Grupo - Modelo de Potts

Originalmente descrito por Renfrey Potts em 1951 na sua tese de doutorado, esse modelo é uma generalização do modelo de Ising para a interação entre spins em uma rede cristalina.

Descrição do modelo

No modelo de Potts à $q$ estados são considerados $N$ spins $s_{i}$ dispostos em uma rede, geralmente bidimesnsional retangular, cada spin podendo estar em um de $q$ estados possíveis.

O Hamiltoniano desse sistema é

$H_{p}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})$

onde $J$ é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação, $\delta (s_{i},s_{j})$ é a função delta de Kronecker que retorna $1$ se $s_{i}=s_{j}$ e retorna $0$ para todos os outros casos, e o somatório considera somente os pares $(i,j)$ de spins vizinhos.

No caso ferromagnético $J>0$ o nível fundamental de energia possui uma degenerescência igual à $q$ correspondendo aos valores possíveis para todos os spins alinhados.

Relação com o modelo de Ising

É importante remarcar que para $q=2$ o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising com constante de acoplamento ${\frac {J}{2}}$ a menos de uma constante aditiva $\sum _{(i,j)}{\frac {J}{2}}$ no Hamiltoniano.

$H_{I}=H_{p}+\sum _{(i,j)}{\frac {J}{2}}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})+\sum _{(i,j)}{\frac {J}{2}}=-{\frac {J}{2}}\sum _{(i,j)}(2\delta (s_{i},s_{j})-1)$

nesse caso os spins $s_{i}$ e $s_{j}$ tem apenas dois valores possíveis e

$2\delta (s_{i},s_{j})-1={\begin{cases}1,\quad {\text{se }}s_{i}=s_{j}\\-1,\quad {\text{se }}s_{i}\neq s_{j}\end{cases}}$

logo considerando como valores possíveis para os spin como $-1$ e $1$ encontramos

$H_{I}=H_{p}+\sum _{(i,j)}{\frac {J}{2}}=-{\frac {J}{2}}\sum _{(i,j)}s_{i}s_{j}$

Simulação Monte Carlo

A abordagem utilizada para simular por Monte Carlo um sistema seguindo o modelo de Potts com $q$ pequeno é naturalmente similar àquela utilizada para o modelo de Ising, seguindo o algoritmo de Metropolis. Entretanto para valores mais elevados de $q$ esse algoritmo se torna ineficiente e o sistema demora um tempo muito longo para entrar em equilíbrio térmico.

Amostragem por importância

Para entender porque o algoritmo de Metropolis não é otimal para uma simulação Monte Carlo de um sistema seguindo o modelo de Potts devemos nos lembrar como ele resolve o problema de amostragem por importância.

As condições necessárias para a amostragem por importância são:

• Ergodicidade: a garantia de que qualquer estado do sistema é acessível à partir de qualquer outro estado dado um comprimento suficientemente grande da cadeia de Markov.
• Balanço detalhado: a garantia de que a cadeia de Markov de matriz estocástica $P(\mu \rightarrow \nu )$ vai convergir, quando o sistema atingir o equilíbrio térmico, para uma dada distribuição ${p_{\mu }}$.

$p_{\mu }P(\mu \rightarrow \nu )=p_{\nu }P(\nu \rightarrow \mu )$

No caso do ensemble canônico essa distribuição é a distribuição de Boltzmann

$p_{\mu }={\frac {1}{Z}}e^{-\beta E_{\mu }}$

onde $Z$ é a função de partição e $\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ é o inverso da temperatura.

Considerando a probabilidade de transição de estado como o produto de uma probabilidade de seleção de um novo estado $g(\mu \rightarrow \nu )$, a probabilidade de considerar $\nu$ como o próximo estado na cadeia dado o estado atual $/mu$, e uma probabilidade de aceitação de transição $A(\mu \rightarrow \nu )$

$P(\mu \rightarrow \nu )=g(\mu \rightarrow \nu )A(\mu \rightarrow \nu )$

o algoritmo de Metropolis atribui um valor fixo e uniforme para a probabilidade de seleção

$g(\mu \rightarrow \nu )=g(\nu \rightarrow \mu )={\frac {1}{N}}\quad \forall \mu ,\nu$

que claramente garante a ergodicidade, restando apenas uma condição sobre os valores das probabilidades de aceitação:

${\frac {A(\mu \rightarrow \nu )}{A(\nu \rightarrow \mu )}}={\frac {p_{\nu }}{p_{\mu }}}=e^{\beta (E_{\nu }-E_{\mu })}$

que é satisfeita com a seguinte lei de seleção:

$A(\mu \rightarrow \nu )={\begin{cases}e^{-\beta (E_{\nu }-E_{\mu })},\quad {\text{se }}E_{\nu }>E_{\mu }\\1,\quad {\text{caso contrario}}\end{cases}}$

O problema desse algoritmo para um modelo como o de Potts que admite um número elevado de estados possíveis para o spin é evidenciado quando consideramos um sistema à baixa temperatura. Para altas temperaturas a probabilidade de aceitação é igual à $1$ ou suficientemente alta por conta de um $\beta$ pequeno tornando algoritmo eficiente, entretanto à baixa temperatura os spins tendem à se alinhar com seus vizinhos constituindo o fenômeno do ferromagnetismo.

Referências

Potts, Renfrey B. (1952). "Some Generalized Order-Disorder Transformations". Mathematical Proceedings.

M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.