Modelo de Turing: mudanças entre as edições

Edição das 09h46min de 22 de novembro de 2020

EM CONSTRUÇÃO

Equação de Turing

Simulações computacionais que envolvem equações diferenciais parciais (EDP's) são usualmente modeladas através da discretização das variáveis espaciais e temporais. Algumas dessas equações descrevem comportamentos difusivos no sistema, sendo chamadas de equações de difusão. Tais equações envolvem variáveis de estado que apresentam variações temporal e espacial e coeficientes de difusão no sistema, além de outros parâmetros que influenciam na evolução dos estados. Dentro desse ramo de equações, encontra-se o Modelo de Turing, desenvolvido por Alan Turing, que utiliza como base a concentração de espécies em um sistema, avaliando sua reação, difusão e variação espacial e temporal. São muitas as aplicações do modelo, principalmente em ramos como biologia e química, envolvendo problemas com formação de padrões^[1]. A seguir, descrevemos sua formulação matemática.

Sejam Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} e $v$ as concentrações das espécies que serão analisadas. Sejam $a,b,c$ e $d$ parâmetros e $h$ e $k$ constantes. Os coeficientes de difusão são $D_{u}$ e $D_{v}$ , cada um associado a uma das concentrações^[2]. O Modelo de Turing é dado pelas EDP's

${\frac {\partial {u}}{\partial {t}}}=a(u-h)+b(v-k)+D_{u}\nabla ^{2}u$

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial{v}}{\partial{t}}= c(u-h) + d(v-k) + D_v\nabla^2v}

Note que certa parte de cada equação depende apenas dos parâmetros e das concentrações. Podemos, portanto, utilizar funções de variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} para descrever o sistema^[3], de modo que

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_t=D_u\nabla^2u + f(u,v)}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_t=D_v\nabla^2v + g(u,v)}

Estabilidade e instabilidade no modelo de Turing

Já vimos que o modelo de Turing depende de parâmetros Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b,c,d} , de constantes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} e dos coeficientes de difusão.

Afirmação: Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_u=D_v=0} , temos (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{eq}, u_{eq})=(h,k)} como o único ponto de equilíbrio.

Demonstração: Mostraremos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (h,k)} é ponto de equilíbrio. De fato, ao aplicarmos esse ponto na equação do modelo de Turing, temos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_t\Bigg|_{u=k} = 0 = v_t\Bigg|_{v=h}}

para mostrar que é único, suponha que existem dois pontos de equilíbrio, a saber, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (v_1,u_1)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (v_2,u_2)} . Vemos que, como as equações diferenciais em cada ponto fixo são iguais a zero, temos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a(u_1 - u_2) + b(v_1 - v_2) = 0}

e

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c(u_1 - u_2) + d(v_1 - v_2) = 0}

Consequentemente, devemos ter

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(b-\frac{ad}{c}\right)(v_1-v_2)=0 \Longrightarrow v_1=v_2} .

Do mesmo modo, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_1=u_2} . Portanto, o ponto de equilíbrio é único nessas circunstâncias.

Referências

↑ https://en.wikipedia.org/wiki/Turing_pattern
↑ H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 260. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.
↑ J. Jost, "Partial Differential Equations", 3ed, p.140. Springer Science+Business Media, New York, 2013.

[wikipedia1-1] ttps://en.wikipedia.org/wiki/Turing_pattern

[Sayama260-2] H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 260. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

[JurgenJost140-3] J. Jost, "Partial Differential Equations", 3ed, p.140. Springer Science+Business Media, New York, 2013.

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[2]

[3]

@@ Linha 25: / Linha 25: @@
 '''Afirmação''': Se <math>D_u=D_v=0</math>, temos (<math>v_{eq}, u_{eq})=(h,k)</math> como o único ponto de equilíbrio.
-'''Demonstração''': Mostraremos que <math>(h,k)</math> é ponto de equilíbrio. De fato, ao aplicarmos esse ponto na equação do modelo de Turing, temos <math>u_t\Bigg|_{u=k} = 0 = v_t\Bigg|_{v=h}</math>. Para mostrar que é único, suponha que existem dois pontos de equilíbrio, a saber, <math>(v_1,u_1)</math> e <math>(v_2,u_2)</math>. Vemos que, como as equações diferenciais em cada ponto fixo são iguais a zero, temos <math>a(u_1-u_2)+b(v_1-v_2)=0</math> e <math>c(u_1-u_2)+d(v1-v_2)</math>. Consequentemente, devemos ter <math>(\frac{-ad}{c}+b)(v_1-v_2)=0 \Longrightarrow v_1=v_2</math>. Do mesmo modo, <math>u_1=u_2</math>. Portanto, o ponto de equilíbrio é único nessas circunstâncias.
+'''Demonstração''': Mostraremos que <math>(h,k)</math> é ponto de equilíbrio. De fato, ao aplicarmos esse ponto na equação do modelo de Turing, temos
+<math>u_t\Bigg|_{u=k} = 0 = v_t\Bigg|_{v=h}</math>
+para mostrar que é único, suponha que existem dois pontos de equilíbrio, a saber, <math>(v_1,u_1)</math> e <math>(v_2,u_2)</math>. Vemos que, como as equações diferenciais em cada ponto fixo são iguais a zero, temos
+<math>a(u_1 - u_2) + b(v_1 - v_2) = 0</math>
+e
+<math>c(u_1 - u_2) + d(v_1 - v_2) = 0</math>
+Consequentemente, devemos ter
+<math>\left(b-\frac{ad}{c}\right)(v_1-v_2)=0 \Longrightarrow v_1=v_2</math>.
+Do mesmo modo, <math>u_1=u_2</math>. Portanto, o ponto de equilíbrio é único nessas circunstâncias.
 == Referências ==
 <references/>

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