Grupo - Lennard Jones: mudanças entre as edições
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=== Estimadores no Equilíbrio === | === Estimadores no Equilíbrio === | ||
Em todos os exemplos tratados aqui, será usado o ensemble NVT (com o número de partículas, volume e temperatura constantes). Dado isso, os sistemas são caracterizados com um densidade e uma temperatura | Em todos os exemplos tratados aqui, será usado o ensemble NVT (com o número de partículas, volume e temperatura constantes). Dado isso, os sistemas são caracterizados com um densidade e uma temperatura. Com tais sistema no equilíbrio, são estimadas a energia total (<math>U</math>) e a pressão (<math>P</math>), onde | ||
<math>P = \frac{\rho}{\beta} + \frac{2}{3V}\sum_i \sum_{j>i}\mathbf{f(\mathbf{r_{ij}})} \cdot \mathbf{r_{ij}}</math> | <math>P = \frac{\rho}{\beta} + \frac{2}{3V}\sum_i \sum_{j>i}\mathbf{f(\mathbf{r_{ij}})} \cdot \mathbf{r_{ij}}</math> | ||
Edição das 22h03min de 13 de janeiro de 2018
O potencial devido a interação entre duas partículas separadas por uma distância Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r'} pode ser modelado pelo potencial de Lennard Jones:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U'(r') = 4 \epsilon \left [ \left ( \frac{\sigma}{r'} \right )^{12} + \left ( \frac{\sigma}{r'} \right )^{6} \right ].}
Posto em unidades reduzidas (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r \equiv r'/ \sigma} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \equiv U' / \epsilon} ), o potencial reduz-se a:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(r) = 4 \left [ \left ( \frac{1}{r} \right )^{12} + \left ( \frac{1}{r} \right )^{6} \right ].}
Trabalha-se, por conveniência, com o seguintes sistema de unidades básicas:
| Grandeza | Comprimento | Tempo | Massa | Temperatura | Energia | Pressão | Densidade |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Unidade | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma} | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma \sqrt{m_p / \epsilon}} | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_p} | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon/k_B} | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon} | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon / \sigma^3} | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 / \sigma^{3}} |
onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_p} é a massa da partícula e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_B} é a constante de Boltzmann. .
Método Monte Carlo
Denomina-se método de Monte Carlo métodos estatísticos que se baseiam em amostragem aleatória massiva para cálculo numérico.
Amostragem simples
Pode-se querer calcular uma integral numericamente utilizando Monte Carlo. Uma forma de fazer isso parte de que uma integral pode ser reescrita como
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F = \int_a^b{f(x) dx} = (b - a)\langle f(x) \rangle }
Dessa forma, utiliza-se amostragem aleatória massiva para estimar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle f(x) \rangle } , que é a média da função no intervalo de interesse.
Amostragem por importância
Um problema da amostragem simples é que ela utiliza uma distribuição uniforme, que pode, pra uma função que decaia rapidamente a zero, demorar muito a estimar corretamente o valor médio da função. Porém, podemos utilizar uma distribuição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w(x) } que tenha um formato semelhante à função que queremos integrar, reescrevendo a integral Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F = \int_a^b{\frac{f(x)}{w(x)} w(x) dx} }
Algoritmo de Metropolis
Dado uma amostra com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} partículas, a abordagem introduzida por Metropolis segue o seguinte esquema:
(1) Selecionar uma partícula aleatóriamente, e calcular sua energia Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(r)}
;
(2) Dado o deslocamento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{r_n} = \mathbf{r} + \mathbf{\Delta}}
, calcular Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(r_n)}
;
(3) Aceitar o movimento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{r} \rightarrow \mathbf{r_n}}
com probabilidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p = min\{1; \exp[-\beta (U(r_n) - U(r))]\}}
Estimadores no Equilíbrio
Em todos os exemplos tratados aqui, será usado o ensemble NVT (com o número de partículas, volume e temperatura constantes). Dado isso, os sistemas são caracterizados com um densidade e uma temperatura. Com tais sistema no equilíbrio, são estimadas a energia total (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} ) e a pressão (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} ), onde
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P = \frac{\rho}{\beta} + \frac{2}{3V}\sum_i \sum_{j>i}\mathbf{f(\mathbf{r_{ij}})} \cdot \mathbf{r_{ij}}}
Além disso, é interrsante a analise da capacidade térmica (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_v} ):
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_v = \frac{\langle U^2 \rangle - \langle U \rangle ^2}{k_BT^2}}
Detalhes Técnicos
Condições de Contorno
Truncagem nas interações
Translação
Diagramas de fase
Referências
- Cohen-Tannoudji C., Diu B., Laloe F. Quantum mechanics. Volume 1. Wiley, 1991.
- Numerical Resolution Of The Schrödinger Equation. Jorgensen L., Lopes Cardozo D., Thivierge E. http://web.pa.msu.edu/people/duxbury/courses/phy480/SchrodingerDynamics.pdf
- Crank, J.; Nicolson, P. (1947). "A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat conduction type". Proc. Camb. Phil. Soc. 43 (1): 50–67. doi:10.1007/BF02127704.
- Sherer, Philipp O.J., Computational Physics simulation of Classical and Quantum Systems. Springer, 2010.
- Born M., Nobel lecture: The statistical interpretation of quantum mechanics. 11 de Dezembro de 1954. https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1954/born-lecture.pdf