Gás de Rede 2D: mudanças entre as edições
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Para desenvolver a dinâmica do gás de rede, isto é, fazer com que ocorram alterações na posição das partículas, recorre-se ao método de Monte Carlo. Trata-se, em linhas gerais, de um método estatístico baseado em amostragem aleatória. É comum, ao introduzir-se o assunto, utilizar problemas de cálculo de áreas, como, por exemplo, a clássica história das crianças que desenharam, na areia, um círculo contido em um quadrado, de modo que o diâmetro do círculo seja igual ao lado do quadrado. Jogam, aleatoriamente, pedras no quadrado. Após uma grande quantidade de arremessos, compara-se o valor de pedras que estão dentro do círculo com o número total dentro do quadrado, fazendo a razão entre esses dois valores, encontra-se uma aproximação para a razão entre a área do círculo e a do quadrado, que equivale a <math>\pi/4<math>. Desse modo, pode ser encontrada uma aproximação do valor de <math>\pi<math> através do método de Monte Carlo, que simula uma aproximação experimental<ref name=KRAUTH>KRAUTH,W. ,"Statistical Mechanics: Algorithms and Computations". Oxford Master Series in Physics, Oxford University Press, 2006.</ref>. É possível propor um novo modelo, no qual o quadrado é grande e as pedras são atiradas aleatoriamente de dentro do quadrado, de modo que a posição de arremesso é atualizada para a posição da última pedra jogada. A principal alteração nesse método é a possibilidade de que uma pedra seja atirada para fora do quadrado. Nesse caso, a posição para o próximo arremesso não muda e as pedras que foram parar fora das bordas do quadrado são empilhadas naquela posição. Essas mudanças no método caracterizam a aplicação de Monte Carlo em uma cadeia de Markov, definida de modo que a configuração do próximo estado depende somente da configuração atual. Até aqui, vimos o método de Monte Carlo aplicado em situações nas quais a probabilidade de um evento ocorrer na configuração subsequente do sistema é zero ou um. Para novas distribuições de probabilidade, utiliza-se o algoritmo de Metrópolis. | Para desenvolver a dinâmica do gás de rede, isto é, fazer com que ocorram alterações na posição das partículas, recorre-se ao método de Monte Carlo. Trata-se, em linhas gerais, de um método estatístico baseado em amostragem aleatória. É comum, ao introduzir-se o assunto, utilizar problemas de cálculo de áreas, como, por exemplo, a clássica história das crianças que desenharam, na areia, um círculo contido em um quadrado, de modo que o diâmetro do círculo seja igual ao lado do quadrado. Jogam, aleatoriamente, pedras no quadrado. Após uma grande quantidade de arremessos, compara-se o valor de pedras que estão dentro do círculo com o número total dentro do quadrado, fazendo a razão entre esses dois valores, encontra-se uma aproximação para a razão entre a área do círculo e a do quadrado, que equivale a <math>\pi/4</math>. Desse modo, pode ser encontrada uma aproximação do valor de <math>\pi</math> através do método de Monte Carlo, que simula uma aproximação experimental<ref name=KRAUTH>KRAUTH,W. ,"Statistical Mechanics: Algorithms and Computations". Oxford Master Series in Physics, Oxford University Press, 2006.</ref>. É possível propor um novo modelo, no qual o quadrado é grande e as pedras são atiradas aleatoriamente de dentro do quadrado, de modo que a posição de arremesso é atualizada para a posição da última pedra jogada. A principal alteração nesse método é a possibilidade de que uma pedra seja atirada para fora do quadrado. Nesse caso, a posição para o próximo arremesso não muda e as pedras que foram parar fora das bordas do quadrado são empilhadas naquela posição. Essas mudanças no método caracterizam a aplicação de Monte Carlo em uma cadeia de Markov, definida de modo que a configuração do próximo estado depende somente da configuração atual. Até aqui, vimos o método de Monte Carlo aplicado em situações nas quais a probabilidade de um evento ocorrer na configuração subsequente do sistema é zero ou um. Para novas distribuições de probabilidade, utiliza-se o algoritmo de Metrópolis. | ||
===Algoritmo de Metrópolis=== | ===Algoritmo de Metrópolis=== | ||
Edição das 17h37min de 18 de agosto de 2020
EM CONSTRUÇÃO
Gás de Rede
O Modelo do Gás de Rede 2D consiste em um sistema de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} partículas da forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma = {\sigma_1, \sigma_1, \dotsc, \sigma_N}} onde cada sítio da rede pode assumir o valor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} , ocupado por uma partícula, ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} , não ocupado por uma partícula. A energia total do sistema é dada pelo Hamiltoniano do Gás de Rede, descrito pela equação
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = - \epsilon \sum_{\langle i,j \rangle} \sigma_i \sigma_j}
Onde o somatório é dado entre os quatro vizinhos mais próximos e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon} é a constante de interação entre as partículas, para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon \geq 0} a interação é atrativa. Por se tratar de uma rede quadrada com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2 = L \times L} sítios, apenas uma parcela da rede é ocupada por partículas, ou seja, possuímos uma densidade constante Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} de partículas. Podemos expressar a condição da densidade constante da forma
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i} \sigma_i = \rho L^2}
Fazendo uma mudança de variáveis da forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i = 2 \sigma_1 - 1} saímos da situação de ocupação e não ocupação de sítios e obtemos variáveis do Modelo de Ising [1], spins Up e Down. A variável Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i} assume valor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle +1} (up) quando o sítio esta ocupado por uma partícula e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1} quando não está. Aplicando a mudança de variáveis no Hamiltoniano do Gás de Rede obtemos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = - \frac{1}{4} \epsilon \sum_{\langle i,j \rangle} (s_i + 1)(s_j + 1)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = - \frac{1}{4} \epsilon \sum_{\langle i,j \rangle} s_i s_j - \frac{1}{2} z \epsilon \sum_{\langle i,j \rangle} s_i - \frac{1}{2} z \epsilon L^2 }
Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} é o número de coordenação, isto é, o número de vizinhos próximos, neste caso são quatro. Vemos que este Hamiltoniano possui a forma do Hamiltoniano de Ising com campo magnético, a menos de uma constante. Entretanto, com a densidade constante, fazendo a mesma mudança de variáveis, obtemos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i} s_i = (2\rho - 1) L^2}
E aplicando no Hamiltoniano obtemos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = - \frac{1}{4} \epsilon \sum_{\langle i,j \rangle} s_i s_j - z \epsilon L^2 \rho }
Como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2} são constantes, o segundo termo é constante. Definindo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J = \epsilon / 4} o Hamiltoniano se torna
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = - J \sum_{\langle i,j \rangle} s_i s_j + \text{constante}}
A constante não influencia nos valores da medida, pois ela se cancela na equação de mudança de estado [2]. Vemos que, ao assumir a densidade constante, o modelo do Gás de Rede se torna o modelo de Ising sem a presença de um campo magnético. A condição da densidade constante é a magnetização total do modelo.
É interessante notar que podemos tratar o modelo do gás de rede de duas formas: (a) assumir a densidade constante e utilizar o primeiro Hamiltoniano apresentado, ou (b) não assumir a densidade constante, aplicar a mudança de variáveis discutida e utilizar o Hamiltoniano que possuí a forma de Ising com campo magnético.
Método de Monte Carlo
Princípios gerais
Para desenvolver a dinâmica do gás de rede, isto é, fazer com que ocorram alterações na posição das partículas, recorre-se ao método de Monte Carlo. Trata-se, em linhas gerais, de um método estatístico baseado em amostragem aleatória. É comum, ao introduzir-se o assunto, utilizar problemas de cálculo de áreas, como, por exemplo, a clássica história das crianças que desenharam, na areia, um círculo contido em um quadrado, de modo que o diâmetro do círculo seja igual ao lado do quadrado. Jogam, aleatoriamente, pedras no quadrado. Após uma grande quantidade de arremessos, compara-se o valor de pedras que estão dentro do círculo com o número total dentro do quadrado, fazendo a razão entre esses dois valores, encontra-se uma aproximação para a razão entre a área do círculo e a do quadrado, que equivale a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi/4} . Desse modo, pode ser encontrada uma aproximação do valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} através do método de Monte Carlo, que simula uma aproximação experimental[3]. É possível propor um novo modelo, no qual o quadrado é grande e as pedras são atiradas aleatoriamente de dentro do quadrado, de modo que a posição de arremesso é atualizada para a posição da última pedra jogada. A principal alteração nesse método é a possibilidade de que uma pedra seja atirada para fora do quadrado. Nesse caso, a posição para o próximo arremesso não muda e as pedras que foram parar fora das bordas do quadrado são empilhadas naquela posição. Essas mudanças no método caracterizam a aplicação de Monte Carlo em uma cadeia de Markov, definida de modo que a configuração do próximo estado depende somente da configuração atual. Até aqui, vimos o método de Monte Carlo aplicado em situações nas quais a probabilidade de um evento ocorrer na configuração subsequente do sistema é zero ou um. Para novas distribuições de probabilidade, utiliza-se o algoritmo de Metrópolis.
Algoritmo de Metrópolis
Implementação
Resultados
Programas Utilizados
Programas na linguagem C. Para utilizar os programas, abra o terminal e compile da forma
$ gcc prog.c -lm
Onde prog.c é o programa que deseja utilizar. E execute da seguinte maneira
$ ./a.out TEMP
onde o segundo termo é a temperatura do banho térmico, argumento dos programas. Os programas possuem uma diretiva de compilação para visualização do sistema ao decorrer da execução. Para utilizar é necessário ter o gnuplot [4] instalado e compilar da forma
$ gcc -DGNU prog.c -lm
e então executar da maneira
$ ./a.out TEMP | gnuplot
Entretanto com a visualização no gnuplot o programa pode demorar mais para executar, então é recomendado diminuir os tempos de transiente (TRAN) e medidas (TMAX).
Gás de Rede sem Densidade Constante
Gás de Rede com Densidade Constante
Referências
- ↑ https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Ising_2D
- ↑ M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.
- ↑ KRAUTH,W. ,"Statistical Mechanics: Algorithms and Computations". Oxford Master Series in Physics, Oxford University Press, 2006.
- ↑ https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Gnuplot