dinheiro está em um outro ponto distante.

Os parâmetros utilizados foram:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dx = 1 }

$dt=0.3$

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_m = 1 }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_p = 1 }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma = 1 }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = 1 }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta = 1 }

Resultados da simulação para o caso de população e dinheiro em pontos separads e distantes na malha

Na figura acima, consegue-se observar o resultado da construção do sistema desta maneira.

Com toda a população concentrada em 1 ponto (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = 20 } ), a atividade econômica cresce consideravelmente neste intervalo ao longo do tempo. Em contrapartida, o local que continha todo o dinheiro no começo da simulação (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = 80 } ), em pouco tempo tem a sua renda líquida migrada para onde tem uma densidade populacional maior. Essa tendência indica, portanto, que o sistema é construído de tal forma que a atração da população por regiões de alta renda líquida é menor que a atração do sistema monetário de seguir para pontos de alta densidade populacional.

Além disso, outra observação interessante é que nota-se para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t \rightarrow \infty} uma tendência inerente da densidade populacional em seguir uma distribuição de shape gaussiano sob a malha. Considerando que a equação que define o movimento populacional com o tempo contém um termo difusivo, e que a solução para uma difusão simples em 1 dimensão também assume um shape gaussiano, este resultado faz sentido. Mas uma coisa interessante é que, depois de se desfazer de seu formato inicial, o total de dinheiro sob a malha tende a seguir a distribuição populacional, porém com um desvio padrão maior (maior abertura na Gaussiana). Essa observação indica que, para centros econômicos (regiões com alto $m$) a tendência é que suas periferias também possuam valores altos de renda, apesar da população consideravelmente menor. Além disso, para regiões fora do contorno de centros econômicos (distância maior do que 3 vezes o desvio padrão da gaussiana) a atividade econômica é basicamente nula, assim como a densidade populacional. Este último fato descreve de forma genérica e simplista o comportamento atual observado em metrópoles nos dias de hoje: uma cidade grande possui alto número de habitantes, alta renda, seus contornos também apresentam atividade econômica forte (porém menor que o centro), mas para um raio suficientemente grande, tanto dinheiro quanto população caem exponencialmente.

2D

Os parâmetros utilizados para a simulação em 2D foram:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L = 100}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ds = 1}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt = 0.3}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_m = 0.5}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_p = 0.5}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = 1.2}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta = 0.03}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma = 1}

Referências

Sayama

Scherrer

[1]