Modelo de Turing: mudanças entre as edições
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| Linha 58: | Linha 58: | ||
<math>\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} = \frac{f(r + dr,t) - 2f(r,t) + f(r | <math>\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} = \frac{f(r + dr,t) - 2f(r,t) + f(r - dr,t)}{dr^2}</math> | ||
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<math> \nabla^2 f(r,t) = \frac{f(x + dx,t) - 2f(x,t) + f(x | <math> \nabla^2 f(r,t) = \frac{f(x + dx,t) - 2f(x,t) + f(x - dx,t)}{dx^2} + \frac{f(y + dy,t) - 2f(y,t) + f(y - dy,t)}{dy^2}</math> | ||
Então | |||
Ao tomarmos <math>dx = dy</math>, que faremos aqui, podemos simplificar a discretização do laplaciano para | |||
<math> \nabla^2 f(r,t) = \frac{f(x + dx,t) + f(x - dx,t) + f(y + dy,t) + f(y - dy,t) - 4f(y,t)}{dx^2}</math> | |||
Então obtemos que as equações de Turing discretizadas pelo método FTCS, em notação discreta, são dadas por | |||
<math>u_{i+1,j+1} = u_{i,j} + \left[ a(u_{i,j} - h) + b(v_{i,j} - k) + D_u\frac{u_{i+1,j} + u_{i-1,j} + u_{i,j+1} + u_{i,j-1} - 4u_{i,j}}{dx^2}\right]dt</math> | |||
<math>v_{i+1,j+1} = v_{i,j} + \left[ c(u_{i,j} - h) + d(v_{i,j} - k) + D_v\frac{v_{i+1,j} + v_{i-1,j} + v_{i,j+1} + v_{i,j-1} - 4v_{i,j}}{dx^2}\right]dt</math> | |||
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Edição das 11h04min de 22 de novembro de 2020
EM CONSTRUÇÃO
Equação de Turing
Simulações computacionais que envolvem equações diferenciais parciais (EDP's) são usualmente modeladas através da discretização das variáveis espaciais e temporais. Algumas dessas equações descrevem comportamentos difusivos no sistema, sendo chamadas de equações de difusão. Tais equações envolvem variáveis de estado que apresentam variações temporal e espacial e coeficientes de difusão no sistema, além de outros parâmetros que influenciam na evolução dos estados. Dentro desse ramo de equações, encontra-se o Modelo de Turing, desenvolvido por Alan Turing, que utiliza como base a concentração de espécies em um sistema, avaliando sua reação, difusão e variação espacial e temporal. São muitas as aplicações do modelo, principalmente em ramos como biologia e química, envolvendo problemas com formação de padrões[1]. A seguir, descrevemos sua formulação matemática.
Sejam Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} as concentrações das espécies que serão analisadas. Sejam Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b,c} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} parâmetros e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} constantes. Os coeficientes de difusão são Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_u} e , cada um associado a uma das concentrações[2]. O Modelo de Turing é dado pelas EDP's
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial{v}}{\partial{t}}= c(u-h) + d(v-k) + D_v\nabla^2v}
Note que certa parte de cada equação depende apenas dos parâmetros e das concentrações. Podemos, portanto, utilizar funções de variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u}
e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v}
para descrever o sistema[3], de modo que
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_t=D_u\nabla^2u + f(u,v)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_t=D_v\nabla^2v + g(u,v)}
Estabilidade e instabilidade no modelo de Turing
Já vimos que o modelo de Turing depende de parâmetros Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b,c,d} , de constantes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} e dos coeficientes de difusão.
Afirmação: Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_u=D_v=0} , temos (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{eq}, u_{eq})=(h,k)} como o único ponto de equilíbrio.
Demonstração: Mostraremos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (h,k)} é ponto de equilíbrio. De fato, ao aplicarmos esse ponto na equação do modelo de Turing, temos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_t\Bigg|_{u=k} = 0 = v_t\Bigg|_{v=h}}
para mostrar que é único, suponha que existem dois pontos de equilíbrio, a saber, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (v_1,u_1)}
e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (v_2,u_2)}
. Vemos que, como as equações diferenciais em cada ponto fixo são iguais a zero, temos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a(u_1 - u_2) + b(v_1 - v_2) = 0}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c(u_1 - u_2) + d(v_1 - v_2) = 0}
Consequentemente, devemos ter
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(b-\frac{ad}{c}\right)(v_1-v_2)=0 \Longrightarrow v_1=v_2}
.
Do mesmo modo, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_1=u_2}
. Portanto, o ponto de equilíbrio é único nessas circunstâncias.
Implementação
Discretização - Método FTCS
Para resolver numericamente as equações de Turing iremos utiliza o método FTCS (Forward Time Central Space). O método FTCS é o mais simples e consiste em discretizar a derivada em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} de forma não simetrizada. Obtemos as seguintes discretizações para uma função genérica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(r,t)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t} = \frac{f(r,t + dt) - f(r,t)}{dt}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} = \frac{f(r + dr,t) - 2f(r,t) + f(r - dr,t)}{dr^2}}
Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}}
é o vetor posição, que neste trabalho utilizamos apenas duas dimensões, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r} = (x,y)}
.
Podemos discretizar as equações de Turing diretamente com o método FTCS. Talvez o único problema seja o laplaciano, porém basta escrever da forma
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2 f(r,t) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}}
Assim podemos utilizar a discretização simetrizada e obter
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2 f(r,t) = \frac{f(x + dx,t) - 2f(x,t) + f(x - dx,t)}{dx^2} + \frac{f(y + dy,t) - 2f(y,t) + f(y - dy,t)}{dy^2}}
Ao tomarmos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dx = dy}
, que faremos aqui, podemos simplificar a discretização do laplaciano para
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2 f(r,t) = \frac{f(x + dx,t) + f(x - dx,t) + f(y + dy,t) + f(y - dy,t) - 4f(y,t)}{dx^2}}
Então obtemos que as equações de Turing discretizadas pelo método FTCS, em notação discreta, são dadas por
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{i+1,j+1} = u_{i,j} + \left[ a(u_{i,j} - h) + b(v_{i,j} - k) + D_u\frac{u_{i+1,j} + u_{i-1,j} + u_{i,j+1} + u_{i,j-1} - 4u_{i,j}}{dx^2}\right]dt}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{i+1,j+1} = v_{i,j} + \left[ c(u_{i,j} - h) + d(v_{i,j} - k) + D_v\frac{v_{i+1,j} + v_{i-1,j} + v_{i,j+1} + v_{i,j-1} - 4v_{i,j}}{dx^2}\right]dt}
Resultados
Programas Utilizados
Referências
- ↑ https://en.wikipedia.org/wiki/Turing_pattern
- ↑ H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 260. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.
- ↑ J. Jost, "Partial Differential Equations", 3ed, p.140. Springer Science+Business Media, New York, 2013.