Modelo de Turing

EM CONSTRUÇÃO

Equação de Turing

Simulações computacionais que envolvem equações diferenciais parciais (EDP's) são usualmente modeladas através da discretização das variáveis espaciais e temporais. Algumas dessas equações descrevem comportamentos difusivos no sistema, sendo chamadas de equações de difusão. Tais equações envolvem variáveis de estado que apresentam variações temporal e espacial e coeficientes de difusão no sistema, além de outros parâmetros que influenciam na evolução dos estados. Dentro desse ramo de equações, encontra-se o Modelo de Turing, desenvolvido por Alan Turing, que utiliza como base a concentração de espécies em um sistema, avaliando sua reação, difusão e variação espacial e temporal. São muitas as aplicações do modelo, principalmente em ramos como biologia e química, envolvendo problemas com formação de padrões. A seguir, descrevemos sua formulação matemática.

Sejam $u$ e $v$ as concentrações das espécies que serão analisadas. Sejam $a,b,c$ e $d$ parâmetros e $h$ e $k$ constantes. Os coeficientes de difusão são $D_{u}$ e $D_{v}$, cada um associado a uma das concentrações. O Modelo de Turing é dado pelas EDP's

${\frac {\partial {u}}{\partial {t}}}=a(u-h)+b(v-k)+D_{u}\nabla ^{2}u$

${\frac {\partial {v}}{\partial {t}}}=c(u-h)+d(v-k)+D_{v}\nabla ^{2}v$

Note que certa parte de cada equação depende apenas dos parâmetros e das concentrações. Podemos, portanto, utilizar funções de variáveis $u$ e $v$ para descrever o sistema, de modo que

$u_{t}=D_{u}\nabla ^{2}u+f(u,v)$

$v_{t}=D_{v}\nabla ^{2}v+g(u,v)$

Estabilidade e Instabilidade no Modelo de Turing

Pontos de Equilíbrio

Vimos que o modelo de Turing depende de parâmetros $a,b,c,d$, de constantes $h$ e $k$ e dos coeficientes de difusão.

Afirmação: Se $D_{u}=D_{v}=0$, temos ($v_{eq},u_{eq})=(h,k)$ como o único ponto de equilíbrio.

Demonstração: Mostraremos que $(h,k)$ é ponto de equilíbrio. De fato, ao aplicarmos esse ponto na equação do modelo de Turing, temos

$u_{t}{\Bigg |}_{u=k}=0=v_{t}{\Bigg |}_{v=h}$

para mostrar que é único, suponha que existem dois pontos de equilíbrio, a saber, $(v_{1},u_{1})$ e $(v_{2},u_{2})$. Vemos que, como as equações diferenciais em cada ponto fixo são iguais a zero, temos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a(u_1 - u_2) + b(v_1 - v_2) = 0}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c(u_1 - u_2) + d(v_1 - v_2) = 0}

Consequentemente, devemos ter

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(b-\frac{ad}{c}\right)(v_1-v_2)=0 \Longrightarrow v_1=v_2} .

Do mesmo modo, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_1=u_2} . Portanto, o ponto de equilíbrio é único nessas circunstâncias.

Estabilidade de Sistemas Reativos-Difusivos

Para estudarmos a estabilidade dos sistemas reativos-difusivos precisamos encontrar os autovalores da matriz

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(J - D \omega^2\right)\Bigg|_{f = f_{eq}}}

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J} é a matriz jacobiana dos termos de reação, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} é a matriz diagonal dos termos de difusão e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações.

Implementação

Para resolver numericamente as equações de Turing iremos utilizar o método FTCS (Forward Time Central Space). O método FTCS é o mais simples e consiste em discretizar a derivada em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} de forma não simetrizada. Obtemos as seguintes discretizações para uma função genérica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(r,t)}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t} = \frac{f(r,t + dt) - f(r,t)}{dt}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} = \frac{f(r + dr,t) - 2f(r,t) + f(r - dr,t)}{dr^2}}

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}} é o vetor posição, que neste trabalho utilizamos apenas duas dimensões, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r} = (x,y)} .

Podemos discretizar as equações de Turing diretamente com o método FTCS. Talvez o único problema seja o laplaciano, porém basta escrever da forma

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2 f(r,t) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}}

Assim podemos utilizar a discretização simetrizada e obter

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2 f(r,t) = \frac{f(x + dx,t) - 2f(r,t) + f(x - dx,t)}{dx^2} + \frac{f(y + dy,t) - 2f(r,t) + f(y - dy,t)}{dy^2}}

Ao tomarmos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dx = dy = dh} , que faremos aqui, podemos simplificar a discretização do laplaciano para

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2 f(r,t) = \frac{f(x + dh,t) + f(x - dh,t) + f(y + dh,t) + f(y - dh,t) - 4f(r,t)}{dh^2}}

Então obtemos que as equações de Turing discretizadas pelo método FTCS, em notação discreta, são dadas por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} + \left[ a(u_{i,j}^{n} - h) + b(v_{i,j}^{n} - k) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{dh^2}\right]dt}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} + \left[ c(u_{i,j}^{n} - h) + d(v_{i,j}^{n} - k) + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{dh^2}\right]dt}

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} são os índices espaciais e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} é o índice temporal.

Utilizamos uma rede quadrada de tamanho Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L \times L} com condições de contorno periódicas. O sistema inicia próximo do equilibrio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u,v) = (h,k)} e então é aplicado um pequeno ruído para começar a difusão. O ruído é muito importante, sem ele o sistema ficaria sempre no equilíbrio. O ruído também deve ser pequeno suficiente para quebrar o estado inicial, mas não grande suficiente para causar instabilidades numéricas na simulação. O ruído utilizado aqui consiste em números aleatórios no intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [-0,003:0,003]} . Tomamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dh = 1/L} .