Grupo - Lennard Jones

O potencial devido a interação entre duas partículas separadas por uma distância $r'$ pode ser modelado pelo potencial de Lennard-Jones :

$U'(r')=4\epsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r'}}\right)^{12}-\left({\frac {\sigma }{r'}}\right)^{6}\right]$

Posto em unidades reduzidas ($r\equiv r'/\sigma$ e $U\equiv U'/\epsilon$), o potencial reduz-se a:

$U(r)=4\left[\left({\frac {1}{r}}\right)^{12}-\left({\frac {1}{r}}\right)^{6}\right]$

As quantidades físicas de interesse (como pressão, tempo e temperatura) possuem ordens de grandeza muito diferentes entre si quando se usa unidades do Sistema Internacional, o que faz com que fique difícil de identificar erros. Por causa disso, é computacionalmente vivável trabalhar com o seguintes sistema de unidades básicas, que mantém os valores em baixas ordens de grandeza:

Grandeza	Comprimento	Tempo	Massa	Temperatura	Energia	Pressão	Densidade
Unidade	$\sigma$	$\sigma {\sqrt {m_{p}/\epsilon }}$	$m_{p}$	$\epsilon /k_{B}$	$\epsilon$	$\epsilon /\sigma ^{3}$	$1/\sigma ^{3}$

onde $m_{p}$ é a massa da partícula e $k_{B}$ é a constante de Boltzmann.

Note que as novas unidades são adimensionais. Assim, para comparar o modelo com um sistema físico real, deve-se converter para as unidades desejadas. É interessante notar que a simulação feita utilizando as unidades reduzidas permite visualizar que sistemas distintos serão equivalentes, já que há infinitas combinações de densidade, temperatura, $\epsilon$ e $\sigma$ com mesmas unidades reduzidas.

Método Monte Carlo

Denomina-se método de Monte Carlo métodos estatísticos que se baseiam em amostragem aleatória massiva para cálculo numérico.

Amostragem simples

O cálculo numérico de uma integral utilizando Monte Carlo parte da ideia de que uma integral pode ser reescrita como:

$F=\int _{a}^{b}{f(x)dx}=(b-a)\langle f(x)\rangle$

Dessa forma, utiliza-se amostragem aleatória massiva para estimar $\langle f(x)\rangle$, que é a média da função no intervalo de interesse.

Amostragem por importância

Um problema da amostragem simples é que ela utiliza uma distribuição uniforme, que pode, para uma função que tenha regiões onde seu valor é próximo de zero por exemplo, custar a estimar corretamente o valor médio da função. A fim de contornar isso, podemos utilizar uma distribuição $w(x)$ tal que a razão ${\frac {f(x)}{w(x)}}$ seja o mais constante possível. Reescrevendo a integral:

$F=\int _{a}^{b}{{\frac {f(x)}{w(x)}}w(x)dx}=(b-a)\left\langle {\frac {f(x)}{w(x)}}\right\rangle$

Basicamente, é a média dos valores da função razão ${\frac {f(x)}{w(x)}}$ com distribuição $w(x)$ para sorteio dos pontos. Esse método diminui a variância amostral e faz com que seja muito mais eficiente a convergência do estimador média amostral para a média real da função.

Algorítmo de Metropolis–Hastings

Dado uma amostra com $N$ partículas, a abordagem introduzida por Metropolis e Hastings segue o seguinte esquema:

(1) Selecionar uma partícula aleatóriamente, e calcular sua energia $U(r)$;
(2) Dado o deslocamento $\mathbf {r_{n}} =\mathbf {r} +\mathbf {\Delta }$, calcular $U(r_{n})$;
(3) Aceitar o movimento $\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r_{n}}$ com probabilidade $p=min\{1;\exp[-\beta (U(r_{n})-U(r))]\}$

Devido ao fato das componentes de $\mathbf {\Delta }$ poderem assumir valores postivos e negativos (com a nova posição limitada por alguma condição de contorno), após ser aceito a mudança de posição de uma dada partícula, elá poderá ser selecinada (no próximo passo) com a mesma probabilidade e voltar a sua posição original. Isso garante a balanço detalhado. [referenciar Frenkel]

Estimadores no Equilíbrio

Em todos os exemplos tratados aqui, será usado o ensemble NVT (com o número de partículas, volume e temperatura constantes) com $d$ dimensões. Dado isso, os sistemas são caracterizados com um densidade e uma temperatura. Com tais sistemas no equilíbrio, são estimadas (média de sucessivas medidas) a energia total e a pressão, dadas respectivamente por:

$U_{T}=\sum _{i}\sum _{j>i}U(r_{ij})$ 

$P={\frac {\rho }{\beta }}+{\frac {2\rho }{Nd}}\sum _{i}\sum _{j>i}\mathbf {f(\mathbf {r_{ij}} )} \cdot \mathbf {r_{ij}}$

onde $\mathbf {r_{ij}} =\mathbf {r_{j}} -\mathbf {r_{i}}$. Além disso, é interessante a análise da capacidade térmica

$C_{v}={\frac {\langle U_{T}^{2}\rangle -\langle U_{T}\rangle ^{2}}{k_{B}T^{2}}}$

A função radial de distribuição de pares, é uma função que estima o quão provável é encontrar duas partículas a uma distância $r$ dentro de um sistema de várias partículas. Em um sistema de $N$ partículas, o $g(r)$ é definido como a média do número de partículas a uma distância $r$:

$g(r)={\frac {1}{N\rho }}\langle \sum _{i=1}^{N}\sum _{j\neq i}^{N}\delta (r-|r_{i}-r_{j}|)\rangle$

A distribuição de densidades é calculada dividindo espacialmente o sistema, no nosso caso de lado $L$, em $M$ células de lado ${\frac {L}{M}}$ e acumular em um histograma as densidades das células. Essa medida é relevante para identificação de fases no sistema.

Detalhes Técnicos

Condições de Contorno

Qualquer sistema possível de ser feito hoje com método Monte Carlo, apesar do grande poder computacional disponível, fica distante do limite termodinâmico. As condições de contorno podem ser estabelecidas de forma a tentar contornar isso. As condições utilizadas neste trabalho foram condições de contorno periódicas, que possibilitam que o sistema se comporte como se fosse muito maior do que é, desde que ele seja isotrópico.

Convenção da imagem mínima

Construindo um sistema cúbico de lado L, com um número N de partículas fixo, as condições de contorno periódicas fazem com a simulação não se limite ao cubo. Ao calcular a interação entre duas partículas, portanto, a distância entre elas não é unívoca, já que há incontáveis cópias de cada uma, repetindo-se periodicamente. Resolve-se esse problema utilizando-se da convenção da imagem mínima, em que é calculada a interação com a imagem mais próxima das outras.

Truncamento nas interações

Um problema da condição de contorno periódica é que, a princípio, cada partícula interagiria com todas as outras do sistema, que devido ao fato de ser periodicamente repetido, seriam infinitas. Como o potencial utilizado é de curto alcance, deve ser possível, de alguma forma, limitar as interações entre as partículas sem perda dos significados numéricos da simulação. Pode-se, então, truncar as interações de uma partícula $i$ a partir de uma distância de corte $r_{c}$ de forma que há uma descontinuidade no potencial dessa partícula na esfera de raio $r_{c}$.

Assim o potencial simulado é:

$U_{trunc}(r)={\begin{cases}U_{LJ}(r)&,r\leq r_{c}\\0&,r>r_{c}\end{cases}}$

Esse é o chamado truncamento simples. O subíndice LJ se refere ao potencial de Lennard-Jones. O problema é que isso cria uma contribuição indesejada à pressão, já que há uma força de impulso por conta dessa descontinuidade do potencial.

Pode-se, então, usar o truncamento com deslocamento, que evita essa descontinuidade fazendo uma subtração em todo ponto do módulo do potencial de Lennard-Jones à distância $r_{c}$. Assim, o potencial simulado é:

$U_{deslocado}(r)={\begin{cases}U_{LJ}(r)-U_{LJ}(r_{c})&,r\leq r_{c}\\0&,r>r_{c}\end{cases}}$

Com esse potencial, que é contínuo, as forças serão sempre finitas, o que retira a força de impulso que alteraria medidas de pressão.

Translação

A possível nova posição de uma partícula será $(x_{n},y_{n},z_{n})$ tal que

 $x_{n}=x+\Delta (\alpha -0.5)$ 
 $y_{n}=y+\Delta (\alpha -0.5)$ 
 $z_{n}=z+\Delta (\alpha -0.5)$ 

sendo $\alpha$ números aleatórios uniformemente distribuídos e $\Delta$ o deslocamento máximo permitido. Se a nova posição for aceita seguindo o algorítmo de Metropolis, a partícula assumirá essa posição. Caso contrário, a antiga configuração contribuirá novamente na média. [referenciar landau]

O tamanho de $\Delta$ não pode ser grande ao ponto de nunca ser aceito nem pequeno ao ponto de sempre ser aceito. Dado isso, buscando uma taxa de aceitação $\eta$ entre $30\%$ e $50\%$, define-se um $\Delta _{0}$ inicial que vai se ajustando no decorrer da simulação, executando - a cada passo Monte Carlo ($N$ passos de simulação) - o seguinte algorítimo:

 Se ($\eta <0.3$): $\Delta \leftarrow \Delta \times (\eta /0.3)$  
 Se ($\eta >0.5$): $\Delta \leftarrow \Delta \times (\eta /0.5)$

Sistema bidimensional

Dado um sistema com densidade $\rho =N/L^{2}$ e temperatura $T$, os sistemas foram feitos com:

(A) $N=256$ partículas
(B) Quadrado de lado $L=(N/\rho )^{1/2}$, utilizando a convenção da imagem mínima
(C) Incialização aleatória
(D) Distância de corte $r_{c}=2.5\sigma$
(E) Deslocamento máximo inicial $\Delta _{0}=L/2$

Transição de fase líquido-gás

A partir do artigo de M Rovere et al , que modelou o sistema apresentado, obtemos a informação da temperatura e da densidade críticas. Os valores encontrados pelos autores do artigo são $T=0.5$ e $\langle \rho \rangle =0.3$, que determinam qual intervalo de valores de temperatura e densidade apresentam coexistência de fases distintas.

Transição de fase com densidade fixa

Fixada a densidade $\rho =0.3$, foram realizadas simulações para as diferentes temperaturas $T\in \{0.45,0.50,0.70\}$.

Evolução temporal da Energia Total e da Pressão:

[EVOLUÇÃO TEMPORAL DA ENERGIA] [EVOLUÇÃO TEMPORAL DA PRESSÃO]

Observa-se que o sistema se encontra em equilíbrio a $10^{5}$ passos Monte Carlo. Isso é corroborado pelos resultados do artigo de M Rovere et al. A partir do sistema equilibrado, são analisadas a distribuição de densidade e a função distribuição de pares ($g({\vec {r}})$) para verificar a presença de uma (liquida) ou duas fases (líquida, gasosa), usando uma média de $10^{5}$ medidas sucessivas.

Para $T=0.45$ temos que:

Nesse gráfico a primeira impressão é de coexistência de fases. Apesar disso, densidade zero não corresponde a uma fase real, e sim aos espaços vazios. Dessa forma, a fase aqui é a líquida. O snapshot permite visualizar isso, já que há aglomerados de densidade aparentemente constante separados por espaços praticamente sem partículas. A densidade da fase líquida a essa temperatura é aproximadamente o centro do pico da direita.

Para $T=0.50$ temos que:

Nesse caso observa-se a coexistência de fases, que dessa vez são reais. Além disso, pode-se observar a densidade caracterítica aproximada de cada fase a essa temperatura centrada nos respectivos picos.

Para $T=0.70$ temos que:

Nesse caso observa-se apenas uma fase, com a densidade média sendo a densidade global do sistema. Isso caracteriza a fase gasosa, que ocupa todo o espaço disponível.

De maneira geral, é possivel estimar o intervalo de parâmetros para o qual ocorre a transição de fase líquido-gás. É possível, também, visualizar, a partir da distribuição de densidades, a coexistência de fases, já que cada estado tem uma densidade média característica a dada temperatura.

Transição de fase com temperatura fixa

Dado a temperatura fixa $T=0.45$, é observado o sistema para as diferentes densidades $\rho \in \{0.10,0.30,0.40\}$.

voluçao temporal da Energia Totoal e da Pressão:

[EVOLUÇÃO TEMPORAL DA ENERGIA] [EVOLUÇÃO TEMPORAL DA PRESSÃO]

É observado que o sistema equilibra $10^{5}$ passos Monte Carlo. Dado esse sistema equilibrado, é analisado a distribuição de densidade e a Pair distribuion function para analisar a presença de uma (liquida) ou duas fases (líquiga, gasoso), usando uma média de $10^{5}$ sucessivas medidas.

Para $\rho =0.10$ temos que:

Para $\rho =0.30$ temos que:

Para $\rho =0.40$ temos que:

Sistema tridimensinal

Dado um sistema tridimensional com densidade $\rho =N/L^{3}$ e temperatura $T$, os diagramas foram feitos com:

(A) $N=500$ partículas
(B) Cubo de lado $L=(N/\rho )^{1/3}$ com convenção da imagem mínima
(C) Incialização aleatória
(D) Distância de corte $r_{c}\in \{2.5\sigma ,3.0\sigma ,3.5\sigma \}$
(E) Deslocamento máximo inicial $\Delta _{0}=L/2$

Transição de fase líquido-gás

Conforme o trabalho desenvolvido por Nicholas et al , os valores críticos na transição de fase líquido-gás para um fluido de Lennard-Jones tridimensional são $T_{cr}=1.35$ e $\rho _{cr}=0.35$.

T = 2.0 (acima do valor crítico)

Para $r_{c}=2.5\sigma$, temos a evolução temporal da energia total e da pressão:

Estimando seus valores a partir do equilíbrio, determina-se o diagrama de fase:

Além disso, tem-se as diferentes configurações espaciais para as densidades $\rho =0.2$ e $\rho =0.6$, respectivamente:

Executando o mesmo esquema, o diagrama é comparado para diferentes valores de $r_{c}$:

Nessa situação (acima do valor crítico de temperatura), o gráfico pressão - densidade mostra sua injetividade, e portanto, a não coexistência de fases (como esperado).