Modelo de Turing

Equações de Turing

Simulações computacionais que envolvem equações diferenciais parciais (EDP's) são usualmente modeladas através da discretização das variáveis espaciais e temporais. Algumas dessas equações descrevem comportamentos difusivos no sistema, sendo chamadas de equações de difusão. Tais equações envolvem variáveis de estado que apresentam variações temporal e espacial e coeficientes de difusão no sistema, além de outros parâmetros que influenciam na evolução dos estados. Dentro desse ramo de equações, encontra-se o Modelo de Turing, desenvolvido por Alan Turing, que utiliza como base a concentração de espécies em um sistema, avaliando sua reação, difusão e variação espacial e temporal. São muitas as aplicações do modelo, principalmente em ramos como biologia e química, envolvendo problemas com formação de padrões. A seguir, descrevemos sua formulação matemática.

Sejam $u$ e $v$ as concentrações das espécies que serão analisadas. Sejam $a,b,c$ e $d$ parâmetros e $h$ e $k$ constantes. Os coeficientes de difusão são $D_{u}$ e $D_{v}$, cada um associado a uma das concentrações. O Modelo de Turing é dado pelas EDP's

${\frac {\partial {u}}{\partial {t}}}=a(u-h)+b(v-k)+D_{u}\nabla ^{2}u$

${\frac {\partial {v}}{\partial {t}}}=c(u-h)+d(v-k)+D_{v}\nabla ^{2}v$

Note que certa parte de cada equação depende apenas dos parâmetros e das concentrações. Podemos, portanto, utilizar funções de variáveis $u$ e $v$ para descrever o sistema, de modo que

$u_{t}=D_{u}\nabla ^{2}u+f(u,v)$

$v_{t}=D_{v}\nabla ^{2}v+g(u,v)$

Estabilidade e Instabilidade no Modelo de Turing

Pontos de Equilíbrio

Vimos que o modelo de Turing depende de parâmetros $a,b,c,d$, de constantes $h$ e $k$ e dos coeficientes de difusão.

Afirmação: Se $D_{u}=D_{v}=0$, temos ($v_{eq},u_{eq})=(h,k)$ como o único ponto de equilíbrio.

Demonstração: Mostraremos que $(h,k)$ é ponto de equilíbrio. De fato, ao aplicarmos esse ponto na equação do modelo de Turing, temos

$u_{t}{\Bigg |}_{u=k}=0=v_{t}{\Bigg |}_{v=h}$

para mostrar que é único, suponha que existem dois pontos de equilíbrio, a saber, $(v_{1},u_{1})$ e $(v_{2},u_{2})$. Vemos que, como as equações diferenciais em cada ponto fixo são iguais a zero, temos

$a(u_{1}-u_{2})+b(v_{1}-v_{2})=0$

$c(u_{1}-u_{2})+d(v_{1}-v_{2})=0$

Consequentemente, devemos ter

$\left(b-{\frac {ad}{c}}\right)(v_{1}-v_{2})=0\Longrightarrow v_{1}=v_{2}$.

Do mesmo modo, $u_{1}=u_{2}$. Portanto, o ponto de equilíbrio é único nessas circunstâncias.

Estabilidade de Sistemas Reativos-Difusivos

Para estudarmos a estabilidade dos sistemas reativos-difusivos precisamos encontrar os autovalores da matriz

$\left(J-D\omega ^{2}\right){\Bigg |}_{f=f_{eq}}$

Onde $J$ é a matriz jacobiana dos termos de reação, $D$ é a matriz diagonal dos termos de difusão e $\omega$ é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A prova dessa afirmação pode ser encontrada nas referências. Aplicando isso ao modelo de Turing obtemos

$\left(\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{cc}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{array}}\right)\omega ^{2}\right){\Bigg |}_{(u,v)=(h,k)}=\left({\begin{array}{cc}a-D_{u}\omega ^{2}&b\\c&d-D_{v}\omega ^{2}\end{array}}\right)$

Para esta matriz ser estável precisamos que o determinante dessa matriz seja positivo e o traço seja negativo. Obtemos então

$0<(a-D_{u}\omega ^{2})(d-D_{v}\omega ^{2})-bc$

$0>a-D_{u}\omega ^{2}+d-D_{v}\omega ^{2}$

Podemos ver que em ambas desigualdades aparecerá o Determinante e o Traço da matriz dos coeficientes de reação. Reescrevendo então obtemos

$aD_{v}\omega ^{2}+dD_{u}\omega ^{2}-D_{u}D_{v}\omega ^{4}<{\text{det}}(J)$

$D_{u}\omega ^{2}+D_{v}\omega ^{2}>{\text{Tr}}(J)$

Se o sistema fosse originalmente estável, isto é, ${\text{Tr}}(J)<0$ e ${\text{det}}(J)>0$ a segunda desigualdade é sempre verdade, mas a primeira não. Podemos ver que a desigualdade pode ser violada se

$g(z)=-D_{u}D_{v}z^{2}+(aD_{v}+dD_{u})z-{\text{det}}(J)$

tomar valores positivos para algum $z>0$ (Onde $z=\omega ^{2}$). Podemos reescrever $g(z)$ da forma

$g(z)=-D_{u}D_{v}\left(z-{\frac {aD_{v}+dD_{u}}{2D_{u}D_{v}}}\right)^{2}+\left({\frac {(aD_{v}+dD_{u})^{2}}{4D_{u}D_{v}}}\right)-{\text{det}}(J)$

Vamos então analisar duas opções onde podemos ter $z>0$: (1) o ponto mais alto da função fica no lado positivo do eixo $z$ ou (2) o ponto mais alto da função fica no no lado negativo do eixo $z$. Na primeira opção (1) a única condição é que o máximo da função seja acima do eixo $z$, logo teremos

${\frac {(aD_{v}+dD_{u})^{2}}{4D_{u}D_{v}}}-{\text{det}}(J)>0$

Se o máximo da função estiver no lado negativo de $z$, opção (2), a condição é que o ponto que interceptar $g(z)$ deve ser positivo, podemos escrever isso da forma

$g(0)=-{\text{det}}(J)>0$

Podemos ver que a opção (2) nunca pode ser obtida, pois o modelo é inicialmente estável e ${\text{det}}(J)>0$, assim a única opção para que a difusão desestabilize o sistema é quando

$aD_{v}+dD_{u}>2{\sqrt {D_{u}D_{v}{\text{det}}(J)}}$

e com essa desigualdade é fácil checar quais valores dos parâmetros $a$, $b$, $c$ e $d$ e dos coeficientes de difusão $D_{u}$ e $D_{v}$ formarão padrões de Turing.

Implementação

Para resolver numericamente as equações de Turing iremos utilizar o método FTCS (Forward Time Central Space). O método FTCS é o mais simples e consiste em discretizar a derivada em $t$ de forma não simetrizada. Obtemos as seguintes discretizações para uma função genérica $f(r,t)$

${\frac {\partial f}{\partial t}}={\frac {f(r,t+dt)-f(r,t)}{dt}}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}={\frac {f(r+dr,t)-2f(r,t)+f(r-dr,t)}{dr^{2}}}$

Onde ${\vec {r}}$ é o vetor posição, que neste trabalho utilizamos apenas duas dimensões, ${\vec {r}}=(x,y)$.

Podemos discretizar as equações de Turing diretamente com o método FTCS. Talvez o único problema seja o laplaciano, porém basta escrever da forma

$\nabla ^{2}f(r,t)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$

Assim podemos utilizar a discretização simetrizada e obter

$\nabla ^{2}f(r,t)={\frac {f(x+dx,t)-2f(r,t)+f(x-dx,t)}{dx^{2}}}+{\frac {f(y+dy,t)-2f(r,t)+f(y-dy,t)}{dy^{2}}}$

Ao tomarmos $dx=dy=dh$, que faremos aqui, podemos simplificar a discretização do laplaciano para

$\nabla ^{2}f(r,t)={\frac {f(x+dh,t)+f(x-dh,t)+f(y+dh,t)+f(y-dh,t)-4f(r,t)}{dh^{2}}}$

Então obtemos que as equações de Turing discretizadas pelo método FTCS, em notação discreta, são dadas por

$u_{i,j}^{n+1}=u_{i,j}^{n}+\left[a(u_{i,j}^{n}-h)+b(v_{i,j}^{n}-k)+D_{u}{\frac {u_{i+1,j}^{n}+u_{i-1,j}^{n}+u_{i,j+1}^{n}+u_{i,j-1}^{n}-4u_{i,j}^{n}}{dh^{2}}}\right]dt$

$v_{i,j}^{n+1}=v_{i,j}^{n}+\left[c(u_{i,j}^{n}-h)+d(v_{i,j}^{n}-k)+D_{v}{\frac {v_{i+1,j}^{n}+v_{i-1,j}^{n}+v_{i,j+1}^{n}+v_{i,j-1}^{n}-4v_{i,j}^{n}}{dh^{2}}}\right]dt$

Onde $i$ e $j$ são os índices espaciais e $n$ é o índice temporal.

Utilizamos uma rede quadrada de tamanho $L\times L$ com condições de contorno periódicas. O sistema inicia próximo do equilibrio $(u,v)=(h,k)$ e então é aplicado um pequeno ruído para começar a difusão. O ruído é muito importante, sem ele o sistema ficaria sempre no equilíbrio. O ruído também deve ser pequeno suficiente para quebrar o estado inicial, mas não grande suficiente para causar instabilidades numéricas na simulação. O ruído utilizado aqui consiste em números aleatórios no intervalo $[-0,003:0,003]$. Tomamos $dh=1/L$.

Resultados e Discussão

Na rede $100\times 100$ escolhendo $(a,b,c,d)=(1,-1,2,-1.5)$ e $(D_{u},D_{v})=(10^{-4},6\times 10^{-4})$, podemos verificar se a desigualdade é respeitada.

$aD_{v}+dD_{u}=4.5\times 10^{-4}$

$2{\sqrt {D_{u}D_{v}{\text{det}}(J)}}\approx 3.464\times 10^{-4}$

A desigualdade é sim respeitada. Abaixo podemos ver a simulação das concentrações de $u$ e de $v$.

Modelo Turing com $(a,b,c,d)=(1,-1,2,-1.5)$ e $(D_{u},D_{v})=(10^{-4},6\times 10^{-4})$
Simulação do Modelo de Turing da concentração de $u$.	Simulação do Modelo de Turing da concentração de $v$.

Quanto mais amarelo maior a densidade, assim como quanto mais roxo menor a densidade. Outra escolha de constantes é $(a,b,c,d)=(0.5,-1,0.75,-1;)$ e $(D_{u},D_{v})=(10^{-4},10^{-3})$. Verificando que a desigualdade é respeitada:

$aD_{v}+dD_{u}=4\times 10^{-4}$

$2{\sqrt {D_{u}D_{v}{\text{det}}(J)}}\approx 3.162\times 10^{-4}$

Novamente respeitamos a desigualdade. Na rede $100\times 100$ obtemos a seguinte simulação das concentrações de $u$ e de $v$.

Modelo de Turing com $(a,b,c,d)=(0.5,-1,0.75,-1;)$ e $(D_{u},D_{v})=(10^{-4},10^{-3})$
Simulação do Modelo de Turing da concentração de $u$.	Simulação do Modelo de Turing da concentração de $v$.

É possível ver que o sistema rapidamente forma um padrão, onde existem algum aglomerados com maior densidade e diversos pontos onde existe baixa densidade. Diferentes conjuntos das constantes e dos coeficientes de difusão formam diferentes padrões.

Podemos estudar também a estudar a razão crítica dos coeficientes de difusão, onde o sistema passa a formar padrões. Definindo um novo parâmetro $\rho =D_{v}/D_{u}$ podemos rearranjar a desigualdade necessária para formar padrões da forma

$a\rho D_{u}+dD_{v}>2{\sqrt {\rho D_{u}^{2}{\text{det}}(J)}}$

$a\rho +d>2{\sqrt {\rho {\text{det}}(J)}}$

Por exemplo, aplicando isso para um conjunto de constantes que simulamos $(a,b,c,d)=(1,-1,2,-1.5)$ chegaremos a

$\rho -1.5>2{\sqrt {0.5\rho }}$

$\rho >4.5$

Isso significa que a difusão de $v$ deve ser quase cinco vezes maior que a difusão de $u$ para gerar os padrões. A difusão de $u$ age mais localmente enquanto a de $v$ age em áreas maiores. Uma transição de fase é observada perto de $\rho =4.5$. Essa transição de fase entre homogenização e formação de padrões é chamada de Bifurcação de Turing .

Conclusão

Partindo das equações diferenciais que caracterizam o modelo de Turing, analisamos os pontos de estabilidade no caso específico $D_{u}=D_{v}=0$ e no caso mais geral, utilizando os autovalores da matriz $\left(J-D\omega ^{2}\right){\Bigg |}_{f=f_{eq}}$. Com isso, foi obtido uma equação que determina se os parâmetros desejados formarão padrões de Turing. Descrevemos a implementação de um algoritmo que aplica o método FTCS para encontrar soluções numericamente. Para alguns parâmetros selecionados, foram feitas simulações do modelo para a concentração de $u$ e $v$, nas quais notou-se a formação de padrões que dependem dos parâmetros. Acima, foram deixados os programas computacionais utilizados na resolução numérica do método de Turing.

Programas Utilizados

Programas na linguagem C. Para utilizar os programas, abra o terminal e compile da forma

$ gcc prog.c -lm

Onde prog.c é o programa que deseja utilizar. E execute da seguinte maneira

$ ./a.out PARAMETROS

onde o segundo termo são os parâmetros do sistema, argumento dos programas. Dentro dos programas tem um exemplo de execução. O programa da simulação possuei uma diretiva de compilação para visualização do sistema ao decorrer da execução. Para utilizar é necessário ter o gnuplot instalado e compilar da forma

$ gcc -DGNU prog.c -lm

e então executar da maneira

$ ./a.out PARAMETROS | gnuplot

Estabilidade das Constantes

Simulação do Modelo de Turing