Integração Numérica

A integração numérica consiste em achar a aproximação numérica para o valor de $S$

Integração numérica é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da integral definida:

$S=\int _{a}^{b}f(x)dx$

O termo definida, quer dizer que a integral se faz entre limites definidos, no caso a e b.

O interesse de fazer esse cálculo numericamente se deve a:

1. existência de funções contínuas sem primitiva, o que inviabiliza a conta analítica.
2. funções descontinuas ou definidas por trechos
3. funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
4. funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)

Definição

Revisemos o conceito de integral do cálculo: A integral definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] se define como:

$S=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=0}^{N}f(x_{i})\Delta x$

A integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo.
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva.
Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:

$\sum _{i=0}^{N}f(x_{i})\Delta x.$

onde:

$\Delta x={\frac {b-a}{N}}$

é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), $f(x_{i})$ é o valor da função em algum ponto deste intervalo.
Quando $N\to \infty$ o valor da soma acima é igual a área abaixo da curva.

A integral também é conhecida como antiderivada:

$\int f(x)dx=F(x)\Leftrightarrow {\frac {dF(x)}{dx}}=f(x)$

Relembremos porque:

Teorema Fundamental do Cálculo

Se resolvermos a integral acima entre os limites a e b, o resultado pode ser escrito como dependendo só dos extremos:

$S=\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Vamos ver agora como se isso for válido, então F(x) é a primitiva procurada.

Calculando a integral entre $x$ e $x+\Delta x$:

$\int _{x}^{x+\Delta x}f(x')dx'=F(x+\Delta x)-F(x)$

Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como:

$\int _{x}^{x+\Delta x}f(x')dx'=f(x'')\Delta x=F(x+\Delta x)-F(x)$

onde $x''$ é um valor de $x$ entre os extremos do intervalo.

Passando o $\Delta x$ para a direita e tomando o limite quando ele vai para zero:

$\lim _{\Delta x\to 0}f(x'')=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}}\Rightarrow f(x)={\frac {d}{dx}}F(x)$

Demonstramos que a derivada de F(x) resulta ser a função f(x) que queremos integrar. Em outras palavras, o Teorema fundamental do Cálculo diz que resolver uma integral se resume a achar a primitiva, ou seja uma função cuja derivada seja o integrando.

O problema prático é que não todas as funções tem primitiva.. Vejamos então.

Cálculo Numérico

Ilustração da regra do retângulo.

Ilustração da regra do trapézio.

Ilustração da regra de Simpson.

O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima. Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor.

-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx S_{e}=\sum _{i=0}^{N-1}f(x_{i})\Delta x$

-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx S_{d}=\sum _{i=1}^{N}f(x_{i})\Delta x$

Regra do Trapézio:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx S_{t}=\sum _{i=0}^{N-1}{\frac {f(x_{i})+f(x_{i}+\Delta x)}{2}}\Delta x$

onde:

$x_{i}=a+i\Delta x,\;\;\Delta x={\frac {b-a}{N}}$

Esta última pode ser reescrita como:

$\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{i=1}^{N-1}f(x_{i})\right)\Delta x$

O erro de cálculo na Regra do Trapézio é dado por:

${\text{erro}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )$,

onde ξ é um número no intervalo entre a e b.

Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos:

$S_{t}=(S_{e}+S_{d})/2$

Regra de Simpson:

Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio.

A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre $x_{0},x_{2}$ é dada por:

$S=\int _{x_{0}}^{x_{2}}f(x)\,dx\approx {\frac {x_{2}-x_{0}}{6}}\left[f(x_{0})+4f\left({\frac {x_{0}+x_{2}}{2}}\right)+f(x_{2})\right]$

No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo $\left[x_{1};x_{n}\right]$ com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande (e par!). Assim, é preciso traçar uma parábola a cada três pontos consecutivos e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo $\left[x_{0};x_{n}\right]$ :

$S=\int _{x_{0}}^{x_{n}}f(x)dx\simeq {\frac {h}{3}}\left[f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+\ldots +4f(x_{n-1})+f(x_{n})\right]$,

onde $h=(x_{n}-x_{0})/N$ .

A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo em [1].

Programação

A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (external function f(x))
entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda:

...
Read*, a, b, N
dx = (b-a)/N;  S=0

Do i = 0, N-1
   x = a + i*dx
   S = S + f(x)
EndDo
Print*, "Integral S=", S*dx
...

Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço)
e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas.

Erro associado ao método numérico

O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador $N\to \infty$. O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões $N$ realizada na função $f(x)$ dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como

$erro={\frac {Int(N)-Int(N-1)}{Int(N)}}$,

onde $Int(N)$ é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando $N$ divisões e $Int(N-1)$ utilizando $N-1$ divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar $N$ e calcular o erro a cada incremento no seu valor.