Implementação do algoritmo de Neville: mudanças entre as edições

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Linha 5: Linha 5:
Algoritmo de Neville:
Algoritmo de Neville:


P_{12} = \frac{1}{x_1 - x_2}[(x - x_2)P_{11} - (x - x_1)P_{22}]
:<math>P_{12} = \frac{1}{x_1 - x_2}[(x - x_2)P_{11} - (x - x_1)P_{22}] </math>
Olhando em termos da matriz:
Olhando em termos da matriz:


A_{12} = P_{12} = \frac{1}{X[1] - X[2]}[(x-X[2])A_{11} - (x-X[1])P_{22}].
:<math>A_{12} = P_{12} = \frac{1}{X[1] - X[2]}[(x-X[2])A_{11} - (x-X[1])P_{22}].</math>
Algoritmo de Neville:
Algoritmo de Neville:


P_{23} = \frac{1}{x_2 - x_3}[(x-x_3)P_{22} - (x - x_2)P_{33}]
:<math>P_{23} = \frac{1}{x_2 - x_3}[(x-x_3)P_{22} - (x - x_2)P_{33}]</math>
Mapeamento:
Mapeamento:


A_{22} = P_{23} = \frac{1}{X[2] - X[3]}[(x-X[3])A_{21} - (x - X[2])A_{31}]
:<math>A_{22} = P_{23} = \frac{1}{X[2] - X[3]}[(x-X[3])A_{21} - (x - X[2])A_{31}]</math>
A. N.:
A. N.:


P_{34} = \frac{1}{x_3 - x_4}[(x-x_4)P_{33} - (x-x_3)P_{44}]
:<math>P_{34} = \frac{1}{x_3 - x_4}[(x-x_4)P_{33} - (x-x_3)P_{44}]</math>
M.:
M.:


A_{32} = P_{34} = \frac{1}{X[3] - X[4]}[(x-X[4])A_{31} - (x-X[3])A_{41}]
:<math>A_{32} = P_{34} = \frac{1}{X[3] - X[4]}[(x-X[4])A_{31} - (x-X[3])A_{41}]</math>


Já é possível notar que
Já é possível notar que


A_{ij} = \frac{1}{X[i] - X[k]}[(x - X[k])A_{i,j-1} - (x - X[i])A_{i+1,j-1}], k=j+i-1
:<math>A_{ij} = \frac{1}{X[i] - X[k]}[(x - X[k])A_{i,j-1} - (x - X[i])A_{i+1,j-1}], k=j+i-1</math>
Continuando com o A. N.:
Continuando com o A. N.:


P_{123} = \frac{1}{x_1 - x_3}[(x-x_3)P_{12} - (x-x_1)P_{23}]
:<math>P_{123} = \frac{1}{x_1 - x_3}[(x-x_3)P_{12} - (x-x_1)P_{23}]</math>
M.:
M.:


A_{13} = P_{123} = \frac{1}{X[1] - X[3]}[(x-X[3])A_{12} - (x-X[1])A_{22}]
:<math>A_{13} = P_{123} = \frac{1}{X[1] - X[3]}[(x-X[3])A_{12} - (x-X[1])A_{22}]</math>
A. N.:
A. N.:


P_{234} = \frac{1}{x_2-x_4}[(x-x_4)P_{23} - (x-x_3)P_{34}]
:<math>P_{234} = \frac{1}{x_2-x_4}[(x-x_4)P_{23} - (x-x_3)P_{34}]</math>
M.:
M.:


A_{23} = P_{234} = \frac{1}{X[2]-X[4]}[(x-X[4])A_{22} - (x-X[3])A_{32}]
:<math>A_{23} = P_{234} = \frac{1}{X[2]-X[4]}[(x-X[4])A_{22} - (x-X[3])A_{32}]</math>
A. N.:
A. N.:


P_{1234} = \frac{1}{x_1 - x_4}[(x-x_4)P_{123} - (x-x_1)P_{234}]
:<math>P_{1234} = \frac{1}{x_1 - x_4}[(x-x_4)P_{123} - (x-x_1)P_{234}]</math>
M.:
M.:


A_{14} = P_{1234} = \frac{1}{X[1] - X[4]}[(x-X[4])A_{13} - (x-X[1])A_{23}]
:<math>A_{14} = P_{1234} = \frac{1}{X[1] - X[4]}[(x-X[4])A_{13} - (x-X[1])A_{23}]</math>
Chegando finalmente a relação de recorrencia
Chegando finalmente a relação de recorrencia


A_{ij} = \frac{1}{X[i] - X[k]}[(x - X[k])A_{i,j-1} - (x - X[i])A_{i+1,j-1}]
:<math>A_{ij} = \frac{1}{X[i] - X[k]}[(x - X[k])A_{i,j-1} - (x - X[i])A_{i+1,j-1}]</math>
onde
onde


k = j + i − 1
:<math>k = j + i - 1 </math>
No final do processo, o polinômio interpolador é dado por
No final do processo, o polinômio interpolador é dado por


P(x) = A14.
:<math>P(x) = A14.</math>
A leitura dos pontos é dado pelos valores de X e da primeira coluna da matriz A.
A leitura dos pontos é dado pelos valores de X e da primeira coluna da matriz A.


X,Y \rightarrow X[i],A[i][1]
:<math>X,Y \rightarrow X[i],A[i][1]</math>
A ordem do preenchimento é fundamental:
A ordem do preenchimento é fundamental:


j=1;\, i=1,2,3,4
:<math>j=1;\, i=1,2,3,4 </math>
j=2;\, i=1,2,3
:<math>j=2;\, i=1,2,3 </math>
j=3;\, i=1,2
:<math>j=3;\, i=1,2 </math>
j=4;\, i=1
:<math>j=4;\, i=1 </math>
j=1...N; \, i=1...(N-j+1)
:<math>j=1...N; \, i=1...(N-j+1) </math>

Edição atual tal como às 07h54min de 25 de outubro de 2011

Neville.png

Aqui é descrito um possível mapeamento para fazer o algoritmo de Neville, são descritas as fórmulas do algoritmo de Neville e seu correspondente mapeamento.

Algoritmo de Neville:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{12} = \frac{1}{x_1 - x_2}[(x - x_2)P_{11} - (x - x_1)P_{22}] }

Olhando em termos da matriz:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{12} = P_{12} = \frac{1}{X[1] - X[2]}[(x-X[2])A_{11} - (x-X[1])P_{22}].}

Algoritmo de Neville:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{23} = \frac{1}{x_2 - x_3}[(x-x_3)P_{22} - (x - x_2)P_{33}]}

Mapeamento:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{22} = P_{23} = \frac{1}{X[2] - X[3]}[(x-X[3])A_{21} - (x - X[2])A_{31}]}

A. N.:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{34} = \frac{1}{x_3 - x_4}[(x-x_4)P_{33} - (x-x_3)P_{44}]}

M.:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{32} = P_{34} = \frac{1}{X[3] - X[4]}[(x-X[4])A_{31} - (x-X[3])A_{41}]}

Já é possível notar que

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{ij} = \frac{1}{X[i] - X[k]}[(x - X[k])A_{i,j-1} - (x - X[i])A_{i+1,j-1}], k=j+i-1}

Continuando com o A. N.:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{123} = \frac{1}{x_1 - x_3}[(x-x_3)P_{12} - (x-x_1)P_{23}]}

M.:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{13} = P_{123} = \frac{1}{X[1] - X[3]}[(x-X[3])A_{12} - (x-X[1])A_{22}]}

A. N.:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{234} = \frac{1}{x_2-x_4}[(x-x_4)P_{23} - (x-x_3)P_{34}]}

M.:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{23} = P_{234} = \frac{1}{X[2]-X[4]}[(x-X[4])A_{22} - (x-X[3])A_{32}]}

A. N.:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{1234} = \frac{1}{x_1 - x_4}[(x-x_4)P_{123} - (x-x_1)P_{234}]}

M.:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{14} = P_{1234} = \frac{1}{X[1] - X[4]}[(x-X[4])A_{13} - (x-X[1])A_{23}]}

Chegando finalmente a relação de recorrencia

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{ij} = \frac{1}{X[i] - X[k]}[(x - X[k])A_{i,j-1} - (x - X[i])A_{i+1,j-1}]}

onde

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k = j + i - 1 }

No final do processo, o polinômio interpolador é dado por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x) = A14.}

A leitura dos pontos é dado pelos valores de X e da primeira coluna da matriz A.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X,Y \rightarrow X[i],A[i][1]}

A ordem do preenchimento é fundamental:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j=1;\, i=1,2,3,4 }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j=2;\, i=1,2,3 }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j=3;\, i=1,2 }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j=4;\, i=1 }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j=1...N; \, i=1...(N-j+1) }
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