Grupo2 - Ondas1

Integrantes do grupo: Rodrigo Zamin Ferreira (262692), Leonardo Xavier Rodrigues (262696), Maurício Gomes de Queiroz (264889) e Rodrigo Lopes de Sousa Silva (262705)

Introdução

A modelagem numérica vem se tornando cada vez mais uma ferramenta indispensável para um engenheiro. Tal modelagem pode trazer informações importantes para entender como melhor abordar o desenvolvimento de um projeto, neste caso, um que envolva ondas. Nós, como futuros engenheiros físicos, pensamos em trazer um problema mais "concreto", de engenharia costeira e portuária, que pode ou não surgir em nossas vidas profissionais mas cujo método de solução certamente estará presente. Aqui será apresentado um modelo baseado em uma condição inicial e um perfil topográfico do local estudado que descreve a evolução temporal de uma onda.

Inicialmente, para testarmos os diferentes métodos, utilizaremos a equação da onda em uma dimensão, que é uma equação diferencial parcial de segunda ordem, para modelarmos uma corda:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

em que $u(x,t)$ é o deslocamento vertical da corda, $c$ é a velocidade de propagação da onda e $0<x<L$, com $L$ o comprimento da corda.

Admitindo $c=1$,

${\frac {\partial }{\partial t}}{\Big (}{\frac {\partial u}{\partial t}}{\Big )}={\frac {\partial }{\partial x}}{\Big (}{\frac {\partial u}{\partial x}}{\Big )}$ .

Uma vez que os métodos citados abaixo são para equações de primeira ordem, é necessário separarmos a equação em um sistema de equações, fazendo a substituição $v={\frac {\partial u}{\partial t}}$ e $w={\frac {\partial u}{\partial x}}$, de forma que:

${\begin{cases}{\dfrac {\partial v}{\partial t}}={\dfrac {\partial w}{\partial x}}\\\\{\dfrac {\partial v}{\partial x}}={\dfrac {\partial w}{\partial t}}\\\end{cases}}$

As condições de contorno utilizadas aqui são $u(0,t)=u(L,t)=0$ (pontas fixas), e as condições iniciais são $u(x,0)=\sin {{\Big (}{\frac {\pi x}{L}}{\Big )}}$ e ${\frac {\partial u}{\partial t}}(x,0)=0$

Algoritmos

Apresentaremos aqui três abordagens diferentes para a solução da equação diferencial parcial apresentada, e após, seus respectivos erros associados. A respeito das discretizações, $j$ corresponde à posição, e $n$ representa o tempo.

Método de Lax-Friedrichs - ${\mathcal {O}}(\Delta x^{2},\Delta t)$

Esse método consiste em inicialmente discretizar as equações no esquema FTCS (Forward Time Centered Space), ou seja, discretizando a derivada temporal utilizando os tempos n e n+1 e a derivada espacial através das posições j-1 e j+1:

${\frac {1}{\Delta t}}(v_{j}^{n+1}-v_{j}^{n})={\frac {1}{2\Delta x}}(w_{j+1}^{n}-w_{j-1}^{n})$,

${\frac {1}{\Delta t}}(w_{j}^{n+1}-w_{j}^{n})={\frac {1}{2\Delta x}}(v_{j+1}^{n}-v_{j-1}^{n})$.

Resultando em

$v_{j}^{n+1}=v_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j+1}^{n}-w_{j-1}^{n})$,

$w_{j}^{n+1}=w_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(v_{j+1}^{n}-v_{j-1}^{n})$.

Entretanto, ao se realizar uma análise de estabilidade de Von Neumann, conclui-se que esse método é instável . Para torná-lo estável, é necessário trocarmos os termos $v_{j}^{n}$ e $w_{j}^{n}$ por suas médias espaciais, chegando, assim, na expressão do esquema de Lax-Friedrichs:

$v_{j}^{n+1}={\Big (}{\frac {v_{j-1}^{n}+v_{j+1}^{n}}{2}}{\Big )}+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j+1}^{n}-w_{j-1}^{n})$,

$w_{j}^{n+1}={\Big (}{\frac {w_{j-1}^{n}+w_{j+1}^{n}}{2}}{\Big )}+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(v_{j+1}^{n}-v_{j-1}^{n})$.

Para obtermos o valor de $u_{j}^{n+1}$, que é o nosso objetivo, discretizamos a equação ${\frac {\partial u}{\partial t}}=v$

$u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+v_{j}^{n}\Delta t$,

Embora as médias espaciais sejam necessárias para a estabilidade do método, elas introduzem um problema: surge um efeito chamado de dissipação numérica, ou seja, a amplitude da solução diminui com o tempo. Isso pode ser observado através da análise de Von Neumann ou de uma investigação da equação do esquema Lax-Friedrichs . Por este método, observa-se que ao inserirmos as médias, mudamos a equação original do problema, pois agora há também um termo do tipo difusivo (uma derivada segunda) .

Agora vamos unir todas as equações, utilizando, além da equação para $u$ obtida acima, as discretizações de $v={\frac {\partial u}{\partial t}}$ e $w={\frac {\partial u}{\partial x}}$

$v_{j}^{n}={\frac {1}{\Delta t}}(u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n})$,

$w_{j}^{n}={\frac {1}{2\Delta x}}(u_{j+1}^{n}-u_{j-1}^{n})$.

Assim, obtemos

$u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+{\Big (}{\frac {u_{j-1}^{n}+u_{j+1}^{n}}{2}}{\Big )}-{\Big (}{\frac {u_{j-1}^{n-1}+u_{j+1}^{n-1}}{2}}{\Big )}+{\frac {(\Delta t)^{2}}{4(\Delta x)^{2}}}{\Big (}u_{j-2}^{n-1}-2u_{j}^{n-1}+u_{j+2}^{n-1}{\Big )}$.

Método de Leapfrog - ${\mathcal {O}}(\Delta x^{2},\Delta t^{2})$

Neste método utilizamos os pontos intermediários na discretização das equações.

Para $v$ temos

${\frac {1}{\Delta t}}{\bigg (}v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}-v_{j}^{n-{\frac {1}{2}}}{\bigg )}={\frac {1}{\Delta x}}{\Big (}w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}-w_{j-{\frac {1}{2}}}^{n}{\bigg )}\Rightarrow v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}=v_{j}^{n-{\frac {1}{2}}}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}{\bigg (}w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}-w_{j-{\frac {1}{2}}}^{n}{\bigg )}$,

Para $w$ temos

${\frac {1}{\Delta x}}{\bigg (}v_{j+1}^{n+{\frac {1}{2}}}-v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}{\bigg )}={\frac {1}{\Delta t}}{\bigg (}w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+1}-w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}{\bigg )}\Rightarrow w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+1}=w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}{\bigg (}v_{j+1}^{n+{\frac {1}{2}}}-v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}{\bigg )}$,

Para $u$ temos

$v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {\partial u}{\partial t}}{\bigg |}_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\Delta t}}(u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n})\Rightarrow u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t$,

Utilizando o fato de que

$v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\Delta t}}(u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n})$,

$w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}={\frac {1}{\Delta x}}(u_{j+1}^{n}-u_{j}^{n})$,

chegamos na equação para $u_{j}^{n+1}$

$u_{j}^{n+1}=2u_{j}^{n}-u_{j}^{n-1}+{\frac {(\Delta t)^{2}}{(\Delta x)^{2}}}(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n})$,

o que é equivalente a discretizarmos a equação da onda diretamente, utilizando que, para uma função $f(x)$,

${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}{\bigg |}_{j}={\frac {1}{(\Delta x)^{2}}}(f_{j-1}-2f_{j}+f_{j+1})$,

sendo $j$ a discretização em $x$.

Método de Lax-Wendroff de Dois Passos - ${\mathcal {O}}(\Delta x^{2},\Delta t^{2})$

O primeiro passo consiste em calcular o valor de $v^{n+{\frac {1}{2}}}$ e $w^{n+{\frac {1}{2}}}$ utilizando o método de Lax-Friedrichs, para posterior cálculo de $v^{n+1}$ e $w^{n+1}$:

$v_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}(v_{j+1}^{n}+v_{j}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j+1}^{n}-w_{j}^{n})$,

$v_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}(v_{j}^{n}+v_{j-1}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j}^{n}-w_{j-1}^{n})$,

$w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}(w_{j+1}^{n}+w_{j}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(v_{j+1}^{n}-v_{j}^{n})$,

$w_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}(w_{j}^{n}+w_{j-1}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(v_{j}^{n}-v_{j-1}^{n})$,

Agora, no tempo $n+1$:

$v_{j}^{n+1}=v_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}{\bigg (}w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}-w_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}{\bigg )}$,

$w_{j}^{n+1}=w_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}{\bigg (}v_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}-v_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}{\bigg )}$,

Agrupando as equações,

$w_{j}^{n+1}=w_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}{\Bigg [}{\frac {1}{2}}(v_{j+1}^{n}-v_{j-1}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j+1}^{n}-2w_{j}^{n}+w_{j-1}^{n}){\Bigg ]}$,

$v_{j}^{n+1}=v_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}{\Bigg [}{\frac {1}{2}}(w_{j+1}^{n}-w_{j-1}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(v_{j+1}^{n}-2v_{j}^{n}+v_{j-1}^{n}){\Bigg ]}$,

E finalmente temos a equação unificada em u, utilizando a expressão para $v_{j}^{n+1}$ e as discretizações de $v={\frac {\partial u}{\partial t}}$ e $w={\frac {\partial u}{\partial x}}$, como obtidas na seção sobre o Método de Lax-Friedrichs:

$u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+v_{j}^{n}\Delta t$

$u_{j}^{n+1}=2u_{j}^{n}-u_{j}^{n-1}+{\frac {(\Delta t)^{2}}{2(\Delta x)^{2}}}{\Bigg [}{\frac {1}{2}}u_{j+2}^{n-1}-{\frac {1}{2}}u_{j-2}^{n-1}+u_{j+1}^{n}-u_{j+1}^{n-1}-2u_{j}^{n}+u_{j}^{n-1}+u_{j-1}^{n}-u_{j-1}^{n-1}{\Bigg ]}$,

Programas

Ao implementarmos o método, surgem dois problemas: o problema não é auto-inicializável, pois para calcularmos o valor de $u_{j}^{1}$, necessitamos de $u_{j}^{-1}$ (além de $u_{j}^{0}$). Entretanto, isto é rapidamente solucionado quando discretizamos a condição inicial de que ${\frac {\partial u}{\partial t}}(x,0)=0$:

${\frac {1}{2\Delta t}}(u_{j}^{1}-u_{j}^{-1})=0\Rightarrow u_{j}^{1}=u_{j}^{-1}$,

ou seja, para o cálculo de $u_{j}^{1}$, utilizamos que $u_{j}^{1}=u_{j}^{-1}$. Para o método de Leapfrog, dessa forma conseguimos isolar $u_{j}^{1}$, não havendo nenhum outro termo no tempo $n=1$:

$u_{j}^{-1}=2u_{j}^{0}-u_{j}^{-1}+{\frac {(\Delta t)^{2}}{(\Delta x)^{2}}}(u_{j+1}^{0}-2u_{j}^{0}+u_{j-1}^{0})$,

$u_{j}^{-1}=u_{j}^{0}+{\frac {(\Delta t)^{2}}{2(\Delta x)^{2}}}(u_{j+1}^{0}-2u_{j}^{0}+u_{j-1}^{0})$.

Porém, isso não ocorre com os outros dois métodos, pois surgem termos em diferentes posições para o tempo $n=0$ (de $u_{-2}^{0}$, $u_{-1}^{0}$, até $u_{2}^{0}$), sendo necessário resolvermos o sistema como um todo simultaneamente, ou seja, teríamos que inverter uma matriz. Por isso, foi utilizado o método de Leapfrog para o cálculo de $u_{j}^{-1}$ em todos os métodos, devido a sua simplicidade.

Além disso, são necessários valores de $u_{-1}^{n}$ e de $u_{j_{max}+1}^{n}$, com $j_{max}$ correspondendo a $x=L$, para calcularmos $u_{1}^{n}$ e $u_{j_{max}}^{n}$, para qualquer tempo, utilizando os métodos de Lax-Wendroff de dois passos e Lax-Friedrichs. A solução a este problema foi utilizarmos

$u_{-1}^{n}=-u_{1}^{n}$

$u_{j_{max}+1}^{n}=-u_{j_{max}-1}^{n}$.

Pensando na condição inicial $u(x,0)=\sin {{\Big (}{\frac {\pi x}{L}}{\Big )}}$, e estendendo para além da corda (pensando no seno de $-\infty <x<\infty$), observamos que ela respeita as equações acima.

Análise de erros

Primeiramente, segue embaixo as soluções geradas pelos programas comparadas com a solução analítica, em seguida será mostrada a análise de erros. O gráfico foi gerado visando resolver um problema de uma corda presa nas pontas, com uma condição inicial em formato de seno.

Comparação da solução analítica com as soluções numéricas

A análise de erros se torna mais evidente durante a escolha do parâmetro $k$, onde $k={\frac {\Delta t}{\Delta x}}$. Valores grandes trazem pouca acurácia, e valores pequenos necessitam de muito poder de computação (tempo e dinheiro).

A partir do cálulo da solução analítica da equação da onda, podemos calcular quanto o valor obtido pelos métodos difere da solução real, o que leva a uma visualização do erro corrente em cada método de integração. Nesse caso, a solução é $u(x,t)=\cos {{\Big (}{\frac {\pi t}{L}}{\Big )}}\sin {{\Big (}{\frac {\pi x}{L}}{\Big )}}$.

O erro aqui foi obtido fazendo uma média, ou seja,a soma do erro de cada ponto discretizado sobre o total de pontos, no tempo final VALOR AQUI.

Podemos observar a ordem com que os erros crescem à medida que o parâmetro k se torna maior. Lembrando que os valores da constante são determinados pela discretização do espaço e do tempo.

Aqui variamos o valor de $\Delta t$, fixando $\Delta x=1$

Comparação do erro global entre os três métodos estudados com escala logarítimica em ambos os eixos

Observamos que se determinarmos a reta que melhor se ajusta às curvas dos métodos de Leapfrog e Lax-Wendroff, ela tem inclinação aproximadamente 1, já que a inclinação dá a ordem do erro global (já que fizemos o cálculo do erro após muitos passos transcorridos), que é sempre uma ordem menor do que o erro local (erro de um passo).

Simulação de Propagação de Onda 2D no Mar Dependente de Topografia

O modelo mais simples para a propagação de onda dependente da topografia parte da equação da onda [1], incluindo um termo da forma $H(x,y,t)$.

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\Big (}{\frac {\partial }{\partial x}}H(x,y,t){\frac {\partial u}{\partial x}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {\partial }{\partial y}}H(x,y,t){\frac {\partial u}{\partial y}}{\Big )}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial t^{2}}}$ ,

Sendo $H(x,y,t)$ uma representação da profundidade em águas calmas. Em uma situação real, pode-se obtê-la por mapeamento eletrônico do terreno por sistema de sonar.

Exemplo de mapeamento de terreno sub - calota polar feito por AUV (autonomous underwater vehicle)[2]

Como primeira abordagem visando uma análise em 2D, a integração da equação em 1D (mesmo sendo uma situação muito idealizada) já traz resultados interessantes. Podemos observar, por exemplo, que a medida que a profundidade diminui, a amplitude da onda e sua frequência crescem [5]. Esta informação por si só ajuda na construção de proteção contra quebra de ondas, pois é obtido o tamanho que as mesmas atingem.

Simulação em 1D de ondas perto da margem

É importante notar o quão poderosa é a integração de equações parciais na vida de um engenheiro.

A dependência em $t$ de $H(x,y,t)$ permite um modelo no qual o terreno se modifica com o tempo. Isto é, pode-se observar o efeito que o deslocamento de placas tectônicas, deslizamentos, e até explosões provocam no comportamento das ondas na costa de um país e o reconhecimento de áreas críticas.

Estendendo o algoritmo do Leap-Frog à situação 2D, obtemos, para uma dada condição inicial e $H(x,y)=C$, onde $C$ é uma constante de valor igual a 1 e H não depende do tempo, por questão de simplicidade:

Simulação em 2D de ondas em águas com profundidade constante, visão de cima

Simulação em 2D de onda em águas com profundidade constante, visão em ângulo

Podemos então, analisar como a mesma condição inicial se porta quando $H(x,y,t)$ descreve uma gaussiana na origem:

Simulação em 2D de ondas em águas com gaussiana na origem, visão de cima

Simulação em 2D de onda em águas com gaussiana na origem, visão em ângulo

Perfil da onda em sua diagonal:

Perfil da onda em sua diagonal no tempo de simulação igual a 300

Bibliografia

¹"The Wave Equation in 1D and 2D," por Knut–Andreas Lie, Dept. of Informatics, University of Oslo; disponível em: [1]; Último acesso em 23/10/2017.

²"Digital terrain mapping of the underside of sea ice from a small AUV," por Wadhams, M. J. Doble; disponível em: DOI: 10.1029/2007GL031921 ; Último acesso em 23/10/2017.

³ Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

⁴ "Métodos Computacionais da Física C - Aula 2 - 2016/1" por Heitor C. M. Fernandes, Instituto de Física, UFRGS; Último acesso em 23/10/2017.